Statistica 2 Esercitazioni - Dipartimento di Scienze Statistiche e

Luigi Augugliaro
Statistica 2
Esercitazioni
Dott. Luigi Augugliaro1
1
Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche “S. Vianelli”,
Università di Palermo
ricevimento:
lunedı̀ ore 15-17
mercoledı̀ ore 15-17
e-mail: [email protected]
http://dssm.unipa.it/augugliaro
(Dipartimento
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Definizioni di base
Definizione
Si definisce esperimento casuale o aleatorio un qualsiasi esperimento il cui esito
non può essere previsto con certezza.
Definizione
Si definisce evento elementare, un possibile risultato dell’esperimento aleatorio
Definizione
Si definisce spazio campionario, denotato con S, l’insieme di tutti i possibili
risultati, esaustivi e mutualmente esclusivi, dell’esperimento aleatorio.
Definizione
Si definisce evento aleatorio un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario.
Luigi Augugliaro
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Esempi
Si consideri l’esperimento casuale lancio di un dado. Definire lo spazio campionario
e gli eventi elementari.
In questo caso gli eventi elementari e lo spazio campionario sono definiti nel seguente
modo
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Ei
= {faccia riportante il valore i}
S
= {E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6 }
(evento elementare)
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Esempi
Si consideri l’esperimento casuale lancio contemporaneo di 3 monete. Definire gli
eventi elementari e lo spazio campionario.
In questo caso gli eventi elementari sono tutte le possibili terne dove il primo elemento riporta la faccia osservata sulla prima moneta, il secondo elemento riporta la
faccia osservata sulla seconda moneta e il terzo elemento riporta la faccia osservata
sulla terza moneta.
Ne segue che lo spazio campionario e definito nel seguente modo
S=
Luigi Augugliaro
{(T , T , T ), (T , T , C ), (T , C , T ), (C , T , T ), (T , C , C ), (C , T , C ),
(C , C , T ), (C , C , C )}
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Diremo che un evento E si verifica (si realizza) quando il risultato dell’esperimento
casuale é un qualsiasi evento elementare costituente l’evento E ; in caso contrario
diremo che E non si verifica.
Esempio: Si consideri un mazzo composto da 52 carte (13 carte per seme) e
l’esperimento casuale consistente nell’estrazione di una carta.
In questo caso lo spazio campionario è costituito da tutte le carte contenute nel
mazzo, ovvero 52 elementi.
Consideriamo l’evento E = {estrazione di un asso}. In questo caso l’evento E è
costituito dai singoli eventi elementari
E1
= {estrazione dell’asso di cuori}
E2
= {estrazione dell’asso di quadri}
E3
= {estrazione dell’asso di fiori}
E4
= {estrazione dell’asso di picche}.
L’evento E si verifica se si verifica uno degli eventi elementari che lo compongono.
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Definizione
Due o più eventi si dicono disgiunti o incompatibili o mutuamente esclusivi quando
la realizzazione di uno esclude la realizzazione dell’altro/i.
Esempio: si consideri l’esperimento casuale consistente nel lancio di un dado a sei
facce. Gli eventi aleatori
A1
=
{uscita di un valore minore o uguale a 2}
A2
=
{uscita di un valore maggiore o uguale a 4}
sono incompatibili mentre gli eventi
A3
= {uscita di un valore minore o uguale a 3}
A4
= {uscita di un valore pari}
sono compatibili dato che se si osserva l’evento elementare costituito dalla faccia
riportante il valore 2 gli eventi A3 ed A4 si verificano contemporaneamente.
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Definizione
Il complementare di un evento E è rappresentato dall’insieme di tutti gli altri
elementi dello spazio campionario, e viene indicato con E 0 (oppure con Ē ).
Esempio: si consideri l’esperimento casuale “lancio di un dado” e l’evento E descritto dall’enunciato “uscita della faccia con il numero due”. Il negato dell’evento
E , denotato con Ē , è l’evento descritto dall’enunciato “uscita della faccia con un
numero diverso da due”.
Esempio: si consideri l’esperimento casuale “estrazione di una carta da un mazzo di
52” e l’evento E descritto dall’enunciato “estrazione di una carta di colore rosso”.
L’evento negato Ē è descritto dall’enunciato “estrazione di una carta di colore
diverso dal rosso”.
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Operazioni sugli eventi
Definizione
Dati due eventi E1 , E2 , definiamo unione o somma logica degli eventi E1 , E2 ,
l’evento, denotato con E1 ∪ E2 , che è vero se almeno uno dei due eventi è vero.
Esempio: si consideri l’esperimento casuale lancio di un dado e i singoli eventi
aleatori
E1 = {“esce la faccia con il numero 1”};
E2 = {“esce la faccia con il numero 2”}.
Definire l’insieme unione E1 ∪ E2 .
Dalla descrizione degli eventi E1 ed E2 si deduce che l’evento unione è descritto
dall’enunciato “esce un numero inferiore o uguale a 2”.
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Si consideri l’esperimento casuale lancio di un dado e i singoli eventi aleatori
E1 = {“faccia 2”}
E2 = {“faccia 4”}
E3 = {“faccia 6”}.
Definire l’evento unione E1 ∪ E2 ∪ E3 . Dalla descrizione degli eventi E1 , E2 ed E3
si deduce che l’evento unione è descritto dall’enunciato “esce un numero pari”.
Si consideri l’esperimento casuale lancio di un dado e i singoli eventi aleatori
E1 = {“faccia 1”}
E2 = {“faccia 3”}
E3 = {“faccia 5”}.
