5.3 Integrali di linea di prima specie - e-Learning

5.3
Integrali di linea di prima specie
Esercizio 208. Determinare
Z
xy ds
γ
ove γ è il sostegno di una curva ottenuto come unione del segmento γ1 che congiunge i punti
(−1, 0) e (0, −1), dell’arco di circonferenza γ2 di raggio 1 e passante per (0, −1) e (1, 0) e del
segmento γ3 che permette di chiudere la curva.
Risultato.
Z
√
2 1
− .
6
2
xy ds =
γ
Il sostegno è rappresentato in Figura 208.1.
1
−1
−1
Figura 208.1: Sostegno della curva dell’Esercizio 208.
Esercizio 209. Determinare
Z p
1 + x2 + 3y ds
γ
2
ove γ è l’arco di parabola y = x compresa fra (0, 0) e (1, 1).
Esercizio 210. Calcolare il seguente integrale di linea
Z
x2 ds
γ
dove γ è il sostegno della curva
r(t) =
Risultato.
t
ln t
,
t ∈ [1, 2].
√
√
5 5−2 2
3
Esercizio 211. Calcolare il seguente integrale di linea
Z
x2 ds
γ
dove γ è la semicirconferenza con centro nell’origine e di raggio 1 rappresentata nella seguente
figura.
Risultato.
π
2.
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Esercizio 212. Calcolare il seguente integrale di linea
Z
x ds
γ
dove γ è il sostegno della curva
r(t) =
t
t2
t ∈ [0, 1].
,
Soluzione. Usando il cambiamento di variabile z = 1 + 4t2 , dz = 8tdt possiamo calcolare
5
Z 1 p
Z
Z 5
√ 1
1 √
1 2 3
2
2
=
5 5−1 .
z
t 1 + 4t dt =
x ds =
z dz =
8
8 3
12
0
γ
1
1
Il valore dell’integrale di linea rappresenta la misura dell’area verticale rappresentata nella Figura
212.1.
Z
X
Y
(0,0,0)
Figura 212.1: Superficie verticale la cui misura è data dall’integrale di linea
Esercizio 213. Calcolare il seguente integrale di linea di prima specie
Z p
1 + 4x2 z 2 ds
γ
dove γ è il sostegno della curva


cos t
r(t) = cos2 t ,
sin t
t ∈ [0, 2π].
Risultato. 3π.
Esercizio 214. Calcolare il seguente integrale di linea di prima specie
Z x
ds
1+
3
γ
dove γ è il sostegno della curva:


3t
r(t) = 3t2  ,
2t3
Risultato. 8.
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t ∈ [0, 1].
Esercizio 215. Si consideri la curva (elica cilindrica, Figura 215.1)


sin t
r(t) = cos t , t ∈ [−π, π],
t
di supporto γ, determinarne la lunghezza e i due integrali di linea
Z
Z
xy
2
2
2
√
ds.
x + y + z ds,
1 + z2
γ
γ
Figura 215.1: Sostegno della curva dell’Esercizio 215
Esercizio 216. Calcolare l’integrale di linea
Z
(2x + 9z) ds,
γ
dove γ è il sostegno della curva
 
t
r(t) = t2  ,
t3
t ∈ [0, 1] .
Soluzione. Con la sostituzione z = 1 + 4t2 + 9t4 si ottiene
Z
Z
Z 1
p
p
1 1
1 + 4t2 + 9t4 dt =
1 + 4t2 + 9t4 dt
8t + 36t3
(2x + 9z) ds =
2t + 9t3
4 0
γ
0
14
Z
1 2 3
1 3
1 14 √
2
z dz =
=
14 2 − 1 .
z
=
4 1
4 3
6
1
60