Note sul teorema fondamentale e sulla formula fondamentale del

Note sul teorema fondamentale e sulla formula fondamentale del calcolo integrale
Definizione. Sia f:[a, b] →ℝ una funzione reale continua definita sull’intervallo [a, b]
 ℝ.
Una funzione primitiva (o semplicemente una primitiva) di f è una qualsiasi funzione G:[a, b] →ℝ
tale che G’(x) = f(x) per ogni x∈[a,b], ossia la cui derivata prima coincida con la funzione f su tutto
l’intervallo [a,b].
Osservazione. Non è difficile mostrare che se G è una primitiva di f, allora lo è anche G(x) + C, per
ogni valore costante C∈ℝ.
Inoltre è possibile mostrare che vale anche il viceversa: se G e G* sono due qualsiasi primitive di f,
allora esiste una costante C∈ℝ tale che G*(x)=G(x)+C.
Quindi per conoscere tutte le primitive di f, è sufficiente conoscere una particolare primitiva G:
tutte le altre si ottengono allora da aggiungendo ad essa tutte le varie costanti reali, ossia se G è
una qualsiasi primitiva di f, l’insieme di tutte le primitive di f è dato dall’insieme {G(x) + C /
C∈ℝ}.
Si noti infine che una tabella di derivate, letta al contrario, fornisce una tabella di primitive.
Il caso delle funzioni polinomiali.
Se g(x) = amxm + am-1xm-1 + … + a2x2 + a1x + a0, dove a0, a1, … , am
ℝ e am ≠ 0
è una funzione polinomiale, allora la sua derivata è:
g’(x) = mamxm-1 + (m-1)am-1xm-1+ … + 2a2x + a1.
Ad esempio se g(x) =
x3 - x + 5, allora g’(x) = 3
x2 - .
Così una primitiva della funzione costante f(x) = 3 è g(x) = 3x.
Infatti g’(x) = 3. Anche la funzione g*(x) = 3x -
lo è ed infatti l’insieme di tutte le primitive di
f(x) = 3 è dato dall’insieme { 3x+C / C∈ℝ }.
Analogamente una primitiva di f(x) = x è g(x) = x2, perché g’(x)=x, ma le è anche la funzione
g(x)* = x2+3, infatti l’insieme di tutte le primitive di f(x) = x è { x2+C / C∈ℝ }.
Esercizio. Mostrare che per ogni intero positivo n una primitiva di f(x) = xn è g(x) =
l’insieme di tutte le primitive è {
xn+1 e che
xn+1+C / C∈ℝ }. Svolgere prima i casi n=3,4 e poi cercare di
generalizzare.
Esercizio. Verificare che una primitiva di f(x) = 3x2 + x +
è g(x) = x3 + x2 +
x.
Esercizio. Trovare una primitiva del generico polinomio di secondo grado: f(x) = ax 2 + bx + c.
Esercizio. Trovare una primitiva dei seguenti polinomi:
x5 + x4 - x3 + x2 - x +1;
x5 + x 4 +
-
;
x3 + x +
x6 -
x3 + x2 - x +1.
Siamo in grado ora di trovare una primitiva della generica funzione polinomiale
f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0, dove a0, a1, … , an
G(X) =
{
xn+1 +
xn+1 +
xn + … +
xn + … +
ℝ e an ≠ 0: essa è allora
x2 + a0x, mentre l’insieme di tutte le primitive è
x2 + a0x +C / C∈ℝ }.
Abbiamo così dimostrato l’esistenza e descritto tutte le primitive delle funzioni polinomiali.
In generale ogni funzione continua su un intervallo [a,b] ammette primitiva: questo è un
importante risultato detto teorema fondamentale del calcolo integrale, che enunciamo senza
dimostrazione.
Teorema. Sia f:[a, b] →
F(x) =
ℝ una funzione reale continua. Per ogni x∈[a,b] la funzione
(detta funzione integrale di f in [a,b]) è derivabile e si ha F’(x)=f(x) per ogni x∈ℝ
(ossia F è una primitiva di f su tutto [a,b]).
Le primitive si rivelano particolarmente utili nel calcolo degli integrali. Infatti vale il seguente
risultato detto formula fondamentale del calcolo integrale, che enunciamo nuovamente senza
dimostrazione.