Definire l’evento unione E1 ∪ E2 ∪ E3 . Dalla descrizione degli eventi E1 , E2 ed E3
si deduce che l’evento unione è descritto dall’enunciato “esce un numero dispari”.
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Definizione
Dati due eventi E1 , E2 , definiamo intersezione o prodotto logico degli eventi E1 ,
E2 , l’evento, denotato con E1 ∩ E2 , che è vero se sono veri gli eventi E1 ed E2 .
Esempio: si consideri l’esperimento casuale lancio di un dado e gli eventi aleatori
descritti dagli enunciati
E1 = {“uscita di un numero inferiore a 4”}
E2 = {“uscita di un numero dispari”}
Definire l’evento unione E1 ∩ E2 . Dalla descrizione degli eventi si ricava che
E1 = {faccia 1, faccia 2, faccia 3},
E2 = {faccia 1, faccia 3, faccia 5}.
da cui discende che l’evento intersezione è definito nel seguente modo
Luigi Augugliaro
E1 ∩ E2 = {faccia 1, faccia 3}
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Definizione
Dati gli eventi A e B, diremo che A e B sono incompatibili (o mutuamente esclusivi)
se la loro intersezione è uguale all’evento impossibile, ovvero
A ∩ B = ∅.
Definizione
Dati gli eventi A e B, diremo che A e B sono esaustivi se la loro unione è uguale
allo spazio campionario, ovvero
Luigi Augugliaro
A ∪ B = S.
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Esempio: si consideri l’esperimento casuale “lancio di un dado”.
Gli eventi
A = {faccia 2, faccia 4, faccia 6}
B = {faccia 1, faccia 3, faccia 5}
sono sia incompatibili che esaustivi.
Gli eventi
C = {faccia minore o uguale a 5}
D = {faccia maggiore di 4}
sono esaustivi ma non sono incompatibili dato che la loro intersezione è uguale
all’evento elementare {faccia 5}.
Gli eventi
E = {faccia minore di 3}
F = {faccia maggiore di 4}
sono incompatibili ma non sono esaustivi poiché la loro unione non contiene gli
eventi elementari {faccia 3} e {faccia 4}.
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Definizione classica di probabilità
Sia S uno spazio campionario con un numero finito di eventi elementari.
Definizione
La probabilità di un evento E , denotata con P(E ), è il rapporto tra il numero di
casi favorevoli al verificarsi dell’evento E e il numero di casi possibili, supposti tutti
ugualmente possibili, ovvero
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P(E ) =
numero di eventi elementari in E
.
numero di eventi elementari in S
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Si consideri l’esperimento casuale lancio di un dado. Calcolare la probabilità dei
seguenti eventi casuali:
E1 = {si ottiene la faccia con il numero 3};
E2 = {si ottiene una faccia con un numero pari};
E3 = {si ottiene un faccia con un valore inferiore o uguale a 4}.
Soluzione
Lo spazio campionario S è l’insieme
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Applicando la definizione classica di probabilità si ricava che
Luigi Augugliaro
P(E1 ) =
1
6
P(E2 ) =
3
= 0, 5
6
P(E3 ) =
4
≈ 0, 67
6
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di S
Si consideri l’esperimento casuale lancio di tre dadi. Determinare la probabilità
dell’evento E = {la somma dei valori osservati è uguale a 4}.
Soluzione
In questo caso lo spazio campionario S è costituito da tutte le possibile terne di
facce, quindi in totale avremo 63 = 216 eventi elementari che compongono S. Gli
eventi elementari che compongono l’evento E sono:
E1
= {faccia 1, faccia 1, faccia 2}
E2
= {faccia 1, faccia 2, faccia 1}
E3
= {faccia 2, faccia 1, faccia 1}
quindi, applicando la definizione classica di probabilità, si ricava che
Luigi Augugliaro
P(E ) =
3
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di S
L’esempio precedente mostra che, in generale, il calcolo della probabilità tramite
la definizione classica può essere un’operazione non semplice dato che richiede
l’enumerazione completa degli eventi elementari componenti l’evento considerato.
In alcuni casi, il problema dell’enumerazione completa degli eventi elementari può
essere risolto facendo ricorso al calcolo combinatorio.
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Definizione
Si consideri un insieme costituito da n elementi diversi e sia k un valore minore o
uguale ad n. Si definisce disposizione semplice senza ripetizione di n di classe
k il numero di raggruppamenti contenti k elementi tali che
in ogni raggruppamento vi siano k elementi degli n iniziali distinti tra loro;
due raggruppamenti differiscono tra loro per l’ordine o per almeno un
elemento.
Il numero di disposizioni semplici senza ripetizione di n elementi di classe k è
indicato con Dn,k ed è dato dalla formula
Luigi Augugliaro
Dn,k =
n!
= n(n − 1) . . . (n − k + 1)
(n − k)!
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Esempio: si consideri un’urna contenente 5 palline numerate da 1 a 5. Si consideri
l’estrazione senza reinserimento di due palline consecutivamente. Determinare il numero
totale di possibili coppie ordinate ottenibili.
In questo esempio l’insieme di partenza è costituito da n = 5 palline e si vogliono estrarre
k = 2 palline senza reinserimento. Di seguito riportiamo tutte le possibili coppie
(1,2)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(1,3)
(2,3)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,3)
(5,3)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,4)
Le coppie precedenti mostrano che
in ogni coppia non è mai presente due volte lo stesso valore (conseguenza del non
reinserimento);
le coppie sono diverse sia per l’ordine che per elementi;
Questo è un tipico esempio di disposizione semplice senza ripetizione di 5 di classe 2,
quindi poteva essere risolte con la formula
Luigi Augugliaro
D5,2 = 5 · 4 = 20.
