Lezione 4: Esponenziali e logaritmi

Transcript

Esponenziali e logaritmi
Corso di accompagnamento in matematica
Lezione 4
Sommario
1
La funzione esponenziale
Proprietà
Grafico
2
La funzione logaritmo
Grafico
Proprietà
3
Equazioni / disequazioni esponenziali
4
Equazioni / disequazioni logaritmiche
Corso di accompagnamento
Lezione 4
2 / 25
Dato un numero reale a > 0, si dice funzione esponenziale in base a
la funzione
x 7→ ax
Dominio e immagine
La funzione esponenziale x 7→ ax ha
dominio R
immagine (0, +∞)
Una funzione particolare
Ha un ruolo di spicco la funzione esponenziale in base e
y = ex
Visto che e ≈ 2, 718, la funzione esponenziale in base e ha un
comportamento intermedio fra quello delle funzioni esponenziali in base 2 e
in base 3.
Lezione 4
3 / 25
la funzione
x 7→ ax
Dominio e immagine
dominio R
immagine (0, +∞)
y = ex
in base 3.
Lezione 4
3 / 25
la funzione
x 7→ ax
Dominio e immagine
dominio R
immagine (0, +∞)
y = ex
in base 3.
Lezione 4
3 / 25
Richiami
se a = 1, si ottiene la funzione costante: 1x = 1
per ogni a > 0 e ogni x, y ∈ R
a0 = 1
quindi
a1 = a
1
ax+y = ax ay
a
x
1
= a−x
a
a−1 =
(ax )y = axy
cioè il grafico di y = ax è simmetrico al grafico di y = ( a1 )x rispetto
all’asse y.
Lezione 4
4 / 25
Grafico della funzione esponenziale
a
1
1
a
1
x
(a) esponenziale in base a > 1
1
x
(b) esponenziale in base a < 1
∀ a > 0 il grafico passa attraverso i punti (0, 1) e (1, a)
se a > 1, la funzione x 7→ ax è crescente
se a < 1, la funzione x 7→ ax è decrescente
Lezione 4
5 / 25
Inversione
Data f (x) = ax con a > 0 reale e il numero reale positivo y0 , si
consideri l’equazione ax = y0
Casi
a=1
l’equazione è risolta da ogni numero reale se y0 = 1, mentre
non ha soluzione per y0 6= 1
a 6= 1
per ogni y0 > 0 l’equazione ha una e solo una soluzione x0 , detta
il logaritmo in base a di y0
Il secondo caso definisce,per ogni y0 ∈ (0, ∞), una funzione:
y0 7→ loga y0
Lezione 4
6 / 25
Inversione
Casi
a=1
a 6= 1
y0 7→ loga y0
Lezione 4
6 / 25
Inversione
Casi
a=1
a 6= 1
y0 7→ loga y0
Lezione 4
6 / 25
Dato un numero reale a > 0, a 6= 1, si dice logaritmo in base a la
funzione
x 7→ loga x
Dominio e immagine
La funzione logaritmo y = loga x ha
dominio (0,+∞)
immagine R
Scegliendo e come base, si ha il cosidetto logaritmo naturale, che è
generalmente indicato con
y = ln x
Lezione 4
