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Serie di funzioni
Sia I ⊂ R, per ogni k ∈ N, data la successione di funzioni (fk )k con fk : I → R, consideriamo la serie di funzioni
(0.1)
∞
X
fk (x)
k=0
Pn
e definiamo la successione delle somme parziali sn (x) = k=0 fk (x).
Diremo che la serie (0.1) converge puntualmente in x0 ∈ I se esiste il limn→∞ sn (x0 ) ∈ R
La serie (0.1) converge puntualmente ad f in J ⊂ I se la successione sn converge puntualmente ad f in J, cioè se limn→∞ sn (x) = f (x) per ogni x ∈ J.
Si dirà che la serie (0.1) converge uniformemente ad f in J ⊂ I se la successione sn converge
uniformemente ad f in J, cioè se limn→∞ supx∈J |sn (x) − f (x)| = 0.
La funzione f è detta a seconda che la convergenza sia puntuale o uniforme somma puntuale
o uniforme della serie (0.1).
Si
dice che la serie (0.1) converge puntualmente (o uniformemente) assolutamente se la serie
P∞
k=0 |fk (x)| converge puntualmente (o uniformemente).
Osservazione
Come nel caso delle successioni di funzioni la convergenza uniforme implica quella puntuale.
Inoltre la convergenza assoluta puntuale (o uniforme) implica convergenza puntuale (o uniforme).
Un altro tipo di convergenza per P
le serie è la convergenza totale e si dice che la serie (0.1)
∞
converge totalmente in J ⊂ I se k=0 supx∈J |fk (x)| converge. Spesso utilizzeremo la notazione kfk kJ al posto di supx∈J |fk (x)|.
Com’è facile osservare la convergenza totale implica quella uniforme e quella assoluta.
Un modo per stabilire che una serie converge totalmente è fornito dal seguente criterio.
Criterio di Weierstrass La serie (0.1) converge totalmente inPJ ⊂ I se esiste (Mk )k
∞
successione numerica tale che |fk (x)| ≤ Mk per ogni x ∈ J e k ∈ N e k=0 Mk è convergente.
A differenza della convergenza totale, non ci sono molti criteri per stabilire la convergenza
uniforme di una serie; tuttavia se si ha una serie a termini tutti positivi (o tutti negativi),
una strategia possibile consiste nello studiare la convergenza totale anche se questo non
garantisce di trovare tutti i sottoinsiemi di R in cui si ha convergenza uniforme. Se invece
la serie è a segni alterni si può utilizzare il criterio di Leibniz.
Qui di seguito uno schema dei diversi topi di convergenze e le relative implicazioni:
Convergenza assoluta puntuale
⇑
Convergenza assoluta uniforme
⇑
Convergenza totale
1
⇒
⇒
Convergenza puntuale
⇑
Convergenza uniforme
Esercizio 0.1. Si studi la serie
∞
X
fn (x) =
n=1
∞
X
x + n2
x2 + 3n4
n=1
Le funzioni fn sono definite in tutto R. Per ogni x ∈ R si ha
x + n2 |x + n2 |
|x|
n2
|x|
1
|x| + 1
x2 + 3n4 ≤ 3n4 ≤ 3n4 + 3n4 ≤ 3n2 + 3n2 = 3n2
e |x|+1
3n2 è il termine n−esimo di una serie convergente, per cui la serie converge assolutamente
puntualmente in x ∈ R.
2
2
x+3n4
Verifichiamo la convergenza totale e calcoliamo kfn kR . La derivata fn0 (x) = −x(x−2n
2 +3n4 )2
si annulla in x1 = n2 e x2 = −3n2 per cui
1
1
1
,
,
0,
0
= 2
kfn kR = max{|f (x1 )|, |f (x2 )|, lim |fn (x)|, lim |fn (x)|} = max
x→∞
x→−∞
2n2 6n2
2n
che è il termine di una serie convergente e quindi la serie converge totalmente. Dunque vi è
anche convergenza uniforme in R.
Esercizio 0.2. Studiare convergenza puntuale assoluta e determinare eventuali sottoinsiemi
di R, in cui si ha convergenza uniforme.
∞ √
X
1 − x2n
(0.2)
.