Teorema. Sia f:[a, b] →ℝ una funzione reale continua e sia G una qualunque sua primitiva. Allora
= G(b) – G(a)
La differenza a secondo membro viene spesso denotata con i simboli G(x)
oppure con [G(x)
Osservazione. Ricordiamo infine che se f(x) è una funzione definita e continua su un intervallo
[a,b] e f(x) ≥ 0 su tutto [a, b], allora
come indicato in figura.
è l’area della regione sottografico della funzione
.
Esempio. Calcolare l’integrale
Si tratta dell’area del sottografico della funzione in figura:
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
È l’area di un triangolo rettangolo di cateti che misurano 2: ovvero ha area 2.
Calcolando la stessa area mediante la formula fondamentale del calcolo integrale, dato che un
primitiva di f(x) = x è g(x) = x2, si ha
= con
[
=
-
= 2.
.
Esempio. Calcolare l’integrale
Si tratta dell’area del sottografico della funzione in figura:
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
1
2
3
Una primitiva di f(x) = x2 è g(x) =
quindi
=
Esercizio. Calcolare e confrontare fra di loro gli integrali
[
=
-
con n
=
1 numero naturale.
Svolgere prima i casi n=1, 2, 3, 4 poi il caso generale. Cercare di dedurre che cosa succede
quando n “tende all’infinito”.
.
Esempio. Calcolare l’integrale
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Come nell’esempio precedente
=
[
=
–
=2
=
.
Altrimenti basta osservare che la funzione f(x) = x2 è pari e che l’intervallo [-2, 2] è simmetrico
rispetto a 0, quindi il sottografico in questione è simmetrico rispetto all’asse y e pertanto la sua
area è doppia di quella precedente.
Esercizi. Calcolare i seguenti integrali
a)
;
b)
;
;
c)
.
d)
Esercizio. Tracciare il grafico della funzione f(x) = x3 +2 nell’intervallo [-1, 1] e calcolare
.
l’integrale
Guardiamo alla funzione f(x) = x3 +2: essa è ottenuta dalla funzione x3 sommando sempre 2 ad
ogni valore. Quindi il grafico di x3 +2 si ottiene da quello di x3 traslandolo di 2 parallelamente
all’asse y nel verso positivo.
Quindi dato che il grafico della funzione x3 nell’intervallo [-1,1] è:
1,5
1
0,5
0
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
-0,5
-1
-1,5
Quello di x3 +1 nello stesso intervallo risulta:
1,5
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
Svolgendo i calcoli come in precedenza si ricava che tale integrale vale 4, esattamente come l’area
del quadrato di lato due. Come mai?
Si suggerisce di provare a confrontare tale grafico con il quadrato ponendo un lato sull’asse delle
ascisse sovrapposto all’intervallo [-1,1].
Osservazione. In generale il grafico di una funzione f(x) + K con K ≠ 0 costante reale si ricava da
quello di f(x) traslandolo parallelamente all’asse y e precisamente di K nel verso positivo se K > 0
e di |K| nel verso negativo se K < 0.
Esercizi. Tracciare i grafici delle seguenti funzioni:
a) x2+1; x2+2; x2+3; x2-1; x2-2; x2-3;
b) x3+1; x3+2; x3+3; x3-1; x3-2; x3-3;
c)
+1;
+2;
- 1;
-2.
Esempio. Calcolare l’area della regione piana delimitata come in figura dalla parabola y = x 2 e
dalla retta y = 1.
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
Si tratta del sottografico della retta f1(x) = 1 nell’intervallo -1 ≤ x ≤ 1 a cui è stato tolto il
sottografico della parabola f2(x) = x2 nello stesso intervallo.
Il sottografico della retta è un rettangolo di base 2 ed altezza 1 e quindi ha area 2. Si noti che allo
=
stesso risultato si arriva calcolando direttamente
=
Quindi
-
=
.
= .
-
Pertanto l’area cercata è
. Poiché una
= 1 – (-1) = 2.
primitiva della funzione f1(x) = 1 è g1(x) = x, allora
Come prima una primitiva di f2(x) = x2 è g2(x) =
=
=2-
.
=
-
Osservazione. Per calcolare la differenza
abbiamo calcolato
separatamente i due integrali e poi sottratto; tuttavia si può dimostrare che vale sempre la
proprietà:
-
=
.
Anzi più in generale vale
+
dove
,
=
,
sono arbitrarie costanti reali. Occorre però rimarcare il fatto che tale proprietà (detta
di linearità) vale sotto la condizione che gli estremi di integrazione a e b siano gli stessi per tutti
gli integrali e che se tale ipotesi viene a cadere l’uguaglianza è generalmente falsa.