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di S
Esempio: si consideri un’urna contenente 90 palline numerate da 1 a 90. Quante
possibili sequenze ordinate di numeri si possono ottenere estraendo senza reinserimento 5 palline?
Poiché le sequenze ottenute sono distinte per ordine e non vi sono valori ripetuti, la
soluzione all’esercizio è ottenuta calcolando le disposizioni semplici di 90 di classe
5, ovvero
D90,5 = 90 · 89 · 88 · 87 · 86 = 5273912160
Luigi Augugliaro
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di S
Esempio: nell’ippica è denominata “corsa Tris” una corsa in cui gli scommettitori
devono indovinare i cavalli che arriveranno al 1◦ , 2◦ e 3◦ posto. Supponendo che
partano 10 cavalli, quanti sono i possibili ordini d’arrivo nelle prime tre posizioni?
Soluzione
Dal testo si ricava che l’insieme da cui vengono estratti gli elementi per costruire
le terne di arrivo contiene n = 10 elemento (tutti i possibili cavalli). Dato che non
si possono osservare elementi replicati e due terne differiscono anche per l’ordine,
si ricava che la soluzione al problema è ottenuta calcolando le disposizioni semplici
senza ripetizione di 10 elementi di classe 3, ovvero
Luigi Augugliaro
D10,3 = 10 · 9 · 8 = 720
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Un caso particolare di disposizione semplice senza ripetizione si ottiene quando il
valore k è esattamente uguale ad n. In questo caso parleremo di permutazioni
semplici, e la formula precedente si semplifica nel seguente modo
Luigi Augugliaro
Pn = Dn,n =
n!
n!
=
= n!
(n − n)!
0!
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Esempio: si consideri un’urna contente tre palline di colore rosso, verde e bianco.
Determinare il numero di terne ottenibili estraendo in sequenza e senza reinserimento
le 3 palline dall’urna.
Al fine di migliorare la comprensione del concetto di permutazione costruiamo tutte
le possibile terne, ovvero
(B, R, V)
(R, B, V)
(V, R, B)
(B, V, R)
(R, V, B)
(V, B, R)
Più semplicemente il numero totale di permutazioni può essere calcolato come
Luigi Augugliaro
P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6
(Dipartimento
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Esempio: determinare in quanti modi 7 buste numerate possono essere assegnate
a 7 persone, se ognuna di esse riceve una busta.
Soluzione
Dato che tutti i possibili raggruppamenti differiscono per l’ordinamento, non vi sono
repliche e tutti gli elementi dell’insieme iniziale vengono distribuiti (le 7 buste), la
soluzione al problema in esame è ottenuta nel seguente modo
Luigi Augugliaro
P7 = 7! = 5040.
(Dipartimento
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Definizione
Si consideri un insieme costituito da n elementi diversi e sia k un valore naturale
maggiore di zero. Si definisce disposizione con ripetizione di n di classe k il
numero di raggruppamenti contenti k elementi tali che
in ogni raggruppamento vi siano k elementi degli n iniziali;
ogni elemento dell’insieme iniziale si può ripetere fino ad un massimo di k
volte;
due raggruppamenti differiscono tra loro per l’ordine o per almeno un
elemento.
Il numero di disposizioni semplici con ripetizione di n elementi di classe k è
(r )
indicato con Dn,k ed è dato dalla formula
Luigi Augugliaro
(r )
Dn,k = |n · n ·{z. . . · n} = nk .
k volte
(Dipartimento
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di S
Esempio: si consideri un’urna contente tre palline di colore rosso, verde e bianco.
Determinare il numero di coppie ordinate ottenibili estraendo con reinserimento due
palline dall’urna.
Al fine di migliorare la comprensione del concetto di disposizione con ripetizione
costruiamo l’insieme di tutte le possibili coppie, ovvero
(R, R)
(V, V)
(B, B)
(R, B)
(V, B)
(B, R)
(R, V)
(V, R)
(B, V)
Più semplicemente il numero totale di disposizioni con ripetizione di 3 elementi di
classe 2 può essere calcolato come
Luigi Augugliaro
(r )
D3,2 = 32 = 9.
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Esempio: il totocalcio è un concorso a premi istituito nel 1946 e gestito dall’Amministrazione Autonoma dei Monopoli di Stato, il cui obiettivo è la previsione degli
esiti di 14 partite di calcio. Per ogni singola partita inserita in schedina si deve marcare 1 se si pronostica la vittoria della squadra che gioca in casa, X se si prevede
un pareggio, 2 se invece si prevede la vittoria della squadra ospite.
Calcolare il numero totale delle possibili sequenze di 14 risultati.
Soluzione
Osserviamo che l’insieme da cui vengono estratti gli elementi per la costruzione
delle sequenze è {1, X , 2}, ovvero n = 3. Dato che l’ordine dei risultati determina
sequenze diverse, la soluzione al problema è ottenuta calcolando tutte le possibili
disposizioni con ripetizione di 3 elementi di classe 14, ovvero
Luigi Augugliaro
(r )
D3,14 = 314 = 4782969.
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di S
Definizione
Si consideri un insieme costituito da n elementi diversi e sia k un valore minore o
uguale ad n. Si definisce combinazione semplice di n elementi di classe k il
numero di raggruppamenti contenti k elementi tali che
in ogni raggruppamento vi siano k elementi degli n iniziali distinti tra loro;
due raggruppamenti differiscono tra loro per almeno un elemento ma non
per l’ordine.
