La distanza minima di un punto da una curva

La distanza minima di un punto da una curva
Di Cristiano Armellini, [email protected]
Sia g(x,y)= 0 una curva nel piano e supponiamo di considerare tale curva in un intervallo [a, b] dell’asse
delle ascisse x, dove la cura è invertibile ovvero in [a,b] possiamo scrivere y = f(x) con funzione invertibile
(suriettiva e iniettiva). Supponiamo inoltre che in tale intervallo la f sia continua e derivabile con derivata
continua in [a,b]. Dato un punto , del piano non appartenente alla curva vogliamo sapere qual è la
distanza minima di tale punto dalla curva. All’uopo calcoliamo la distanza di P da un generico punto C che
appartiene alla curva:
Imponiamo la condizione 0 e ne studiamo il segno al variare di x:
1 2 1 2 2
Dove , Quindi per annullarsi il numeratore dovrà essere ovvero
!
"
Trovato il valore di y ho che # essendo la f una funzione invertibile. Questo mi porta a
concludere che ho trovato il punto C(x,y) della cura tale che la distanza dal punto P(X,Y) è minima. Un caso
particolare può capitare quando la cura è una circonferenza e il punto P sta nel centro della circonferenza:
in questo caso tutti i punti della circonferenza hanno distanza minima da P per la proprietà caratteristica
della curva stessa. Se la f non fosse invertibile potremmo avere più punti nell’intervallo [a, b] che
determinano la distanza minima.
Il procedimento appena descritto ci induce a considerare il problema più generale di trovare la distanza
minima tra due rette nel piano. Sia # , # , $ , ; # # ; ' Ove f, g sono funzioni
continue, derivabili e invertibili nell’intervallo rispettivamente [a, b], [c, d]. Allora se
# # ' Poniamo a sistema
(
(
0;
0
(#
(
E poi studiando il segno dell’Hessiano di d troviamo # , quindi # # ; ' . Si potrebbe
generalizzare il problema considerando il caso di punti e curve nello spazio: il procedimento non cambia ma
i calcoli diventano più complessi (si potrebbe più facilmente ricorrere alla descrizione delle curve tramite
formula parametriche x=x(t), y=y(t) piuttosto che in coordinate cartesiane sia per quanto riguarda la
distanza di un punto da una curva che per quanto riguarda la distanza tra due rette sempre nello spazio).
Quindi se P(X,Y) è n generico punto del piano w la cura C è descritta dalle equazioni parametriche x=x(t) e
y=y(t) t in [e, f] ) ) ) ovvero ) 0 porta a
) ) ) ) 0
Ovviamente, sempre con lo stesso metodo possiamo considerare la distanza di un punto da una superficie
e la distanza tra due superfici in * +).
Nota: Se le due curve di intersecano in uno o più punti la loro distanza è zero. Se ho due rette parallele
saranno infiniti i punti che determinano la distanza minima (ovvero la distanza costante tra le due rette).