Analisi Matematica 1 data e ora – Versione A Nome, Cognome
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Analisi Matematica 1 data e ora – Versione A Nome, Cognome
Analisi Matematica 1 data e ora – Versione A Nome, Cognome, Matricola: Corso di Laurea: Cognome del Docente: Esercizio 1. (10 punti) Sia data la funzione f (x) = e2x x|x| + 5 (a) Determinare il dominio ed eventuali asintoti. (b) Studiare il segno. (c) Determinare eventuali punti di non derivabilità e calcolare la derivata (dove questa esiste). (d) Determinare eventuali punti di massimo e di minimo relativo, e gli intervalli di monotonia. (e) Tracciare il grafico qualitativo. (f) Dire quanti sono i punti in cui la retta y = ȳ interseca il grafico della funzione, al variare di ȳ nell’intervallo (−∞, 0). Esercizio 2. (8 punti) Data la funzione f (x) = |x − 2| sin(x − 3), determinare l’area della parte di piano compresa fra l’asse delle x e il grafico di f (x), per 3− π π ≤x≤3+ . 2 2 Quesito 1. (6 punti) Enunciare e dimostrare il teorema di Rolle. Quesito 2. (6 punti) (a) Sia f : R → R continua, derivabile, tale che f (−10) = f (7) = 0. Qual è il minimo numero di punti stazionari della funzione g(x) = (cosh(f (x))) ? Motivare la risposta. R +∞ (b) Siano f, g : R → R due funzioni continue tali che f ≤ g, e per cui l’integrale improprio −∞ g(x) dx R +∞ sia convergente. Dire se necessariamente anche l’integrale improprio −∞ f (x) dx è convergente, motivando la risposta. Analisi Matematica 1 data e ora – Versione A Nome, Cognome, Matricola: Corso di Laurea: Cognome del Docente: Esercizio 1. (10 punti) Si consideri la funzione r f (x) = x3 − 27 2x Si chiede di: (a) determinare il dominio di f (x), trovare i limiti agli estremi e gli eventuali asintoti; (b) studiare la derivabilità della funzione; (c) determinare gli intervalli di monotonia di f (x) e gli eventuali punti di massimo e di minimo locale ed assoluto; (d) tracciare il grafico qualitativo di f (x) utilizzando le informazioni ricavate nei punti precedenti; (e) determinare l’intervallo massimale contenente il punto x = −8 in cui f (x) è invertibile . Esercizio 2. (8 punti) Determinare tutte le soluzioni y(t) dell’equazione differenziale y 00 + 4y = t. Quesito 1. (6 punti) Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale. Quesito 2. (6 punti) (a) Sia f (x) = 4 − |x|; tracciare il grafico di f (x) nell’intervallo I = [−2, 2] e determinare la media integrale di f (x) nel medesimo intervallo. Come si interpreta geometricamente il risultato ottenuto? (b) Interpretare geometricamente la disuguaglianza triangolare |z + w| ≤ |z| + |w| nel piano complesso.