Il numero di combinazioni semplici di n elementi di classe k è indicato con Cn,k
ed è dato dalla formula
n
n!
Cn,k =
=
.
k
k!(n − k)!
Luigi Augugliaro
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di S
Esempio: nel gioco del super enalotto si entraggono 6 numeri tra 90 (tutti distinti)
e per ottenere la vincita massima occorre individuare tutti i valori indipendentemente dall’ordine di estrazione. Determinare il numero di tutte le possibili sestuple
ottenibili.
Dalla descrizione del gioco si deduce che due sestuple sono differenti solamente per
gli elementi che contengono ma non per l’ordine, quindi la soluzione al problema
proposto è
90
90!
C90,6 =
=
= 622614630
6
6!(90 − 6)!
Luigi Augugliaro
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di S
Esempio: nel gioco del Poker si distribuiscono ad ogni giocatore 5 carte da un
mazzo di 32 carte. In quanti modi diversi si possono ricevere le 5 carte?
Soluzione
Poiché nelle sequenze di 5 carte distribuite in una mano del poker non è importante
l’ordine ed inoltre ogni carta non può essere ripetuta, la soluzione al problema è
ottenuta calcolando la combinazione semplice di 32 elementi di classe 5, ovvero:
32
32!
= 201376
C32,5 =
=
5!(32 − 5)!
5
Luigi Augugliaro
(Dipartimento
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Esercizi di calcolo combinatorio
Esercizio. Dieci giocatori decidono di giocare un doppio.
a) Quante coppie distinte si possono formare?
b) Dopo aver formato le cinque coppie, quante distinte partite (coppia contro
coppia) si possono giocare?
Esercizio. Si consideri un mazzo di 40 carte (10 carte per ciascuno dei 4 semi).
a) Quanti insiemi di 5 carte si possono avere?
b) Quanti insiemi di 5 carte possono avere 4 assi?
c) Quanti insiemi di 5 carte possono avere 4 carte di ugual valore?
d) Quanti insiemi di 5 carte possono avere esattamente 2 assi?
e) Quanti insiemi di 5 carte possono avere alemeno 2 assi?
Esercizio. Un’urna contiene 20 palline bianche e 10 palline nere. Eseguendo 5
estrazioni senza reinserimento, in quanti casi si ottengono 3 palline bianche e 2
nere?
Luigi Augugliaro
(Dipartimento
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di S
Gli strumenti del calcolo combinatorio introdotti in precedenza consentono di facilitare il calcolo della probabilità di certi eventi aleatori.
Esercizio: nel gioco del Poker si distribuiscono ad ogni giocatore 5 carte da un
mazzo di 32 carte.
a) calcolare la probabilità che in una mano si ottenga un poker d’assi servito;
b) calcolare la probabilità che in una mano si ottenga un poker servito;
c) calcolare la probabilità che in una mano si ottenga una scala reale servita.
d) calcolare la probabilità che in una mano si ottenga un colore servito;
e) calcolare la probabilità che in una mano si ottenga un full servito.
Luigi Augugliaro
(Dipartimento
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di S
Esercizio: un’urna contiene 20 palline bianche e 10 palline nere. Eseguendo 5
estrazioni senza reinserimento, qual è la probabilità di estrarre 3 palline bianche e
2 nere?
Esercizio: si consideri il gioco del lotto e si scelga una ruota.
a) Calcolare la probabilità di indovinare la terna 1, 45, 90.
b) Calcolare la probabilità di fare ambo.
Esercizio: un’urna contiene 20 palline di cui 16 bianche e 4 nere. Si estraggano
senza reinserimento 5 palline.
a) Calcolare la probabilità che 2 delle 5 palline estratte siano bianche.
b) Calcolare la probabilità che 2 delle 5 palline estratte siano nere.
c) Calcolare la probabilità che tutte le palline estratte siano bianche.
Luigi Augugliaro
(Dipartimento
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di S
Definizione assiomatica di probabilità
Definizione
Una funzione P(·) definita sugli eventi aleatori a valori nell’intervallo [0, 1] che
soddisfa i seguenti assiomi:
i. P(A) ≥ 0 per ogni evento A;
ii. P(S) = 1 (normalizzazione);
iii. Se A1 , A2 , . . . è una successione di eventi aleatori a due a due incompatibili,
ovvero Ai ∩ Aj = ∅ per i 6= j, allora
P(A1 ∪ A2 ∪ . . .) = P(A1 ) + P(A2 ) + . . .
è definita funzione di probabilità
Il terzo assioma è noto come teorema delle probabilità totali per eventi incompatibili.
Luigi Augugliaro
(Dipartimento
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di S
Il terzo assioma può essere facilmente generalizzato al caso di eventi compatibili.
Teorema delle probabilità totali per due eventi aleatori
Siano A1 e A2 due eventi aleatori, allora
P(A1 ∪ A2 ) = P(A1 ) + P(A2 ) − P(A1 ∩ A2 ).
Teorema delle probabilità totali per tre eventi aleatori
Siano A1 , A2 e A3 tre eventi aleatori, allora
Luigi Augugliaro
P(A1 ∪ A2 ∪ A3 )
=
P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 )
−P(A1 ∩ A2 ) − P(A1 ∩ A3 ) − P(A2 ∩ A3 )
+P(A1 ∩ A2 ∩ A3 )
(Dipartimento
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di S
Esempio: Si consideri un mazzo di 52 carte (13 carte per seme) e si estragga una
carta dal mazzo. Calcolare la probabilità di estrarre un re oppure una carta di
picche.