3n
n=0
La serie è definita per valori di x tali che 1 − x2n ≥ 0 cioè per x ∈ [−1, 1]. Inoltre per
ogni n ∈ N risulta
√
1 − x2n 1 n
≤
3n
3
n
P∞
e la serie n=0 31 converge perché serie geometrica di ragione 13 quindi per il criterio di
Weierstrass, la serie data converge totalmente in [−1, 1] e di conseguenza assolutamente e
uniformemente in [−1, 1].
Esercizio 0.3. Studiare convergenza puntuale, uniforme e totale della serie.
∞
X
(0.3)
(−1)n
n=1
x2 + n
.
n2
2
Per stabilire la convergenza puntuale, fissiamo x ∈ R e osserviamo che fn (x) = (−1)n x n+n
2
è una successione numerica a segni alterni. Verifichiamo che si possa applicare il teorema di
Leibniz o equivalentemente che la successione (fn (x))n sia infinitesima e decrescente. Poiché
(i) limn→∞
(ii)
x2
(n+1)2
+
x2 +n
n2
1
n+1
=0
≤
x2
n2
+
1
n
2
ne segue che la serie data converge puntualmente ad una funzione f (x), x ∈ R.
Dal teorema di Leibniz si riesce anche a stimare il resto della serie numerica. Infatti fissato
x ∈ R, risulta
∞
∞
n
X
x2 + (n + 1)
X
2
2
2
X
kx +k
kx + k
kx + k
=
(−1)
−
(−1)
(−1)
≤
k2 k2
k2 (n + 1)2
k=n+1
k=1
k=1
Per stabilire la convergenza assoluta, osserviamo che
∞
∞
X
X
2
x2 + n
n x + n
(−1)
=
n2 n=1 n2
n=1
P∞ x2 +n
2
1
∼
e x n+n
ha lo stesso carattere della serie
=P
2
n=1 n2
n per n → ∞, pertanto la serie
∞
armonica n=1 n1 che diverge. La serie data non converge assolutamente in R e neppure
totalmente in R, né in alcun sottoinsieme di R.
Vediamo se la serie data converge uniformemente. Consideriamo intervalli [a, b] ⊂ R, risulta
∞
X
2
x
+
k
(−1)k
lim sup |f (x) − sn (x)| = lim sup n→∞ x∈[a,b]
n→∞ x∈[a,b] k2 k=n+1
x2 + (n + 1)
≤ lim sup
n→∞ x∈[a,b]
(n + 1)2
max{a2 , b2 } + n + 1
=0
n→∞
(n + 1)2
≤ lim
pertanto la serie data converge uniformemente negli intervalli chiusi e limitati di R.
Esercizio 0.4. Studiare la seguente serie di funzioni
(0.4)
∞
X
sinn−1 x,
x∈R
n=1
Fissiamo x ∈ R, il termine generale della serie tende a zero per valori di x tali che
| sin x| < 1 cioè per x 6= π2 + kπ, k ∈ Z.
Osserviamo che se x = kπ, k ∈ Z, sin x = 0, la serie è a termini nulli e converge banalmente
a zero. La serie
∞
∞
X
X
n−1
sin
x=
sinn x
n=1
n=0
π
2 + kπ,
converge assolutamente puntualmente per x 6=
k ∈ Z. La serie converge totalmente
in intervalli del tipo [ π2 + kπ + ε, 32 π + kπ − ε], k ∈ Z.
Esercizio 0.5. Studiare la seguente serie di funzioni
(0.5)
Fissato x ∈ R si ha
∞
X
x
n(1 + nx2 )
n=1
x
∼ 1
n(1 + nx2 ) = n2
3
P∞ 1
e dato che
n=1 n2 converge, la serie data converge assolutamente puntualmente in R.
Vediamo se c’è convergenza totale in R cioè se
∞
X
x
converge in R.
sup 2
n(1
+
nx
)
x∈R
n=1
x
Consideriamo la successione fn (x) = n(1+nx
2 ) . Si osservi che limx→±∞ fn (x) = 0, inoltre
1
0
√
fn (x) = 0 se e soltanto se x = ± n pertanto supx∈R |fn (x)| = fn ( √1n ) = 2n1√n . Dal moP∞
1
mento che n=1 n3/2
converge, la serie data converge totalmente in R.
