Serie a termini positivi
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Serie a termini positivi
Luca Lussardi Appunti di Analisi I Serie a termini positivi Per le serie a termini positivi, ovvero con termine generale xn ≥ 0, si hanno varie condizioni sufficienti (non necessarie) che garantiscono la convergenza o la positiva divergenza della serie: va osservato infatti che una serie a termini positivi può solo convergere o divergere positivamente, essendo la successione Sk una successione monotona non decrescente. Criterio del confronto: Sia +∞ X xn n=0 una serie a termini positivi; supponiamo esista una successione yn con xn ≤ yn per ogni n ∈ N e tale per cui la serie +∞ X yn n=0 converga. Allora anche la serie +∞ X xn n=0 converge. Dimostrazione. Si osservi che anche la serie +∞ X yn n=0 è a termini positivi; ne segue che la successione Sk0 = k X yn n=0 è non decrescente e si ha Sk ≤ Sk0 per ogni k ∈ N, essendo Sk = k X xn . n=0 Dunque Sk ha limite finito, avendo Sk0 limite finito. Criterio del confronto asintotico: Sia +∞ X n=0 www.matematicamente.it 1 xn Luca Lussardi Appunti di Analisi I una serie a termini positivi; supponiamo esista un’altra serie +∞ X yn n=0 a termini strettamente positivi tale che xn = c ∈ R. yn lim n→+∞ Allora se la serie +∞ X yn n=0 converge anche la serie +∞ X xn n=0 converge. Dimostrazione. La condizione data garantisce che esiste M > 0 tale per cui se n ≥ ν si ha xn ≤ M yn ; ma allora per k abbastanza alto si ha k X xn = n=0 ν X k X xn + n=0 xn ≤ n=ν+1 ν X xn + M n=0 k X yn n=ν+1 e si conclude grazie alla convergenza della serie di termine generale yn . Criterio della radice: Sia +∞ X xn n=0 una serie a termini positivi; se lim √ n xn < 1 lim √ n xn > 1 n→+∞ allora la serie converge, mentre se n→+∞ la serie diverge positivamente. Dimostrazione. Sia M < 1 tale per cui per n ≥ ν si abbia xn ≤ M n per n ≥ ν. Quindi per k abbastanza alto si ha k X xn = n=0 ν X xn + n=0 k X xn ≤ n=ν+1 ν X n=0 xn + √ n xn ≤ M ; allora si ha anche k X Mn n=ν+1 e si conclude grazie alla convergenza della serie geometrica di termine generale M n . Se invece lim √ n n→+∞ xn > 1 allora si ha anche lim xn > 1, n→+∞ per cui la serie data non può convergere. www.matematicamente.it 2 Luca Lussardi Appunti di Analisi I La stessa dimostrazione si adatta facilmente anche per dimostrare il seguente secondo criterio: Criterio del rapporto: Sia +∞ X xn n=0 una serie a termini strettamente positivi; se lim xn+1 <1 xn lim (xn+1 >1 xn n→+∞ allora la serie converge, mentre se n→+∞ allora la serie diverge positivamente. Osservazione: I criteri enunciati non dicono nulla a proposito del caso in cui si abbia, per esempio, √ lim n xn = 1 n→+∞ o lim n→+∞ xn+1 = 1; xn in tali casi effettivamente la serie data potrebbe convergere o non convergere. Ad esempio la serie armonica +∞ X 1 n n=1 diverge positivamente mentre la serie +∞ X 1 n2 n=1 converge, nonostante per entrambe le serie si abbia lim n→+∞ √ n xn = lim n→+∞ www.matematicamente.it 3 xn+1 = 1. xn