esercizi di preparazione al secondo compitino

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE
(Scienze Naturali)
preparazione al secondo compitino 2012/2013
A)
a) Dare l’enunciato del teorema di Lagrange.
b) A quali tra le seguenti funzioni si può applicare il teorema di
Lagrange nell’intervallo [−π/2, π/2]? Perché?
f1 (x) = sin(x),
f2 (x) = cos(x),
f3 (x) = |x|,
f4 (x) = tan(x).
B) Calcolare l’area della regione limitata di piano compresa tra le
curve di equazioni rispettive:
y = x2 − 6x + 3 e y = −x2 + 6x + 3.
C) Tracciare il grafico di una qualunque funzione f che soddisfi tutte
le seguenti condizioni:
i) sia definita in D = (−3, +∞) con una discontinuità in x = 0,
ii) abbia asintoto obliquo y = x − 2 e un asintoto verticale,
iii) sia f 0 (−2) = 0,
iv) sia f 00 (x) > 0 in (−1, 0) e sia f 00 (x) < 0 in (−3, −1) ∪ (0, +∞).
D) Studiare la seguente funzione (non è richiesto lo studio della
derivata seconda) e fornirne un grafico qualitativo
x2 + 4
y= 2
.
x −1
E)
a) Dare l’enunciato del teorema degli zeri.
b) Mostrare, con un esempio grafico, che il teorema non vale se cade
l’ipotesi di continuità.
F)
a)Dare la definizione di primitiva di una funzione definita su un intervallo.
b) Determinare una primitiva della funzione f (x) =
1
2
√
.
3
5x
2
G)
a) Sia f una funzione definita e derivabile n volte in un intorno di
x0 . Dare la definizione di polinomio di Taylor di ordine n di f centrato
in x0 .
b) Scrivere il polinomio di Taylor di ordine 3 della funzione
f (x) = sin(−x) centrato in 0.
c) Stabilire se esiste e, in caso affermativo, calcolare
x + sin(−x)
.
x→0
x3
lim
H) Calcolare l’area della regione limitata di piano compresa tra l’asse
x, l’asse y, la retta x = π e il grafico della funzione y = sin(x) + 2.
K) Determinare gli eventuali asintoti orizzontali, verticali e obliqui
della funzione
y=
2x3 + 3x2
.
x2 − 1
I)
a) Stabilire se la seguente funzione (definita nell’intervallo [−2, 3])
y = |x|, per −2 ≤ x ≤ 1, y = x2 , per 1 < x ≤ 3
è continua.
b)Determinare i punti di massimo e di minimo relativi e assoluti della
funzione definita al punto a).
L)
a) Studiare la seguente funzione (non è richiesto lo studio della
derivata seconda) e fornirne un grafico qualitativo
y = x2 ex .
b) Stabilire se la funzione di cui al punto a) sia o meno iniettiva.
M)
a) Dare la definizione di funzione continua in un punto.
b) Dare un esempio di funzione definita su tutta la retta reale e non
continua in x0 = 2.
3
c) Dare un esempio di funzione definita e continua su tutta la retta
reale, non derivabile in x0 = 2.
N)
a) Sia a un numero reale positivo.
Determinare il valore di a per cui la funzione definita da
y = ax , per x ≤ 3, y = 17 − x2 , per x > 3
è continua.
b) Per il valore di a cosı̀ determinato, trovare gli eventuali punti di
massimo e di minimo relativi e assoluti della funzione.
O) Siano h e k numeri reali. Determinare i valori di h e k per cui il
grafico della funzione
y = x2 + hx + k
passa per P ≡ (0, 1) ed ha ivi come tangente la retta di equazione
y = 3x + 1.
P)
a) Calcolare la derivata della funzione
y = −loge (cos(x)).
b) Utilizzare quanto ricavato al punto a) per determinare (nell’intervallo
(−π/2, π/2)) la primitiva F (x) della funzione f (x) = tg(x) tale che
F (0) = 2.