7 / 25
Dato un numero reale a > 0, a 6= 1, si dice logaritmo in base a la
funzione
x 7→ loga x
Dominio e immagine
La funzione logaritmo y = loga x ha
dominio (0,+∞)
immagine R
Scegliendo e come base, si ha il cosidetto logaritmo naturale, che è
generalmente indicato con
y = ln x
Lezione 4
7 / 25
Grafico
1
1
1
1 a
x
(c) logaritmo in base a > 1
x
a
(d) logaritmo in base a < 1
Il grafico passa attraverso i punti (1, 0) , (a, 1) ,
1
a , −1
se a > 1, la funzione è crescentente, negativa su (0, 1), positiva su
(1, ∞)
se a < 1, la funzione è decrescente, positiva su (0, 1), negativa su
(1, ∞)
Lezione 4
8 / 25
Proprietà
Si considerino numeri reali positivi a 6= 1, x, y e sia z un altro numero
reale assegnato
loga xy = loga x + loga y
loga
x
y
loga
xz
= loga x − loga y
= z loga x
Inoltre, se b è un numero reale positivo 6= 1, allora vale la formula del
cambiamento di base per i logaritmi:
logb x =
loga x
loga b
Lezione 4
9 / 25
Proprietà
Si considerino numeri reali positivi a 6= 1, x, y e sia z un altro numero
reale assegnato
loga xy = loga x + loga y
loga
x
y
loga
xz
= loga x − loga y
= z loga x
Inoltre, se b è un numero reale positivo 6= 1, allora vale la formula del
cambiamento di base per i logaritmi:
logb x =
loga x
loga b
Lezione 4
9 / 25
Il grafico di y = ax and y = loga x (stessa base) sono l’uno simmetrico
all’altro rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
Dunque, se il punto (p, q) appartiene al grafico della funzione
esponenziale, allora (q, p) appartiene al grafico della funzione
logaritmo.
Spiegazione
Il logaritmo e l’esponenziale soddisfano le relazioni seguenti:
aloga y0 = y0
loga
(ax0 )
∀ y0 ∈ (0, +∞)
= x0
∀ x0 ∈ R
Lezione 4
10 / 25
Equazioni esponenziali I
Tipo: af (x) = k con a > 0, a 6= 1 e k ∈ R
Soluzione: se k > 0, f (x) = loga k
se k ≤ 0, impossibile
Esempio
8 · 2x−1 − 2x+1 = 16
8 · 2x
− 2 · 2x
2
(4 − 2) · 2x
= 16
x
= 8
x
= 3
2
= 16
Lezione 4
11 / 25
Esempio
8 · 2x−1 − 2x+1 = 16
8 · 2x
− 2 · 2x
2
(4 − 2) · 2x
= 16
x
= 8
x
= 3
2
= 16
Lezione 4
11 / 25
Esempio
8 · 2x−1 − 2x+1 = 16
8 · 2x
− 2 · 2x
2
(4 − 2) · 2x
= 16
x
= 8
x
= 3
2
= 16
Lezione 4
11 / 25
Equazioni esponenziali II
Tipo: af (x) = ag(x)
Soluzione: f (x) = g(x)
Esempio
22x
2 +x
− 2x
3 +2x
=0
22x
2 +x
= 2x
3 +2x
x(2x + 1) = x(x 2 + 2)
x(−x 2 + 2x − 1) = 0
= 0
x −(x − 1)2
x =0
o