Soluzione: Definiamo gli eventi A1 e A2 nel seguente modo:
A1 = {estrazione di un re}
A2 = {estrazione di una carta di picche}
I due eventi aleatori definiti in precedenza sono chiaramente compatibili dato che
A1 ∩ A2 = estrazione del re di picche.
Facendo ricorso al teorema delle probabilità per due eventi aleatori generici si
ricava che
Luigi Augugliaro
P(A1 ∪ A2 )
= P(A1 ) + P(A2 ) − P(A1 ∩ A2 )
4
13
1
16
=
+
−
=
52 52 52
52
(Dipartimento
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di S
Esempio: Si consideri un mazzo di 52 carte (13 carte per seme) e si estragga una
carta dal mazzo. Calcolare la probabilità di estrarre un asso o una carta di picche
o una carta di colore rosso.
Soluzione: Definiamo gli eventi A1 , A2 e A3 nel seguente modo:
A1 = {estrazione di un asso}
A2 = {estrazione di una carta di picche}
A3 = {estrazione di una carta di colore rosso}
ed osserviamo che
A1 ∩ A2 = {estrazione dell’asso di picche}
A1 ∩ A3 = {estrazione di un asso di cuori o di quadri}
A2 ∩ A3 = ∅
A1 ∩ A2 ∩ A3 = ∅
quindi applicando il teorema delle probabilità totali si ricava
Luigi Augugliaro
P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ) =
4
13 26
1
2
40
+
+
−
−
=
52 52 52 52 52
52
(Dipartimento
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di S
Siano A1 e A2 due eventi casuali generici, ed osserviamo che è valida l’identià
A1 = A1 ∩ S = A1 ∩ (A2 ∪ Ā2 ) = (A1 ∩ A2 ) ∪ (A1 ∩ Ā2 ).
(1)
Poiché gli eventi A1 ∩ A2 e A1 ∩ Ā2 sono incompatibili, il teorema delle probabilità
totali ci permette di affermare che
Luigi Augugliaro
P(A1 ) = P(A1 ∩ A2 ) + P(A1 ∩ Ā2 )
(Dipartimento
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di S
L’identità (1) può essere estesa agli eventi Ā1 , E2 e Ē2 , ovvero
A2
=
(A2 ∩ A1 ) ∪ (A2 ∩ Ā1 )
Ā1
=
(Ā1 ∩ A2 ) ∪ (Ā1 ∩ Ā2 )
Ā2
=
(Ā2 ∩ A1 ) ∪ (Ā2 ∩ Ā1 )
da cui si ricavano le seguenti identità
Luigi Augugliaro
P(A1 )
=
P(A1 ∩ A2 ) + P(A1 ∩ Ā2 )
P(A2 )
=
P(A2 ∩ A1 ) + P(A2 ∩ Ā1 )
P(Ā1 )
=
P(Ā1 ∩ A2 ) + P(Ā1 ∩ Ā2 )
P(Ā2 )
=
P(Ā2 ∩ A1 ) + P(Ā2 ∩ Ā1 )
(Dipartimento
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di S
Le precedenti identità possono essere più comodamente rappresentate tramite la
seguente forma tabellare
A1
Ā1
A2
P(A1 ∩ A2 )
P(Ā1 ∩ A2 )
P(A2 )
Ā2
P(A1 ∩ Ā2 )
P(Ā1 ∩ Ā2 )
P(Ā2 )
P(A1 )
P(Ā1 )
P(S) = 1
la tabella precedentemente ottenuta prende il nome di tavola delle probabilità; le
probabilità che si trovano all’interno della tavola si chiamano probabilità congiunte
mentre quelle che si trovano all’esterno prendono il nome di probabilità marginali.
Luigi Augugliaro
(Dipartimento
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Esercizio: uno studio relativo alle carte di credito mostra che la probabilità che
un individuo sia titolare di una carta Visa è dello 0.6 mentre la probabilità che sia
titolare di una carta Mastercard è dello 0.5. E’ inoltre noto che la probabilità che
un individuo non abbia ne una Visa ne una Mastercard è dello 0.1. Calcolare la
probabilità che un individuo sia titolare di una Mastercard e di una Visa.
Luigi Augugliaro
(Dipartimento
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Soluzione: indichiamo con A1 e A2 i seguenti eventi aleatori
A1
= {l’individuo è titolare di una carta Visa}
A2
= {l’individuo è titolare di una carta Mastercard}
quindi
Ā1 ∩ Ā2
=
{l’individuo non è titolare ne di Visa ne di Mastercard}
A1 ∩ A2
=
{l’individuo è titolare sia di Visa e di Mastercard}
Sulla base dei dati forniti dal testo si può costruire la seguente tavola delle
probabilità
A2
A1
Ā1
Ā2
0.6
0.1
0.5
→
A1
Ā1
1
A2
0.2
0.3
0.5
Ā2
0.4
0.1
0.5
0.6
0.4
1
Sulla base dei precedenti risultati si ricava che la probabilità richiesta è
Luigi Augugliaro
P(A1 ∩ A2 ) = 0.2
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Esercizio: uno studio condotto negli Stati Uniti mostra che la probabilità che un
individuo sia obeso è dello 0.3, che sia diabetico è dello 0.2 mentre la probabilità
che sia obeso e diabetico è dello 0.1. Sulla base dei dati forniti, calcolare:
i. la probabilità che un individuo sia diabetico ma non sia obeso;
ii. la probabilità che un individuo sia obeso ma non sia diabetico.
