k + 1 - Università degli Studi della Basilicata

Università degli Studi della Basilicata
Corsi di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche
Matematica II
A. A. 2015-2016 (dott.ssa Vita Leonessa)
Esercizi proposti n. 1: Serie numeriche
1. Studiare il carattere delle seguenti serie e se possibile calcolarne la somma:
+∞
X
1
;
(k + 1)(k + 2)
k=0
k
+∞ 2
X
k +k
;
(b)
2+5
k
k=0
+∞ X
1
3k−1
+ k ;
(c)
k
5
7
k=2
(a)
(d)
+∞
X
3π
;
8
tank
k=1
(e)
+∞
X
k=0
(f)
+∞
X
k=1
(i)
2k k
+∞
X
5k
sink
;
2
;
π
2k
;
3k
k+1
(−1)k
k=0
+∞ X
9
(j)
−
5
k=1
(k)
;
+∞
X
2 − k2
k=1
(h)
3−k
;
+ 3k 4 + 1
+∞
X
(−1)k
k=1
(g)
k5
;
+∞
X
(−1)k 1
;
2k
(2k
+
1)!
π
k=0
2k
+∞ X
π
(l)
;
1+π
k=0
(m)
+∞
X
arctan
k=2
(n)
(o)
+∞
X
1
;
k sin √
3
k
k=1
+∞
X
(2 + ln k)k
k=1
(p)
1
;
k2
+∞
X
k=1
kk
cos k
;
1
;
k(k + 1)
+∞
X
(−1)k
√ ;
(q)
2k k
k=1
+∞ X
1
1
(r)
−
;
2k
2k
+
2
k=1
+∞
X
1
.
(s)
k
3 k!
k=0
2. Studiare la convergenza semplice e assoluta delle seguenti serie:
(a)
+∞
X
(−1)k
k=0
(b)
(c)
k3
;
2k + 1
+∞
X
1
(−1)k sin √ ;
k
k=1
+∞
X
k
(−1)k (e 1+2k3 − 1);
k=0
(d)
+∞
X
k=0
(−1)k
2k
.
k + 3k
3. Siano (ak )k≥1 e (bk )k≥1 due successioni di numeri reali non negativi. Dire se le seguenti
affermazioni sono vere o false motivando la risposta:
(a) Se ak ≤ bk , ∀k ≥ 1 e se lim ak = 1 la serie
k→+∞
(b) Se ak ≤ bk , ∀k ≥ 1, e se
+∞
X
+∞
X
bk converge.
k=1
bk = 1, allora la serie
k=1
+∞
X
k=1
2
ak converge.
+∞
+∞
X
X
ak
(c) Se lim
= 1, le serie
ak e
bk hanno lo stesso carattere.
k→+∞ bk
k=1
k=1
4. Si consideri la serie numerica
∞
X
ak con ak ≥ 0 per ogni k ≥ 1. Dire se le seguenti
k=1
affermazioni sono vere o false motivando la risposta:
√
k
(a) Se lim
k→∞
∞
X
2
ak = allora la serie
ak diverge positivamente.
e
k=1
(b) La serie potrebbe essere indeterminata.
k
1
1
. Allora la serie converge ed ha per somma .
(c) Supponiamo che ak =
3
2
∞
X
√
(d) Se lim k ak = 1 allora la serie
ak converge.
k→∞
5. Sia
k=1
+∞
X
(−1)k ak con ak ≥ 0 per ogni k ≥ 0. Rispondere ai seguenti quesiti motivando
k=0
le risposte:
(a) Se la serie
+∞
X
+∞
X
(−1)k ak ?
ak converge si può dire qualcosa sulla serie
k=0
k=0
(b) Se la serie
+∞
X
k
(−1) ak converge si può concludere che anche la serie
+∞
X
ak con-
k=0
k=0
verge?
6. Sia
+∞
X
ak , ak ≥ 0 per ogni k ≥ 0. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false
k=1
motivando la risposta:
(a) Se lim ak 6= 0 allora la serie non può convergere a zero.
k→+∞
(b) Se ak = 3k allora la serie diverge.
(c) Se lim ak = 0 e se limk→+∞ kak = 1 allora la serie diverge positivamente.
k→+∞
(d) Se
+∞
X
ak = 4 allora lim ak = 0.
k=1
7. Sia
+∞
X
k→+∞
ak , ak ∈ R per ogni k ≥ 0. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false
k=1
motivando la risposta:
3
(a) Se ak = (−1)k per ogni k ≥ 1 allora la serie converge con somma zero.
(b) Se ak = k −2 per ogni k ≥ 1 allora la serie converge.
−k
(c) Se ak = 2
per ogni k ≥ 1 allora
+∞
X
ak = 2.
k=1
(d) Se
+∞
X
|ak | < +∞ allora
k=1
+∞
X
ak converge .
k=1
8. Verificare che
+∞ k
X
3 + 5k
k=1
15k
3
= .
4
9. Rispondere ai seguenti quesiti:
(a) scrivere la definizione di serie numerica convergente, divergente e indeterminata;
(b) se
+∞
X
ak , ak ≥ 0 per ogni k ≥ 1 diverge e se ak ≤
k=1
qualcosa sul carattere della serie
+∞
X
bk
per ogni k ≥ 1, si può dire
4
bk ?
k=1
10. Sia
+∞
X
ak , ak > 0 per ogni k ≥ 1. Rispondere ai seguenti quesiti:
k=1
(a) scrivere l’enunciato del criterio della radice;
+∞
X
√
4
−1
k
?
(b) se lim
ak = π , si può dire qualcosa sul carattere della serie
k→+∞
ak
k=1
4