x =1
Lezione 4
12 / 25
Esempio
22x
2 +x
− 2x
3 +2x
=0
22x
2 +x
= 2x
3 +2x
x(2x + 1) = x(x 2 + 2)
x(−x 2 + 2x − 1) = 0
= 0
x −(x − 1)2
x =0
o
x =1
Lezione 4
12 / 25
Esempio
22x
2 +x
− 2x
3 +2x
=0
22x
2 +x
= 2x
3 +2x
x(2x + 1) = x(x 2 + 2)
x(−x 2 + 2x − 1) = 0
= 0
x −(x − 1)2
x =0
o
x =1
Lezione 4
12 / 25
Equazioni esponziali III
Tipo: af (x) = b g(x) , b > 0, b 6= 1
Soluzione: usare b g(x) = ag(x)loga b , poi applicare loga
Esempio
2x+1 = 51−x
2x+1 = 2(1−x) log2 5
x + 1 = (1 − x) log2 5
x(1 + log2 5) = log 5 − 1
log2 5 − 1
x =
1 + log2 5
Lezione 4
13 / 25
Tipo: af (x) = b g(x) , b > 0, b 6= 1
Esempio
2x+1 = 51−x
2x+1 = 2(1−x) log2 5
x + 1 = (1 − x) log2 5
x(1 + log2 5) = log 5 − 1
log2 5 − 1
x =
1 + log2 5
Lezione 4
13 / 25
Tipo: af (x) = b g(x) , b > 0, b 6= 1
Esempio
2x+1 = 51−x
2x+1 = 2(1−x) log2 5
x + 1 = (1 − x) log2 5
x(1 + log2 5) = log 5 − 1
log2 5 − 1
x =
1 + log2 5
Lezione 4
13 / 25
Equazioni esponenziali III
Un altro esempio
2x +1 5x −1
3x
=2
2x+1 5x−1 = 2 · 3x
ln 2x + ln 5x−1 = ln 3x
x ln 2 + x ln 5 − x ln 3 = ln 5
x
=
ln 5
ln 2 + ln 5 − ln 3
Lezione 4
14 / 25
Equazioni esponenziali III
Un altro esempio
2x +1 5x −1
3x
=2
2x+1 5x−1 = 2 · 3x
ln 2x + ln 5x−1 = ln 3x
x ln 2 + x ln 5 − x ln 3 = ln 5
x
=
ln 5
ln 2 + ln 5 − ln 3
Lezione 4
14 / 25
Equazioni esponenziali IV
Tipo: f (ax ) = 0
Soluzione: porre ax = t,
quindi risolvere f (t) = 0
Esempio
22−x − 23−x + 2x = 0
22 2−x − 23 2−x + 2x
2
3
(2 − 2 )2
−x
= −2x
(22 − 23 )/t
2
= −t
22x
= 22
2x
= 2
x
= 1
t
= 0
sostituzione: t = 2x
= (23 − 22 ) = 8 − 4 = 4 = 22
Lezione 4
15 / 25
Tipo: f (ax ) = 0
Esempio
22−x − 23−x + 2x = 0
22 2−x − 23 2−x + 2x
2
3
(2 − 2 )2
−x
= −2x
(22 − 23 )/t
2
= −t
22x
= 22
2x
= 2
x
= 1
t
= 0
= (23 − 22 ) = 8 − 4 = 4 = 22
Lezione 4
15 / 25
Tipo: f (ax ) = 0
Esempio
22−x − 23−x + 2x = 0
22 2−x − 23 2−x + 2x
2
3
(2 − 2 )2
−x
(22 − 23 )/t
t
2
= 0
= −2x
= −t
= (23 − 22 ) = 8 − 4 = 4 = 22
22x
= 22
2x
= 2
x
= 1
Lezione 4
15 / 25
Tipo: f (ax ) = 0
Esempio
22−x − 23−x + 2x = 0
22 2−x − 23 2−x + 2x
2
3
(2 − 2 )2
−x
(22 − 23 )/t
t
2
= 0
= −2x
= −t
= (23 − 22 ) = 8 − 4 = 4 = 22
22x
= 22
2x
= 2
x
= 1
Lezione 4
15 / 25
Disequazioni esponenziali
Tipo: af (x) > ag(x) ,
Soluzione: se a > 1,
se a < 1,
a > 0,
f (x) > g(x)
f (x) < g(x)
a 6= 1
Esempio
x
1 x+1
7
>
1
49
(x+1)x
1
7
(x + 1)x
2
1
7
< 2
>
x2 + x − 2 < 0