Esercizio 0.6. Studiare convergenza puntuale e uniforme della serie
∞
X
x −nx
e
,
n
n=1
(0.6)
x∈R
Osserviamo che per x < 0, la serie non converge perché il termine generale non è infinitesimo. Per x ≥ 0 il termine generale
tende a 0 per n → ∞ e la serie si comporta
P
puntualmente come la serie numerica n ne1n che converge. Pertanto la serie data converge
puntualmente per x ≥ 0. Per stabilire se si ha convergenza totale studiamo la serie numerica
∞
X
sup
n=1 x≥0
Risulta che fn (x) =
x −nx
ne
x −nx
e
n
è una successione crescente per x ≤
sup
x≥0
1
n,
quindi
x −nx
1
e
= 2
n
en
P
e la serie 1e n n12 converge. Concludiamo allora che la serie data converge totalmente in
[0, +∞) e quindi ivi anche uniformemente.
Esercizio 0.7. Studiare convergenza puntuale, uniforme e totale della serie
∞
X
(0.7)
(−1)n
n=1
1
log(n + x2 )
x∈R
La serie non converge assolutamente puntualmente perché fissato x ∈ R
1
1
(−1)n
∼
=
log(n + x2 ) log n
P
e la serie n log1 n non converge in nessun sottoinsieme di R. Pertanto la serie data non
converge totalmente. La serie converge puntualmente ad una funzione f per il teorema di
Leibniz, infatti fissato x ∈ R
(i)
1
log(n+x2 )
≥ 0 per ogni n ∈ N
4
(ii) limn→∞
1
log(n+x2 )
=0
1
(iii) ( log(n+x
2 ) )n decrescente
È possibile inoltre stimare il resto n-esimo
∞
X
1
1
k
(−1)
≤
2
log(k + x ) log(n + 1 + x2 )
x ∈ R, n ∈ N
k=n+1
pertanto
∞
X
1
k
(−1)
0 ≤ lim sup |sn (x) − f (x)| = lim sup n→∞ x∈R
n→∞ x∈R log(k + x2 ) k=n+1
≤ lim
n→∞
1
=0
log(n + 1 + x2 )
da cui si deduce la convergenza uniforme in R della serie data.
Esercizio 0.8. Studiare la seguente serie di funzioni
∞
X
nx2 cos(nx2 )
n3 + 1
n=1
(0.8)
Verifichiamo la convergenza puntuale; fissato x ∈ R risulta
2
nx cos(nx2 ) x2
1
≤ x2
≤
n3 + 1 n2 + 1/n
n2
P 1
pertanto, poiché la serie
n n2 converge la serie converge assolutamente puntualmente.
Inoltre dato che supx∈R |fn (x)| = +∞ (infatti lim supx→∞ fn (x) = ∞), la serie non converge
totalmente in R. La serie data non converge neppure uniformemente in R infatti essendo
supx∈R |fn (x)| = +∞, il resto della serie non può convergere. D’altra parte se supx∈R |fn (x)|
non è infinitesimo per n → ∞ allora la serie non può converge uniformemente, infatti
|fn (x)| = |
∞
X
fk (x) −
k=n
∞
X
fk (x)| ≤ |
k=n+1
∞
X
fk (x)| + |
k=n
∞
X
fk (k)|
k=n+1
P∞
Se la serie converge uniformemente supx∈R | k=n fk (x)| deve tendere a zero per n → ∞ e
quindi anche supx∈R |fn (x)|. Per x ∈ [−a, a] risulta
2
nx cos(nx2 ) na2
n3 + 1 ≤ n3 + 1
e
X
sup
|fn (x)| ≤ a2
n x∈[−a,a]
X
n
quindi si ha convergenza totale nei compatti di R.
5
n3
n
+1
Esercizio 0.9. Studiare convergenza puntuale uniforme e totale della serie
∞
X
(0.9)
nx xn
n=1
Fissato x ∈ R, osserviamo che per |x| > 1 limn→∞ |fn (x)| = ∞, mentre per |x| < 1,
applicando il criterio della radice si ha
p
√
lim n nx |x|n = lim |x|( n n)x = |x|
n
n
√
n
essendo limn nα = 1 per ogni α ∈ R, pertanto perP|x| < 1 la serie data converge assolutamente puntualmente.
