Repetitorium functionarum

Repetitorium functionarum
Definizioni
Siano P ed A due insiemi.
Una funzione da P verso A è una relazione che ad ogni elemento x appartenente a P fa corrispondere al massimo un elemento y appartenente ad A.
P è l’insieme di partenza, A quello di arrivo.
Esempio:
Siano P = { 1; 2; 3; 4; 5 } ed A = { 10; 15; 20; 25; 30; 35 }.
Per definire una funzione occorre precisare per ogni elemento dell’insieme di partenza cosa corrisponde nell’insieme di arrivo, ad esempio:
f (1) non esiste;
f (2) = 15;
f (3) = 25;
f (4) = 35;
f (5) non esiste
Per ogni x ∈ P la sua immagine f (x) = 10x − 5. In simboli, si definisce una funzione come segue:
f : P → A, x
y = 10x − 5
Altre precisazioni:
D f = {2; 3; 4} è l’insieme di definizione della funzione f . I suoi elementi sono tutti quegli
elementi dell’insieme di partenza che hanno un’immagine. {2;3;4} sono detti argomenti della
funzione f . D f è un sottoinsieme di P .
Im f = {15; 25; 35} è l’insieme delle immagini, cioè di tutti quegli elementi che sono i corrispondenti di elementi dell’insieme di partenza (detti appunti immagini). Im f è sempre un sottoinsieme di A.
Come si può rappresentare una funzione?
Con un diagramma a frecce.
1
Con il grafo della funzione
Nota 1. Per grafo si intende un insieme di tutte le possibili coppie (x; y) che costituiscono la
funzione! Nel caso di una funzione come quella sopra si possono indicare le singole coppie, ma
per le funzioni continue bisogna indicare la forma algebrica, in quanto i punti sono di per sé infiniti.
G f = {(x; y) ∈ P × A | y = f (x)}
G f = {(2; 15), (3; 25), (4; 35)}
Per grafo si intende una lista completa di tutte le coppie argomento-immagine.
Con il diagramma cartesiano.
Rappresentiamo su uno stesso piano cartesiano le seguenti funzioni reali:
y= x
m: R → R, x y = − 3x − 2
f : R → R, x
1
2
y = 2x + 4
n: R → R, x y = − x − 3
g: R → R, x
3
2
2
Funzioni lineari e affini
La funzione lineare è una funzione del tipo
f : R → R, x
y = a · x con a ∈ R.
Osservazioni:
i) Il grafico della funzione lineare è una retta che passa per il punto (0; 0).
L’immagine di 0 è: f (0) = a · 0 = 0
ii) Se a > 0 il grafico della funzione passa per il I◦ e il III◦ quadrante.
iii) Se a < 0 il grafico della funzione passa per il II◦ e il IV◦ quadrante.
iv) a indica la pendenza della retta.
v) D f = R e Im f = R
∆y
La pendenza nel piano cartesiano è il rapporto ∆x = a per calcolare la pendenza di una retta
passante per due punti P1(x1; y1) e P2(x2; y2) si usa la seguente formula:
∆y
y −y
a = ∆x = x2 − x1
2
1
Si noti che è indifferente l’ordine con cui vengono denominati P1 e P2
La funzione affine è del tipo
f : R → R, x
y =a·x+b
Osservazioni:
i) Il grafico di una funzione affine è una retta che passa per il punto (0; b); b è l’immagine di 0,
infatti f (0) = a · 0 + b = b. b (e il relativo punto (0; b) è detta “ordinata all’origine”.
ii) a indica la pendenza della retta. Due funzioni parallele hanno la stessa pendenza.
iii) Se a = 0 la funzione diventa f : R → R, x
delle x e che passa per il punto (0; b).
y = b. Il suo grafico è una retta parallela all’asse
Nota 2. Per le funzioni affini e lineari è sempre possibile trovare la funzione perpendicolare a
quella data. Una data funzione y = ax + b avrà la sua retta perpendicolare con pendenza a p = −
1
. È necessario avere anche il punto di intersezione per definire b.
a
Intersezioni tra funzioni
Date due
qualsiasi funzioni f (x) e g(x) per trovare la loro intersezione si deve risolvere il
f (x)
sistema yy =
= g(x)
Ricordarsi anche che l’intersezione è composta da due coordinate (x, y) e che quindi trovati i
punti x delle intersezioni è necessario trovare le rispettive y sostituendo i valori di x in una delle
due funzioni!
Nota 3. Attenzione! Spesso succede che la ricerca dell’intersezione (quando le equazioni non
sono lineari) conduca ad un’equazione non risolvibile algebricamente. In tal caso ricordo che si
può sempre ricorrere al metodo iterativo o a quello puramente grafico.
Inversa di una funzione
Data una funzione f (x) per trovare la sua funzione inversa bisogna risolvere per x la seguente
equazione
3
y = f (x)
Nota 4. Attenzione! Non tutte le funzioni sono invertibili, o per lo meno non lo sono in
maniera completa. Per √
esempio la funzione y = x2 (e quindi tutte le funzioni di secondo grado)
−1
se invertita dà y = ± x che però non è una funzione in quanto a un singolo valore di x corrispondono due valori di y. Per far diventare una funzione tale relazione è necessario ridefinire
correttamente gli insiemi di definizione e delle immagini! Per le funzioni viste nel corso si noti
che invece le funzioni lineari e affini sono sempre invertibili.
Esercizi
1. Rappresenta graficamente le seguenti funzioni (usando anche il foglio di calcolo)
y= x+1
iv) x y = x − 10
vii) x y = x − 2x + 1
√
x)x y = x − 2
i) x
3
2
2
y=− x
v) x y =
viii) x y = − x + x + 1
√
xi) x y = x + x + 1
2
3
x+1
x−1
ii) x
1 2
2
2
y=− x−2
vi) x y =
ix) x y = x − 2x + x − 1
√
xii) x y = 5x
3
4
2x − 1
x+3
3
iii) x
2
3
2. Trova le inverse delle seguenti funzioni facendo attenzione a quanto detto nella Nota 4
2
y = 2x − 5
5
y = 3x
y = x2 − 1
y = − 2x + 3
y = − 2x2 + 5
y = x2 − x − 6
3. Trova la funzione per pendicolare a quella data, passante per il punto indicato
2
y = 3 x + 1 punto (3; 3)
1
y = − 3 x + 2 punto ( − 3; 3)
4. Trova l’intersezione tra le seguenti coppie di funzioni
2
1
y = 3x + 2 e y = 3x − 2
1
y = 5 x e y = 2x − 4
3
y = 2 x + 1 e y = x2 − 4
y = − x2 − x − 3 e x2 + 5x + 2
5. trova le rette che passano per le seguenti coppie di punti
( − 3; 3) e (2; 1)
( − 1; − 4) e (4; 4)
(5; 3) e ( − 2; − 2)
4
8
4
y = − 9x + 5