Luigi Augugliaro
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di S
Probabilità condizionata
Spesso si è interessati alla determinazione della probabilità di un evento quando
disponiamo di qualche informazione parziale sull’esito dell’esperimento.
esempio: si consideri l’esperimento casuale consistente nel lancio di due dadi a
sei facce. In questo caso lo spazio campionari è definito come l’insieme di tutte le
possibili coppie ordinate, ovvero


(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)






(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)






(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
S=
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)






(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)






(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
Supponiamo di essere interessati al calcolo della probabilità che la somma dei valori
osservati sia uguale a 10.
Luigi Augugliaro
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La probabilità richiesta può essere calcolata facilmente utilizzando la definizione
classi di probabilità, ovvero
P({la somma dei valori osservati è uguale a 10}) =
2
.
36
Supponiamo che si disponga di un’informazione aggiuntiva sull’esperimento casuale
“lancio di due dati”, ovvero al primo lancio si osserva il valore 4.
L’effetto che deriva dall’informazione aggiuntiva “al primo lancio si osserva il valore
4” è una riduzione della dimensione dello spazio campionario; in altri termini,
dato che sappiano che si è osservato il valore 4 al primo lancio, l’insieme di tutte le
possibili coppie si riduce nel seguente modo
{(4, 1)
(4, 2)
(4, 3)
(4, 4)
(4, 5)
(4, 6)}
Da cui si ricava che la probabilità che la somma dei valori osservati sia uguale a 10
dato che al primo lancio si è osservato il valore 4 è pari a 1/6.
Luigi Augugliaro
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La probabilità calcolata nell’esempio precedente prende il nome di probabilità
condizionata.
Definizione
La probabilità di A condizionatamente a B, detta anche probabilità di A dato B
e scritta P(A | B), consiste nella valutazione della probabilità di un evento A
subordinatamente allo spazio campionario generato dall’evento B.
La probabilità di A condizionatamente a B viene calcolata tramite la seguente
formula:
P(A ∩ B)
P(A | B) =
,
P(B)
da cui discende che
P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B),
la quale è nota come regola moltiplicativa per il calcolo della probabilità
congiunta.
Luigi Augugliaro
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Esercizio: uno studio relativo alle carte di credito mostra che la probabilità che
un individuo sia titolare di una carta Visa è dello 0.6 mentre la probabilità che sia
titolare di una carta Mastercard è dello 0.5. E’ inoltre noto che la probabilità che
un individuo non abbia ne una Visa ne una Mastercard è dello 0.1. Sulla base dei
dati forniti calcolare:
i. la probabilità che un individuo sia titolare di una carta Visa dato che è titolare
di una carta Mastercard;
ii. la probabilità che un individuo sia titolare di una carta Mastercard dato che
non è titolare di una carta Visa;
ii. la probabilità che un individuo non sia titolare di una carta Visa dato che non
è titolare di una carta Mastercard.
Esercizio: uno studio condotto negli Stati Uniti mostra che la probabilità che un
individuo sia obeso è dello 0.3, che sia diabetico è dello 0.2 mentre la probabilità
che sia obeso e diabetico è dello 0.1. Sulla base dei dati forniti calcolare:
i. la probabilità che un individuo sia diabetico dato che è obeso;
ii. la probabilità che un individuo sia obeso dato che è diabetico.
Luigi Augugliaro
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L’applicazione ripetuta della formula
P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B),
consente la generalizzazione alla probabilità dell’intersezione di più di due eventi.
Si consideri una sequenza di n eventi casuali denotati con E1 , E2 , . . . , En . Si
dimostra che
Luigi Augugliaro
P(E1 ∩ E2 ∩ . . . ∩ En )
= P(En | E1 ∩ E2 ∩ . . . ∩ En−1 ) ×
P(En−1 | E1 ∩ E2 ∩ . . . ∩ En−2 ) ×
..
.
P(E2 | E1 ) ×
P(E1 )
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Esercizio. Si consideri un mazzo di 52 carte e l’esperimento casuale consistente
nell’estrazione di 5 carte senza reinserimento. Calcolare la probabilità di osservare
le sequenze
i. picche, fiori, fiori, picche, quadri.
ii. 2, 9, 4, 2, 2
Esercizio. Si consideri un’urna contente 70 palline bianche e 30 palline nere.
Estraendo senza reinserimento 6 palline, calcolare la probabilità di osservare la
sequenza
bianco, bianco, nero, bianco, nero.
Luigi Augugliaro
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Definizione
Diremo che l’evento A è stocasticamente indipendente dall’evento B quando
P(A | B) = P(A).
In altri termini A è stocasticamente indipendente da B quando l’informazione
contenuta in B non modifica la probabilità che si verifichi l’evento A.
Dalla relazione
P(A | B) · P(B) = P(A ∩ B) = P(B | A) · P(A)
si ricava che la stocastica indipendenza può essere espressa in tre modi equivalenti
i. P(A | B) = P(A),
ii. P(B | A) = P(B),
iii. P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Dall’analisi congiunta della condizione i. e ii. si deduce che la stocastica indipendenza è una proprietà simmetrica.
Luigi Augugliaro
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Il teorema di Bayes
Sia B1 , B2 , . . . , Bk una partizione dello spazio campionario, ovvero vengono soddisfatte le seguenti condizioni:
B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bk = S
e
Bi ∩ Bj = ∅
(i 6= j)
Consideriamo un generico evento A e l’identità
A=A∩S
= A ∩ (B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bk ) =
=
(A ∩ B1 ) ∪ (A ∩ B2 ) ∪ . . . ∪ (A ∩ Bk ).