Per x = 1 la serie diventa n n che diverge, mentre per x = −1
P
la serie diventa n (−1)n n1 che converge per Leibniz. La serie non converge totalmente in
[−1, 1) infatti supx∈[−1,1) |fn (x)| ≥ fn (1) = n, inoltre poiché ||fn || non è infinitesimo la serie
non converge uniformemente. Fissato a < 1 si ha
1
1
sup |fn (x)| = max{ , 0, na an } =
n
n
x∈[−1,a]
ma 1/n non è il termine generale di una serie convergente. Se ci restringiamo ulteriormente
sup
|fn (x)| = na an
x∈[−a,a]
e na an è il termine generale di una serie convergente, pertanto la serie data converge totalmente in intervalli del tipo [−a, a] con 0 < a < 1
Esercizio 0.10 (Traccia d’esame (13 Luglio 2007)). Determinare l’insieme di convergenza
puntuale e totale della serie
(0.10)
∞
X
x2n + (2x)n
n
n=1
Fisso x ∈ R, affinché il termine generale della serie sia infinitesimo per n è necessario
restringere il dominio a valori x tali che
2
|x | < 1
|2x| < 1
che è soddisfatto per x ∈ (−1/2, 1/2). Osserviamo che per x =
minorata da una serie divergente, infatti
1
2,
la serie può essere
∞
∞
X
( 14 )n + 1 X 1
>
n
n
n=1
n=1
quindi la serie data non converge in 12 . Invece per x = − 21 , la serie diventa
∞
X
( 14 )n + (−1)n
.
n
n=1
6
che converge perché somma di due serie convergenti. Tuttavia la serie data non converge
assolutamente puntualmente per x = − 21 infatti il termine generale
1
( 1+ 1
n + (−1)n 4n
n pari
4
n1
=
1−
4n
n
n dispari
n
e per n sufficientemente grande 1 ±
1
4n
1
4n
≥
1
2
quindi
+ (−1)n 11
≥
n
2n
pertanto la serie data non converge assolutamente in − 12 . Inoltre per x ∈ (−1/2, 1/2) la serie
può essere scritta come somma di due serie di potenze convergenti puntualmente pertanto la
serie data converge puntualmente in (−1/2, 1/2). La convergenza è totale (quindi uniforme)
nei compatti contenuti in (−1/2, 1/2) infatti se [a, b] ⊂ (−1/2, 1/2)
2n
2n ∞ ∞
n
X
x + (2x)n X
x ≤
+ sup (2x) sup sup
n n n
x∈[a,b]
n=1 x∈[a,b]
n=1 x∈[a,b]
2n X
∞
∞
X
(2x)n x < ∞.
sup
+
sup =
n n=1 x∈[a,b] n n=1 x∈[a,b]
Esercizio 0.11 (Traccia d’esame (17 Novembre 2008)). Studiare la convergenza puntuale
ed uniforme della serie
∞
X
5n
,
xn + 3 n
n=1
(0.11)
x > 0.
Fisso x > 0, dal momento che
5n
∼
=
xn + 3n
5
(max{x, 3})
n
si ha che
n
P
se x ≤ 3, allora max{x, 3} = 3 e la serie n 53 non converge
n
P
se 3 < x ≤ 5, allora max{x, 3} = x e la serie n x5 non converge.
n
1
Si potrebbe anche osservare che per 0 ≤ x ≤ 5 la successione xn5+3n = x n +
n non è
( 5 ) ( 35 )
x n
3 n
1
1
infinitesima per n tendente all’infinito in quanto 5 + 5 ≤ 2 e x n + 3 n ≥ 2 .
(5) (5)
Infine se x > 5 la serie data converge puntualmente perché si comporta come la serie
geometrica di ragione minore di 1. Non si ha convergenza totale perché
sup fn (x) = lim fn (x) =
x>5
x→5+
5n
1
=
5n + 3n
1 + (3/5)n
P
n
e la serie n 5n5+3n non converge perché il termine generale non va a zero. Inoltre poiché
supx>5 fn (x) non tende a zero per n → ∞ non si ha neppure convergenza uniforme in
(5, +∞). Se si fissa a > 5 la serie converge totalmente in [a, +∞), infatti
sup fn (x) = fn (a) =
x≥a
7
5n
an + 3n
n P
n
P
n
n
e la serie n an5+3n converge perché an5+3n < a5 e n a5 converge. Pertanto la serie
data converge totalmente e quindi anche uniformemente in [a, +∞) per a > 5.
