approfondimenti - Macchine Matematiche

Muovere
Curva Di Watt. (Sistema
a Ptre aste)
Distanza perni dai bordi. A: 2,65; 18,4. B: 2,5;
(Cfr. Gabriel Koenigs, “Leçons de Cinématique”, Paris, 1897 ).
Consideriamo il sistema a tre aste rappresentato in Fig. 1. CA e OB sono di
uguale lunghezza. La biella AB ha lunghezza minore della distanza OC.
M è il punto medio di AB. Durante il movimento del sistema articolato (A
e B percorrono le circonferenze di centri rispettivamente C e O) quale
curva
descriverà il
A
punto M?
C
Possiamo
M
supporre che
Fig. 1
quando M si
B
trova nella
posizione Q
O
Distanza perni
A: 2,65; 18,4.
Muovere P
(Fig.dai2)bordi.
le aste
CA e OB siano
parallele: assumiamo come riferimento un sistema cartesiano ortonormale
di
A'
M
B' manovelle 30 cm (32 cm)
Piano diCappoggio: 60x50 cm, lunghezza
A
Lunghezza asta che sorregge il tracciatore: 14,2 cm (17 cm)
Q
Fig. 2
B
O
origine Q (con asse x nella direzione comune a CA e CB). Le coordinate di
O siano (h,k), quelle di C sono allora (-h,-k). Poniamo CA = OB = a.
2
2
(1) AB 2 (a h)
k . Se OB e CA si portano nelle
Si ha:
posizioni OB’ e CA’ descrivendo rispettivamente gli angoli θ e φ,
Piano di appoggio: 60x50 cm, lunghezza manovelle 30 cm (32 cm)
le coordinate di A’ e B’ sono date dalle espressioni:
x B'
h
a cos
x A'
h a cos
y B'
k
asen
y A'
k
asen
Da queste si ricava (ricordare le
formule di prostaferesi) la distanza A’B’:
( 2)
A' B' 2 (h a cos
cos
2
)2
2
(h cos
sen
2
2
)2
Scriviamo che AB = A’B’ uguagliando (1) e (2). Con qualche
semplificazione si ottiene:
(3)
asen2
2
2 h cos
2
ksen
cos
2
2
2h
D’altra parte, essendo le coordinate (x,y) di M
x
( 4)
y
a
(cos
2
a
(sen
2
cos )
asen
sen )
a cos
2
2
sen
sen
2
2
possiamo, utilizzando le (4), introdurle nella relazione (3). Con calcoli un
po’ faticosi, ma del tutto elementari (*), si trova:
La (5) (luogo dei punti M) rappresenta una curva tricircolare del sesto
grado, con centro e punto doppio nell’origine Q. Essa ha la forma di un
otto allungato; un ramo tocca la verticale x = 0 in Q, dove presenta una
inflessione. Oltre che in Q, la x = 0 interseca la curva in due altri punti
M 1 ed M 2 situati da parti opposte rispetto a Q, a una distanza 2 h(a h) da
tale punto. Percorrendo il ramo di curva che va da M 1 a M 2 ed è tangente
in Q alla x = 0, si passa per tre punti di flesso, che sono Q e due altri punti
simmetrici rispetto a Q. Da qui il nome di curva a lunga inflessione. Il
ramo passante per Q e ivi tangente alla retta x = 0 può avere (per opportuni
valori di a ed h) uno scarto rispetto alla verticale praticamente nullo.
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(*) Diamo una breve traccia per i calcoli.
1→ Ricavare dalle (4) la relazione
x y
cos
2
2
2→ Servirsi della precedente uguaglianza e della (4) per calcolare i valori di
cos 2
sen
2
sen2
2
cos 2
2
sen2
2
3→ Sostituire tali valori nella espressione (3) dopo averne elevato al quadrato entrambi i membri;
4→ Semplificare.