- Ettore Lanzarone

Analisi matematica 1
prof. LANZARONE - Esercitazione
10/01/2017
Equazioni differenziali
Esercizio 1 Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali:
a) y 0 = y(1 + y);
b) x(1 + y 2 )y 0 = 3;
c) y 0 =
y(ln y−ln x)
x
;
d) y 0 = −y cos x + sin x cos x;
e) y 0 =
e2x
1+e2x y.
(
3y
y 0 = x+1
+ ex (x + 1)3
Esercizio 2 Risolvere il seguente problema di Cauchy:
y(0) = 2.
Esercizio 3 Si consideri l’equazione differenziale: y 0 + ty = t dove y = y(t).
• determinare le soluzioni dell’equazione;
• determinare la soluzione y che assume il valore massimo 2;
• definita la funzione
Z
F (x) =
x
y(t)dt
0
verificare che il grafico di F ammette asintoto obliquo a +∞.
Esercizio 4 Si consideri l’equazione differenziale
y 0 (x) =
1
y(x) = (1 + x) ln x
x + x2
dove x ∈ (0, +∞)
• determinare l’espressione dell’integrale generale, dopo aver indicato di che tipo è l’equazione differenziale.
• Determianre la soluzione il cui grafico passa per il punto P (1, 0).
Esercizio 5 Dato il problema di Cauchy
( p
√
x 1 + y 2 + yy 0 1 + x2 = 0
√
√
y( 3) = 8
mostrare che localmente esso ammette una sola soluzione. Determinare tale soluzione.
1
Esercizio 6 Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale
2
y 0 (x) = − y(x) + 4x.
x
Qual è il massimo intervallo in cui può essere estesa la soluzione?
Esercizio 7 Si consideri la seguente equazione differenziale:
y 0 (t) = 2t[y 2 (t) − 1].
• Trovare la soluzione che soddisfa la condizione y(0) = 2.
• Specificare il dominio di definizione della soluzione trovata al punto precedente.
2