Disequazioni parametriche - e-Learning
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Disequazioni parametriche - e-Learning
1 Disequazioni parametriche 1. 2x2 − 5kx − 3k 2 < 0 Abbiamo ∆ = 25k 2 + 24k 2 = 49k 2 > 0 per k 6= 0. Consideriamo prima il caso in cui k = 0: l’equazione diventa 2x2 < 0 la cui soluzione è nessun valore di x. Sia ora k 6= 0. Le radici del trinomio sono − 21 k e 3k. Quindi • se k > 0, la soluzione è − 21 k < x < 3k • se k < 0, la soluzione è 3k < x < − 12 k. 2. (k − 2)x2 − 2kx + k + 2 < 0 Osserviamo subito che se k = 2 la disequazione diventa di primo grado: −4x + 4 < 0 ⇒ x > 1. e 1. Poichè non Supponiamo ora che k 6= 2. Abbiamo ∆ = 4 con radici k+2 k−2 conosciamo il valore del parametro k, occorre stabilire per quali valori di k una delle due radici è maggiore o minore dell’altra. Ad esempio, ricerchiamo quando è k+2 4 >1⇒ > 0 ⇒ k > 2. k−2 k−2 Quindi • se k > 2 è k+2 k−2 > 1 e il primo coefficiente del trinomio è positivo • se k < 2 è k+2 k−2 < 1 e il primo coefficiente del trinomio è negativo. Di conseguenza • se k > 2, la soluzione è 1 < x < k+2 k−2 • se k = 2, la soluzione è x > 1 • se k < 2, la soluzione è x < k+2 k−2 ∨ x > 1. 3. (1 − a)x2 + 4 > 0 2 [a ≤ 1 : ∀x ∈ R; a > 1 : − √a−1 <x< √2 ] a−1 2 4. (a − 1)x2 − 2ax > 0 [a > 1 : x < 0 ∨ x > 2a ;0 a−1 2a < a < 1 : a−1 < x < 0; a = 1 : x < 0; 2a a < 0 : 0 < x < a−1 ; a = 0 : nessun valore di x] 5. ax2 − (a2 − 2)x − 2a > 0 [a > 0 : x < − a2 ∨ x > a; a < 0 : a < x < − a2 ; a = 0 : x > 0] 6. x2 + (2 − a)x − 2a > 0 [a < −2 : x < a ∨ x > −2; a = −2 : x 6= −2; a > −2 : x < −2 ∨ x > a] 7. x(x − a) ≤ 2(a − x) [a > −2 : −2 ≤ x ≤ a; a = −2 : x = −2; a < −2 : a ≤ x ≤ −2] 8. x(x + a) − a(x + 2) ≥ a(a − 5) √ √ [a < o ∨ a > 3 : x ≤ − a2 − 3a ∨ x ≥ a2 − 3a; 0 ≤ a ≤ 3 : ∀x ∈ R] 9. (k − 2)x2 − 2(k + 1)x + k + 4 >< 0 [k < 2 : x < 10. x2 −4k2 k + x+k 3k k+4 k−2 ∨ x > 1; k = 2 : x > 1; k > 2 : 1 < x < k+4 ] k−2 < 1 con k 6= 0 1 1 [k < − 12 : x < 2k ∨ x > −2k − 31 ; − 12 < k < 0 : x < −2k − 13 ∨ x > 2k; 1 k = − 12 : x 6= 16 ; k > 0 : −2k − 31 < x < 2k]