−2 < x < 1
Lezione 4
16 / 25
se a < 1,
a > 0,
f (x) > g(x)
f (x) < g(x)
a 6= 1
Esempio
x
1 x+1
7
>
1
49
(x+1)x
1
7
(x + 1)x
2
1
7
< 2
>
x2 + x − 2 < 0
−2 < x < 1
Lezione 4
16 / 25
se a < 1,
a > 0,
f (x) > g(x)
f (x) < g(x)
a 6= 1
Esempio
x
1 x+1
7
>
1
49
(x+1)x
1
7
(x + 1)x
2
1
7
< 2
>
x2 + x − 2 < 0
−2 < x < 1
Lezione 4
16 / 25
Tipo: f (ax ) > c
quindi risolvere f (t) > c
Esempio
4x − 2 · 2x − 3 ≤ 0
22x − 2 · 2x − 3 ≤ 0
sostituzione t = 2x
t 2 − 2t − 3 ≤ 0
−1 ≤ t ≤ 3
−1 ≤ 2x ≤ 3
x
≤ log2 3
Lezione 4
17 / 25
Tipo: f (ax ) > c
Esempio
4x − 2 · 2x − 3 ≤ 0
22x − 2 · 2x − 3 ≤ 0
sostituzione t = 2x
t 2 − 2t − 3 ≤ 0
−1 ≤ t ≤ 3
−1 ≤ 2x ≤ 3
x
≤ log2 3
Lezione 4
17 / 25
Tipo: f (ax ) > c
Esempio
4x − 2 · 2x − 3 ≤ 0
22x − 2 · 2x − 3 ≤ 0
sostituzione t = 2x
t 2 − 2t − 3 ≤ 0
−1 ≤ t ≤ 3
−1 ≤ 2x ≤ 3
x
≤ log2 3
Lezione 4
17 / 25
Equazioni logaritmiche
Tipo: loga f (x) = b con a > 0, a 6= 1 e b ∈ R
Soluzione: quando f (x) > 0, f (x) = ab
Attenzione
È sempre necessario determinare il dominio di esistenza,
dato che log è definita solo quando il suo argomento è strettamente
positivo
Esempio
2 + log2 x = log2 7
D = (0, +∞)
log2 x
x
x
= log2 7 − 2
= 2log2 7−2
7
=
(valido, perchè ∈ D)
4
Lezione 4
18 / 25
Attenzione
positivo
Esempio
2 + log2 x = log2 7
D = (0, +∞)
log2 x
x
x
= log2 7 − 2
= 2log2 7−2
7
=
4
Lezione 4
18 / 25
Attenzione
positivo
Esempio
2 + log2 x = log2 7
D = (0, +∞)
log2 x
x
x
= log2 7 − 2
= 2log2 7−2
7
=
4
Lezione 4
18 / 25
Equazioni logaritmiche I
Esempio
log4 (x + 6) + log4 x = 2
D = (0, +∞)
log4 (x 2 + 6x) = 2
x 2 + 6x − 16 = 0
(
−8 (non valida)
x =
2
Lezione 4
19 / 25
Equazioni logaritmiche II
Tipo: loga f (x) = loga g(x)
Soluzione: quando f (x) > 0 e g(x) > 0, f (x) = g(x)
Esempio
log2 x + log 1 (x − 1) = 3
D = (1, +∞)
2
log2 x
2
log2 x
x
x
7x
x
= log2 (x − 1) + 3
= 2log2 (x−1)+3
= (x − 1)23
= 8x − 8
= 8
8
(ok)
=
7
Lezione 4
20 / 25
Tipo: loga f (x) = loga g(x)
Soluzione: quando f (x) > 0 e g(x) > 0, f (x) = g(x)
Esempio
log2 x + log 1 (x − 1) = 3
D = (1, +∞)
2
log2 x
2
log2 x
x
x
7x
x
= log2 (x − 1) + 3
= 2log2 (x−1)+3
= (x − 1)23
= 8x − 8
= 8
8
(ok)
=
7
Lezione 4
20 / 25
Example
log2 (x + 1) = log4 (2x + 5)
D = (−1, +∞)
log2 (2x + 5)
log2 4
1
log2 (2x + 5)
log2 (x + 1) =
2
1
log2 (x + 1) = log2 (2x + 5) 2
√
2x + 5
x +1 =
log2 (x + 1) =
x 2 + 2x + 1 = 2x + 5
