Equazioni parametriche di 2° grado

RISOLUZIONE delle EQUAZIONI PARAMETRICHE di 2° GRADO
(da http://www.youmath.it/)
La risoluzione delle equazioni di secondo grado non presenta difficoltà, essendo legata alla
famosissima formula che prevede il calcolo del discriminante (Delta). Se però abbiamo a che
fare con un'equazione parametrica di secondo grado, sono necessarie discussioni
preliminari per evitare errori che purtroppo si riscontrano anche tra gli autori più accreditati.
Ricordiamo la scrittura dell'equazione di secondo grado:
ax 2  bx  c  0
In una equazione parametrica di secondo grado si devono discutere nell'ordine:
-
l'annullamento del coefficiente 'a' (primo coefficiente), se questo è
parametrico;
(se il primo coefficiente è nullo, l'equazione si abbassa di grado e può essere impossibile,
indeterminata o determinata con un'unica soluzione come qualunque equazione di primo
grado)
-
la realtà delle soluzioni imponendo il discriminante non negativo, ovvero
positivo o nullo.
Solo dopo aver effettuato queste verifiche è possibile risolvere l'equazione e gli eventuali
problemi ad essa collegati.
In queste pagine troverete tutte le possibili richieste degli esercizi sulle equazioni parametriche
e tutti i modi in cui tali richieste potranno essere esposte. Allo tesso tempo, accanto ad ogni
richiesta troverete le formule risolutive.
Prima di passare ad esaminare i vari casi, dovete sapere e stamparvi bene nella mente le
relazioni che legano le soluzioni (o radici) generalmente indicate con x1 e x2 di un'equazione di
secondo grado: ax 2  bx  c  0 . Ovvero:
x1  x2  
x1  x2 
b
a
c
a
dove, per convenzione, in un'equazione di secondo grado scritta in forma normale, si è soliti
indicare:
- con a il coefficiente di x2;
- con b il coefficiente della x;
- con b il termine noto.
Per capirci bene, ad esempio:
a
b 
c 






2
(k  1) x  (2k  3) x  6k  5)  0
Premesso e chiarito ciò andiamo ad esaminare la varie richieste che si possono affrontare in
questo genere di esercizi. I possibili casi che si possono trovare sono i seguenti:
A) Trovare il valore del parametro k affinché:
A.1) Le radici siano reali:   0
A.2) Le radici siano reali e distinte:   0
A.3) Le radici siano coincidenti, cioè x1 = x2:   0
A.4) Le radici non siano reali:   0
1 di 4
B) L'equazione sia di primo grado: a=0
dove a è il coefficiente di x2 della nostra equazione parametrica di secondo grado di
partenza.
C) L'equazione sia spuria: c=0
dove c è il termine noto dell'equazione di partenza.
D) L'equazione sia pura: b=0
dove b è il coefficiente della x dell'equazione iniziale.
E) L'equazione sia monomia:
b  0

c  0
F) La somma delle radici sia uguale ad r, cioè x1 + x2 = r:

b
r
a
G) Il prodotto delle radici sia uguale ad, cioè x1x2 = r:
c
r
a
H) Una delle due radici sia uguale ad r, cioè x1 = r oppure x2 = r: in questo caso si sostituisce
nella nostra equazione r al posto dell'incognita x e si risolverà l'equazione nella sola incognita
r.
I) Una radice sia uguale ad r ed una radice sia uguale ad s, ossia x1 = r e x2 = s. Si risolve il
sistema:
b

r  s   a

r  s  c

a
L) Le radici siano opposte, vale a dire x1 = x2. Si pone: x1 + x2 = 0 da cui

b
0
a
M) Una radice sia l'inversa dell'altra, cioè una radice sia la reciproca dell'altra. Si pone:
x1 
1
x2
 x1 
1
0 
x2
x1  x2  1
0
x2
e quindi x1  x2 = 1, cioè
c
1
a
N) La differenza delle radici sia uguale ad r, ossia x2 - x1 = r, o anche x2 = x1 + r:

r
a
O) La somma dei quadrati delle radici sia r, o in modo del tutto equivalente x12  x22  r .
Ricordando che ( x1  x2 )2  x12  2  x1  x2  x22 , si ha: ( x1  x2 )2  2  x1  x2  x12  x22
e quindi basta risolvere
2
 b
c
   2     r
 a
 a
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P) La somma dei cubi delle radici sia r, ossia x13  x23  r .
Basta ricordare che: ( x1  x2 )3  x13  3  x12  x2  3  x1  x22  x23 , e quindi:
( x1  x2 )3  3  x12  x2  3  x1  x22  x13  x23  (x1  x2 )3  3x1  x2  x1  x2   x13  x23
basta allora scrivere
3
 b
c  b
   3    r
 a
a a
Q) La somma dei reciproci delle radici sia uguale ad r, cioè:
1
1

r 
x1 x2
x1  x2
r
x1  x2
e quindi
b
a  b r
c
c
a

R) La somma dei quadrati dei reciproci delle radici sia uguale ad
1
x12

1
x22
r 
x12  x22
x12  x22
, o in modo equivalente:
r
Il numeratore è la somma dei quadrati delle radici e il denominatore è il quadrato del
prodotto
2
 b
c
 a   2 a


  r.
2
c
 a
 
S) Se abbiamo x1 = r·x2 si risolve il sistema:

 x1  r  x2

b

 x1  x2  
a


c
 x1  x2 
a



 x1  r  x2

b
b

 x2 (1  r )  
 r  x2  x2  
a
a


c
c
2
 r  x2 
 r  x2  x2 
a
a

 x2  
b
a  (1  r )

x  r  x
2
 1
b

 x2  
a

(1
 r)


c
2
 r  x2 
a

A questo punto basta sostituire a x22 , della terza equazione, il valore di x2 della seconda e
determinare r da:
2


b
c
r  
 
 a  1  r  
a


3 di 4
T) Una radice sia il doppio dell'altra, o in modo analogo che una radice sia la metà dell'altra, o
ancora che una radice sia un terzo dell'altra, e così via...
Sono tutti casi particolari del caso precedente: x1 = r·x2, quindi si procederà allo stesso
modo.
U) Le radici siano concordi:
c
0
a
V) Le radici siano discordi, cioè che una radice sia positiva ed una negativa:
c
0
a
W) Le radici siano entrambe positive. Si risolve il sistema:
c
 a  0

 b  0
 a
Y) Le radici siano entrambe negative. Si risolve il sistema:
c
 a  0

 b  0
 a
Z) In espressioni più articolate, ad esempio 3   x1  x2  
o altre espressioni simili, basta sostituire x1  x2 = 
1
1
 ,
x1  x2 2
b
c
e x1  x2 = .
a
a
That's all!
Grosso modo abbiamo analizzato tutti i principali casi che si incontrano in questo genere di
esercizi.
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