Esercizio 0.12 (Traccia d’esame (17 Aprile 2007)). Studiare la convergenza puntuale, uniforme e totale della serie
∞
X
1
n,
1 + (3x)
n=1
(0.12)
x ≥ 0.
Fisso x ≥ 0, il termine generale della serie converge a zero per 3x > 1, cioè per x > 13 ,
inoltre dato che
n
1
1
≤
n
3x
1 + (3x)
P
1 n
converge per x > 1/3, la serie data converge puntualmente per x ∈
e la serie n 3x
(1/3, +∞).
Vediamo se si può stabilire la convergenza totale. Calcoliamo supx>1/3 fn (x), osserviamo
che limx→+∞ fn (x) = 0 e fn (x) è una funzione decrescente, pertanto
sup fn (x) =
x>1/3
lim + fn (x) =
x→1/3
1
2
e la serie n 12 non converge, quindi la serie data non converge totalmente in (1/3, +∞)
e neppure uniformemente dal momento che supx>1/3 fn (x) non tende a zero per n → ∞.
Fissiamo a > 1/3 e osserviamo che
P
∞
X
sup fn (x) =
n=1 x≥a
∞
X
fn (a) =
n=1
∞
X
1
.
1 + (3a)n
n=1
1
n 1+(3a)n
P
converge perché è possibile stimare il suo termine generale con il ter
1
1 n
mine generale di una serie convergente, infatti 1+(3a)
. La serie data converge
n ≤
3a
totalmente in intervalli del tipo [a, +∞) con a > 1/3.
La serie
Esercizio 0.13 (Traccia d’esame (5 Febbraio 2007)). Studiare la convergenza puntuale,
uniforme e totale delle serie
(0.13)
∞
X
cos(nx)e−n|x| ,
x ∈ R.
n=1
Per x = 0 si ha fn (x) = 1 per cui la serie diverge. Per ogni x ∈ R \ {0} possiamo stimare
il termine della serie nel seguente modo
| cos(nx)e−n|x| | ≤ e−n|x|
per cui la serie converge assolutamente puntualmente in x ∈ R \ {0}. Abbiamo poi
kfn kR\{0} = 1 per cui non vi è convergenza totale. La convergenza non è nemmeno uniforme
in quanto condizione necessaria per la convergenza uniforme è che si abbia limn→∞ kfn k = 0.
Però negli intervalli del tipo I = (−∞, −a] ∪ [a, +∞) con a > 0 abbiamo kfn kI ≤ e−na che
è il termine di una serie convergente. Per cui c’è convergenza totale negli intervalli di tipo
I.
8
Esercizio 0.14 (Traccia d’esame (9 Settembre 2008)). Studiare la convergenza puntuale ed
uniforme della serie
(0.14)
∞
X
nxn
.
1 + n2 x2
n=1
Per |x| > 1 il termine generale della serie non è infinitesimo, per cui la serie non converge.
Se |x| < 1 abbiamo che x2 < 1 e quindi
nxn nxn n
n−2
|
(0.15)
≤ |xn−2 |
1 + n2 x2 ≤ x2 + n2 x2 ≤ |x
1 + n2
che è il termine di una serie convergente.
P∞
n n
Per x = −1 la serie diventa
n=1 (−1) 1+n2 che è una serie a segni alterni, inoltre
n
n
limn→∞ 1+n2 = 0 e la successione 1+n2 è decrescente; per il criterio di Leibniz la serie
n converge. La serie non converge assolutamente in quanto (−1)n 1+n
2 ≥ 1/n.
Per x = 1 la serie non converge.
La serie dunque converge puntualmente in [−1, 1[ e assolutamente puntualmente in ] − 1, 1[.
La serie converge totalmente negli intervalli di tipo I = [−a, a] con 0 < a < 1 in quanto
kfn kI ≤ an−2 .
Si lascia per esercizio lo studio della convergenza uniforme in [−1, a] con 0 < a < 1.
9