Criterio di convergenza assoluta. Sia (a n)n una successione in IR

Criterio di convergenza assoluta. Sia (an )n una successione in IR tale che la serie
converge. Allora la serie
∞
X
∞
X
|an |
n=0
an converge.
n=0
Dim. Qualunque sia il segno di an risulta certamente an ≤ |an | e quindi la differenza |an | − an è
∞
X
≥ 0. Inoltre |an | − an ≤ 2|an | per ogni n ∈ IN . Quindi la serie a termini positivi
(|an | − an )
n=0
converge per il Criterio del Confronto.
Scrivendo an = |an | − (|an | − an ) la serie
∞
X
an diviene differenza di due serie a termini positivi,
n=0
entrambe convergenti; per linearità la serie converge.
Se converge la serie
∞
X
n=0
|an | si dice che la serie
∞
X
an converge assolutamente.
n=0
Quindi il Teorema dice che se una serie converge assolutamente, necessariamente converge
(semplicemente).
La condizione non è invece sufficiente, in altre parole una serie può convergere, ma non con∞
X
vergere assolutamente, ovvero divergere assolutamente, dato che la serie
|an | non può essere
n=0
indeterminata (Sai spiegare perchè?).
Per assicurarci di questo fatto, mostriamo un controesempio, cioè una serie convergente che però
∞
X
1
diverge assolutamente: basta allo scopo considerare la serie a termini di segno alternato
(−1)n
n
n=0
che converge, in virtù del Criterio di Leibnitz, mentre la serie dei valori assoluti diviene la serie
armonica che diverge.
1