=
Nel caso precedente
= (1 - ) – (1 -
.
)=2-
. Una primitiva di 1-x2 è x -
e così
= ; lo stesso risultato di prima, ottenuto calcolando
Osservazione. In generale date due funzioni continue f1, f2: [a,b] →
ℝ tali che f1(x) ≥ f2(x)
0 su
tutto [a,b], allora l’area della regione del piano compresa fra i grafici di f 1 e f2 come in figura
-
è:
=
.
Esempio. Calcolare l’area della regione compresa fra la bisettrice del primo e terzo quadrante e la
parabola y = x2 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1.
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
È l’area della regione il cui bordo è il grafico delle funzioni f1(x) = x e f2(x) = x2 nell’intervallo 0 ≤
x ≤ 1. Quindi è data da
funzione x – x2 è
x2 -
. Una primitiva della
, che è uguale a
e quindi
=
-
-(
0-
)=
-
= .
Esercizi. Tracciare i grafici delle seguenti funzioni:
d) x2+1; x2+2; x2+3; x2-1; x2-2; x2-3;
e) x3+1; x3+2; x3+3; x3-1; x3-2; x3-3;
f)
+1;
+2;
- 1;
-2.
Esercizi. Calcolare l’area delle regioni comprese
a) fra la bisettrice del primo e terzo quadrante e la curva y = x3 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1;
b) fra la bisettrice del primo e terzo quadrante e il grafico della curva y = x4 nell’intervallo 0 ≤
x ≤ 1;
c) fra la bisettrice del primo e terzo quadrante e il grafico della curva y = xn n ≥ 2
nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1;
d) fra la retta y = 1 e il grafico della curva y = xn n ≥ 1 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1;
e) fra la parabola y = x2 e la curva y = x3 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1;
f)
fra la parabola y = x2 e la curva y = x4 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1;
g) fra la parabola y = x2 e la curva y = x4 nell’intervallo -1 ≤ x ≤ 1;
h) fra la parabola y = 2x2 e la curva y = 2x4 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1;
i)
fra la curva y = x3 e la curva y = x4 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1;
j)
fra la curva y = x3+1 e la curva y = x4+1 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1;
k) fra la curva y = x3 e la curva y = x5 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1;
l)
fra la curva y = x4 e la curva y = x5 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1;
m) fra la curva y = x4 e la curva y = x5 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1;
n) fra la curva y = x4 + 2 e la curva y = x5 + 2 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1;
o) fra la curva y = x4 e la curva y = x6 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 1;
p) fra la curva y = x4 e la curva y = x6 nell’intervallo -1 ≤ x ≤ 1.
Esercizio. Tracciare il grafico della funzione f(x) definita a tratti nel modo seguente
f(x) =
e calcolarne l’integrale sull’intervallo [0,5].
Sul primo tratto si tratta della parabola x2 traslata in alto di 2, sul secondo tratto della retta per i
punti (1,4) e (5,0). Il grafico risulta allora complessivamente:
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
1
2
3
4
5
6
L’integrale in questione coincide con il sottografico del grafico precedente e può essere spezzato
in due addendi: ciascuno dei quali è l’integrale della funzione sull’intervallo sul quale la funzione
si scrive in modo analiticamente semplice:
=
+
=
+
Terminare l’esercizio calcolando separatamente
e
per poi sommarli.
Osservazione. Nell’esercizio precedente abbiamo fatto uso della proprietà, detta di additività
dell’integrale, che afferma che per ogni numero reale c con a < c < b, allora
=
+
ossia ogni integrale si può spezzare nella somma di integrali suddividendo l’intervallo di
definizione in sottointervalli.
Esercizio. Tracciare i grafici delle funzioni
f1(x) =
f2(x) = , 0 ≤x≤5
e calcolare l’area della regione piana compresa nello stesso intervallo fra i grafici delle due
funzioni.
Svolgere l’esercizio nei dettagli. Ci limitiamo a indicare i grafici:
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
1
2
3
4
5
6
-
Ed a suggerire di calcolare l’area calcolando la differenza
separatamente
sui tre intervalli [0,1], [1,3],[3,5] e di sommarli.
Esercizio. Tracciare i grafici delle funzioni
f1(x) =
f2(x) =
e calcolare l’area della regione piana compresa nello stesso intervallo fra i grafici delle due
funzioni.
Ci limitiamo a riportare solo i grafici:
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
1
2
3
4
5
6