Dato che gli eventi A ∩ Bi sono incompatibili, l’applicazione del teorema delle
probabilità totali per eventi incompatibili ci fornisce l’identità
P(A)
Luigi Augugliaro
= P[(A ∩ B1 ) ∪ (A ∩ B2 ) ∪ . . . ∪ (A ∩ Bk )] =
= P(A ∩ B1 ) + P(A ∩ B2 ) + . . . + P(A ∩ Bk ) =
= P(A | B1 )P(B1 ) + P(A | B2 )P(B2 ) + . . . + P(A | Bk )P(Bk )
=
k
X
P(A | Bi )P(Bi )
i=1
(Dipartimento
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L’applicazione della formula
P(A) =
k
X
P(A | Bi )P(Bi ),
i=1
richiede usualmente l’applicazione di quello che è noto come ragionamento per
scenario. L’esempio che segue ne mostra una possibile applicazione.
Esempio: consideriamo sei urne numerate da 1 fino a 6. Le urne sono composte
nel seguente modo:
i. l’urna 1 ha 10 palline bianche e 6 nere;
ii. l’urna 2 ha 7 palline bianche e 3 nere;
iii. l’urna 3 ha 9 palline bianche e 1 nere;
iv. l’urna 4 ha 3 palline bianche e 9 nere;
v. l’urna 5 ha 10 palline bianche e 1 nere;
vi. l’urna 6 ha 12 palline bianche e 5 nere.
Se si sceglie casualmente un’urna mediante l’utilizzo di un dado regolare a 6 facce,
qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca?
Luigi Augugliaro
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L’esercizio precedente prevede 6 possibili scenari:
i. il primo scenario si verifica quando si estrae il valore 1 con il dado; in questo
caso la probabilità di estrarre una pallina bianca è 10/16;
ii. il secondo scenario si verifica quando si estrae il valore 2 con il dado; in questo
caso la probabilità di estrarre una pallina bianca è 7/10;
iii. il terzo scenario si verifica quando si estrae il valore 3 con il dado; in questo
caso la probabilità di estrarre una pallina bianca è 9/10;
iv. il quarto scenario si verifica quando si estrae il valore 4 con il dado; in questo
caso la probabilità di estrarre una pallina bianca è 3/12;
v. il quinto scenario si verifica quando si estrae il valore 5 con il dado; in questo
caso la probabilità di estrarre una pallina bianca è 10/11;
vi. il sesto scenario si verifica quando si estrae il valore 6 con il dado; in questo
caso la probabilità di estrarre una pallina bianca è 12/17.
Luigi Augugliaro
(Dipartimento
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Formalizzando quanto descritto in precedenza, denotiamo con Bi l’evento aleatorio
{uscita della faccia con valore i}. In questo caso P(Bi ) = 1/6 ed inoltre, se denotiamo con A l’evento aleatorio {estrazione di una pallina bianca}, possiamo scrivere
che
P(A | B1 ) = 10/16 = 5/8,
P(A | B2 ) = 7/10,
P(A | B3 ) = 9/10,
P(A | B4 ) = 3/12 = 1/4,
P(A | B5 ) = 10/11,
P(A | B6 ) = 12/17,
Da cui si ricava che
P(A)
Luigi Augugliaro
=
=
=
P(A | B1 )P(B1 ) + P(A | B2 )P(B2 ) + P(A | B3 )P(B3 ) +
+P(A | B4 )P(B4 ) + P(A | B5 )P(B5 ) + P(A | B6 )P(B6 ) =
7 1
9 1 1 1 10 1 12 1
5 1
· +
· +
· + · +
· +
· =
8 6 10 6 10 6 4 6 11 6 17 6
5
7
9
1 10 12 1
30593 1
+
+
+ +
+
=
· ≈ 0.68
8 10 10 4 11 17 6
7480 6
(Dipartimento
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di S
Esercizio. L’urna 1 contiene 4 biglie rosse e 3 biglie blu e l’urna 2 contiene 2 biglie
rosse e 2 biglie blu. Una biglia viene scelta a casa dall’urna 1 ed inserita nell’urna 2.
Poi viene estratta una biglia dall’urna 2. Qual è la probabilità che la biglia estratta
dall’urna 2 sia di colore rosso?
Esercizio. Si consideri un mazzo con 52 carte (13 carte per 4 semi). Se si estraggono senza reinserimento 2 carte, qual è la probabilità che la seconda carta estratta
sia un asso?
Luigi Augugliaro
(Dipartimento
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Prima di formulare il teorema di Bayes, analizziamo il significato della probabilità
condizionata P(A | Bi ). Usualmente l’evento Bi è identificato con una ipotesi
(scenario) la cui realizzazione modifica la probabilità di versificarsi dell’evento A.
La probabilità P(Bi ) è la probabilità a priori che l’ipotesi Bi sia vera.
Il teorema di Bayes trova fondamento sull’idea di invertire la logica illustrata in
precedenza: dato che abbiamo delle informazioni aggiuntive, ottenute dal verificarsi
o meno dell’evento A, come cambia la probabilità che sia vera l’ipotesi Bi ?
La risposta alla precedente domanda è ottenuta tramite la probabilità condizionata
P(Bi | A), la quale può essere espressa nel seguente modo
P(Bi | A) =
P(A ∩ Bi )
P(A | Bi )P(Bi )
=
,
P(A)
P(A)
dove l’ultima uguaglianza è ottenuta applicando l’identità
Luigi Augugliaro
P(A ∩ Bi ) = P(A | Bi )P(Bi ).
