1 Numeri complessi
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1 Numeri complessi
1 Numeri complessi Esercizio 1.1 (a) Calcolare il valore della seguente espressione √ !11 −6 1 3 1 1 2+i +i + √ −i√ − 2 2 2i 2 2 (b) Determinare il valore di a in modo che il polinomio P (z) = z 3 − z 2 + z + 1 + a abbia radice z = −i. Per questo valore di a decomporre in fattori irriducibili P (z) in R e in C. 4 Esercizio 1.2 (a) Si determini la √soluzione z = x + iy dell’equazione z + (1 − i)z 2 = i che soddisfa y = x2 2. √ (b) Calcolare z, z · z, 1/z e le radici cubiche di z = 1 − i 3. Esercizio 1.3 (a) Determinare Re(z), Im(z), z, |z| con z 1 + 3i 1+i (−1 + 3i)−1 , 1 − 2i . 1 + i3 e (b) Determinare le radici cubiche di −8. Successivamente determinare la decomposizione reale e complessa del polinomio z 3 + 8. Esercizio 1.4 (a) Risolvere le seguenti equazioni nei numeri complessi i z 5 + 1 = 0, 2Re(z(1 + i)) + z cot z = 0, z|z|2 − i4z = 0. e (b) Trovare x, y ∈ R tali che (−5 − 7i)x + (−1 + 2i)y = 2 + 48 i 5 e (9 + 7i)x + (6 + 8i)y = −12 − 26i. Esercizio 1.5 (a) Calcolare le radici cubiche di z = 2(i − 1). Determinare inoltre z, 1/z, z · z. (b) Studiare la seguente equazione in C |z|z 2 + Re(z)Im(z) − |z|2 z = 0. Esercizio 1.6 (a) Risolvere la seguente equazione in campo complesso |z − 1| + i|z| = |z − i| + i e z 4 − 1 − i = 0. √ (b) Dato il numero z = 2 3 − 2i, calcolare |z|, 1/z, z, esprimere z in forma trigonometrica e calcolare z 6 . Esercizio 1.7 (a) Si determinino le soluzioni dell’equazione z 4 + (1 − i)z 2 = i che soddisfano Im z < 0. 1 (b) Trovare le soluzioni complesse della seguente equazione: (|z − 2i| − 1)(z · z − 2Rez + z 2 ) = 0. Esercizio 1.8 Dato il numero complesso z= (i − 1)11 (i + 1)7 (a) Scrivere z in forma trigonometrica e in forma algebrica. (b) Trovare le radici quarte di z. Esercizio 1.9 Dato il numero complesso √ z = (1 + i 3)5 √ i 3 − 2 2 ! (a) Scrivere z in forma trigonometrica e in forma algebrica. (b) Calcolare le radici quinte di z e rappresentarle sul piano complesso. √ √ √ Esercizio 1.10 Dati i numeri complessi z = 3 − i e w = 4 2 + 4 2i (a) scriverli in forma trigonometrica e in forma algebrica; (b) calcolare zw, z w e 1 z; (c) calcolare z 3 e scriverlo in forma algebrica; (d) calcolare le radici terze di w. Esercizio 1.11 Al variare del parametro α ∈ R, risolvere (quando possibile) nel campo complesso l’equazione z = |z|2 + iα. Esercizio 1.12 Sia α ∈ R e Sα := {z ∈ C : zz + (−1 + i)z + (−1 − i)z + α < 0}. Dire per quali α risulta che Sα non è vuoto e disegnarlo. Esercizio 1.13 Risolvere le seguenti equazioni in campo complesso: z 2 + (1 − i)z − i = 0 e z2 − z = 0 Esercizio 1.14 Risolvere l’equazione z = 3Rez − z + z 2 − |z|. √ √ Esercizio 1.15 Sia z = i + 3. Calcolare z −8 , (zz)2 , z + z, 4 z. Esercizio 1.16 Determinare la decomposizione reale e complessa del seguente polinomio √ z 5 + 9 3. 2