x2 − 4 = (
0
−2 (non valida)
x =
2
Lezione 4
21 / 25
Equazioni logaritmiche III
Tipo: f (loga x) = 0
Soluzioneution: porre loga x = t,
Esempio
log22 x − 2 log2 x − 3 = 0
D = (0, +∞)
log22 x − 2 log2 x − 3 = 0
sostituzione t = log2 x
2
t − 2t − 3 = 0
(t − 3) (t + 1) = 0
t = −1 o 3
log2 x
x = 1/2
= −1 o 3
o
x =8
Lezione 4
22 / 25
Equazioni logaritmiche III
Tipo: f (loga x) = 0
Soluzioneution: porre loga x = t,
Esempio
log22 x − 2 log2 x − 3 = 0
D = (0, +∞)
log22 x − 2 log2 x − 3 = 0
2
t − 2t − 3 = 0
(t − 3) (t + 1) = 0
t = −1 o 3
log2 x
x = 1/2
= −1 o 3
o
x =8
Lezione 4
22 / 25
Diseguaglianze logaritmiche I
Tipo: loga f (x) > loga g(x)
Soluzione: se a > 1, f (x) > g(x);
if a < 1, f (x) < g(x)
Esempio
log2 x − log2 3 < log2 (x + 2)
log2
x
3
x
3
x
D = (0, +∞)
< log2 (x + 2)
< x +2
> −3
e tenendo conto del dominio, la soluzione è x > 0
Lezione 4
23 / 25
Tipo: loga f (x) > loga g(x)
Soluzione: se a > 1, f (x) > g(x);
if a < 1, f (x) < g(x)
Esempio
log2 x − log2 3 < log2 (x + 2)
log2
x
3
x
3
x
D = (0, +∞)
< log2 (x + 2)
< x +2
> −3
e tenendo conto del dominio, la soluzione è x > 0
Lezione 4
23 / 25
Esempio
log2 (x 2 + 1) > log2 (2x + 4)
D = (−2, +∞)
log2 (x 2 + 1) > log2 (2x + 4)
x 2 + 1 > 2x + 4
x 2 − 2x − 3 > 0
(x − 3)(x + 1) > 0
x < −1 o x
> 3
e tenendo conto del dominio, la soluzione è −2 < x < −1 or x > 3
Lezione 4
24 / 25
Disequazioni logaritmiche II
Tipo: f (log x) > c
Soluzione: porre log x = t,
Example
log32 x − 2 log2 x > 0
D = (0, +∞)
log32 x − 2 log2 x
>
0
3
>
0
2
>
0
t − 2t
t(t − 2)
√
t > √2
x >2
2
o
o
√
− √2 < t < 0
2−
2
<x <1
Lezione 4
25 / 25
Disequazioni logaritmiche II
Tipo: f (log x) > c
Soluzione: porre log x = t,
Example
log32 x − 2 log2 x > 0
D = (0, +∞)
log32 x − 2 log2 x
>
0
3
>
0
2
>
0
t − 2t
t(t − 2)
√
t > √2
x >2
2
o
o
√
− √2 < t < 0
2−
2
<x <1
Lezione 4
25 / 25

Lezione 4: Esponenziali e logaritmi

Transcript

Documenti analoghi

Esponenziali e logaritmi: esercizi

Corso Zero di Matematica Esercizi su esponenziali e logaritmi

esercizi svolti

Progettazione, formazione... Realizziamo ciò di cui hai bisogno

Esercitazioni-lezione1 (pdf, it, 82 KB, 9/23/05)

Definizione e proprieta` dei logaritmi

ESERCIZI PROF.SANITARIE PRE TEST – STUDENTI PER

Esercizi sulle serie di potenze

Esponenziali e logaritmi - I.S.I.S.S. "Agostino Nifo"

Funzioni elementari