Insegnare a usare, leggere e interpretare grafici di

Insegnare a usare, leggere e interpretare grafici di
funzioni algebriche nel piano cartesiano
Si consideri la seguente situazione problematica da affrontare con AlNuSet.
“Una ditta artigiana che produce pane ha dei costi fissi di 800 euro al giorno e dei costi variabili di
1.45 euro per ogni chilo di pane prodotto.
Se x rappresenta i chili di pane prodotto, scrivi un’espressione che indichi il costo per produrre il
pane in funzione di x, e rappresentala sulla Retta Algebrica. Considerando che ogni chilo prodotto
è venduto a 3.25 euro, scrivi un’espressione che descrive i ricavi della ditta in funzione del pane
venduto e rappresentala sulla Retta Algebrica. Nell’ambiente Funzioni di AlNuSet costruisci i due
grafici delle due espressioni in funzione di x, e interagendo con la Retta Algebrica e con l’ambiente
Funzioni stabilisci la quantità di pane che la ditta deve vendere per coprire le spese.”
Quando si affronta questo problema con carta e penna, possono emergere difficoltà di varia natura.
La prima difficoltà è motivare l’uso del grafico sul piano operativo. Per esempio, in questo
problema non è facile rispondere in modo preciso alla domanda del problema attraverso un
approccio puramente grafico. Infatti, anche nel caso di una scelta appropriata dell’unità di misura, la
lettura dei grafici nel piano cartesiano risulta necessariamente approssimata e può essere molto
difficile trovare la soluzione ricorrendo solamente alla costruzione, alla lettura e all’interpretazione
del grafico. Per trovare la soluzione si deve necessariamente ricorrere al calcolo.
In questi casi il grafico viene ad assumere un ruolo comunicativo piuttosto che operativo, in quanto
permette di dare evidenza, con un'altra rappresentazione, della soluzione trovata con il calcolo.
Nella pratica didattica tradizionale emergono anche difficoltà a insegnare a leggere e interpretare i
grafici. Poiché ogni punto del grafico è definito dalla coppia di valori definiti rispettivamente
sull’asse delle ascisse e delle ordinate dalla variabile indipendente e da quella dipendente, agli
studenti occorre innanzitutto insegnare a leggere correttamente questi valori sugli assi
corrispondenti. Inoltre, è necessario insegnare a interpretare l’intersezione di un grafico con l’asse
delle ascisse oppure la crescita o la decrescita di un grafico, a confrontare tra loro grafici diversi, a
interpretare il punto di intersezione di due grafici …
Se si usa AlNuSet, innanzitutto osserviamo che il problema relativo alla ditta di panetteria può
essere affrontato e risolto per via grafica, senza la necessità di risolvere equazioni o disequazioni.
Le seguenti immagini illustrano ciò.
La prima immagine mostra il grafico costruito nell’ambiente Funzioni dopo aver inserito sulla Retta
Algebrica le due espressioni 800  1.45  x e 3.25  x che determinano il costo per la produzione del
pane e il ricavo dalla vendita in funzione della variabile x che rappresenta la quantità di pane
prodotto e venduto.
La seconda immagine illustra l’interazione con la Retta Algebrica che consente di determinare la
quantità di pane che occorre produrre e vendere per coprire tutte le spese. Questa determinazione si
realizza sfruttando varie possibilità operative e rappresentative della Retta Algebrica e cioè:

la possibilità di cambiare unità di misura sulla retta;

la possibilità di trascinare il punto variabile x e di poter osservare il valore assunto sulla retta
dalle espressioni che la contengono ;

la possibilità di tenere sotto controllo il valore delle espressioni dipendenti dalla variabile
anche quando esse sono fuori dallo spazio dello schermo. Ciò si realizza tramite un’apposita
finestra di visualizzazione.
Notiamo che usando la Retta Algebrica è possibile risolvere il problema solo per via grafica. La
seconda immagine mostra ciò.
Una volta determinata la quantità di pane che occorre produrre e vendere per coprire le spese di
produzione, il ritorno al piano cartesiano permette di usare il grafico per compiere nuove
esplorazioni della situazione problematica. Il confronto tra la rappresentazione sulla Retta Algebrica
con quella nel piano cartesiano favorisce la lettura e l’interpretazione del grafico. Dopo aver
osservato sulla retta che per 445 kg di pane l’espressione che indica il ricavo dalla vendita supera in
valore l’espressione che indica i costi di produzione, è facile interpretare il punto di incontro delle
due rette sul piano cartesiano e attribuire un significato al fatto che la retta che rappresenta il ricavo,
per valori di x  445 , è posta sopra la retta che rappresenta i costi di produzione.
E’ possibile a questo punto introdurre sulla Retta Algebrica un’espressione che indica il guadagno
al variare del pane prodotto e venduto 3.25  x  800  1.45  x  , osservare che con la vendita di 445
kg il guadagno è praticamente nullo, quindi variare la x per fare previsioni circa le condizioni di
vendita che potrebbero determinare un certo guadagno, per esempio di 200 euro, e scoprire che ciò
può avvenire con la vendita di 556 kg di pane. Le seguenti due figure mostrano ciò.
Osserviamo che le nuove possibilità operative e rappresentative dei due ambienti descritti possono
favorire la capacità di usare grafici di funzioni algebriche per risolvere situazioni problematiche e
per fare previsioni anche a livello di scuola secondaria di primo grado.