(Dipartimento
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Il teorema di Bayes è ottenuto applicando all’indentità
P(Bi | A) =
P(A | Bi )P(Bi )
P(A ∩ Bi )
=
,
P(A)
P(A)
la fattorizzazione
P(A) =
k
X
P(A | Bi )P(Bi ).
i=1
Teorema di Bayes
P(Bi | A) =
P(A ∩ Bi )
P(A | Bi )P(Bi )
= Pk
P(A)
i=1 P(A | Bi )P(Bi )
(2)
La formula (2) è chiamata formula di Bayes, in onore del filosofo Thomas Bayes.
Se consideriamo gli eventi Bi come delle ipotesi relative ad uno specifico fatto, la
formula di Bayes si può interpretare come il modo in cui le valutazioni iniziali sulle
ipotesi fatte prima dell’esperimento (cioè P(Bi )) si debbano modificare una volta
che si conosca l’esito dell’esperimento.
Luigi Augugliaro
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Esempio: in un laboratorio di analisi, l’esame del sangue è efficace nell’individuare
una malattia con una probabilità dello 0.95 (cioè l’esame rileva la malattia dato
che è stato somministrato ad una persona malata). Esiste, comunque, una piccola
probabilità che si commetta un errore: l’esame rileva la malattia su una persona
sana con una probabilità dello 0.01. Sapendo che la probabilità che un individuo sia
malato è dello 0.005, calcolare la probabilità l’individuo sia malato dato che l’esame
ha rivelato la malattia.
Soluzione. Dalla lettura del teso si ricava che noi siamo interessati al calcolo della
probabilità dell’evento condizionato
{“l’individuo è malato” | “l’esame rivela la malattia”}
Definiamo i seguenti eventi
B1 = {“l’individuo è malato”}, A = {“l’esame rivela la malattia”’}.
Le precedenti definizioni ci portano a concludere che siamo interessati a due possibili
ipotesi, ovvero
Luigi Augugliaro
B1
=
{“l’individuo è malato”},
B2
=
B̄1 = {“l’individuo non è malato”}.
(Dipartimento
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Dopo aver definito gli eventi B1 , B2 ed A, dal teso si ricavano le seguenti probabilità:
P(A | B1 )
=
0.95
P(A | B2 )
=
0.01
P(B1 )
=
0.005
P(B2 )
=
0.995
Applicando il teorema di Bayes si ricava
Luigi Augugliaro
P(B1 | A)
=
=
P(A | B1 )P(B1 )
=
P(A | B1 )P(B1 ) + P(A | B2 )P(B2 )
0.95 · 0.005
≈ 0.323
0.95 · 0.005 + 0.01 · 0.995
(Dipartimento
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di S
Esercizio: ci sono 5 urne numerate da 1 fino a 5 tutte contenenti 10 palline. Le
urne sono composte nel seguente modo:
l’urna 1 ha 1pallina difettosa e 9 palline non difettose;
l’urna 2 ha 1pallina difettosa e 8 palline non difettose;
l’urna 3 ha 1pallina difettosa e 7 palline non difettose;
l’urna 4 ha 1pallina difettosa e 6 palline non difettose;
l’urna 5 ha 1pallina difettosa e 5 palline non difettose.
Consideriamo il seguente esperimento casuale: inizialmente si sceglie un’urna a caso,
e poi si estrae una pallina a caso dall’urna scelta (lo sperimentatore non conosce
l’urna da cui è estratta la pallina).
i. Qual è la probabilità che la pallina estratta sia difettosa?
ii. Dato che la pallina estratta è difettosa, qual è la probabilità che questa sia
estratta dall’urna 5?
Luigi Augugliaro
(Dipartimento
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Esercizi di riepilogo
Esercizio 1. Una scatola di puzzle di legno contiene 6 tasselli quadrati, 8 tasselli
triangolari, 4 tasselli rettangolari e 7 tasselli trapezoidali. Se si estraggono
contemporaneamente 6 tasselli, qual è la probabilità di estrarre 2 tasselli quadrati
oppure 2 tasselli triangolari?
Esercizio 2. Un gruppo di ricercatori è interessato a studiare il comportamento in
merito all’abbonamento a due pay-tv, indicate con A e B. Studi precedenti
dimostrano che la probabilità che un individuo non si abboni ad A è dello 0.2, la
probabilità che non si abboni a B dato che non si è abbonato ad A è dello 0.9 e la
probabilità che si abboni ad A e non si abboni a B è dello 0.72. Sulla base dei
precedenti valori il candidato calcoli:
i. la probabilità che un individuo si abboni ad A;
ii. la probabilità che un individuo si abboni ad A dato che non si è abbonato a B;
iii. la probabilità che si abboni ad A oppure a B.
Luigi Augugliaro
(Dipartimento
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di S
Esercizi di riepilogo
Esercizio 3. Una scatola di mattoncini è composta nel seguente modo: 5
mattoncini sono di colore rosso, 6 sono di colore verde, 4 sono di colore nero e 9
sono di colore bianco. Se si estraggono contemporaneamente 8 mattoncini, qual è
la probabilità di estrarre un numero di mattoncini rossi compreso tra 1 e 3, estremi
compresi?
Esercizio 4. Si consideri un’urna contenente 5 palline bianche e 10 palline nere e
l’esperimento casuale consistente nell’estrazione con reinserimento di una pallina
dall’urna fino a quando non vengono estratte due palline bianche. Calcolare la
probabilità che vengano estratte tre palline nere prima di estrarre le due palline
bianche.
Esercizio 5. Si consideri un’urna contenente 5 palline bianche, 6 palline nere, 2
palline rosse, 4 palline gialle e 3 palline verdi. Se vengono estratte senza
reinserimento 4 palline dall’urna, qual è la probabilità che si osservino almeno 3
palline nere?
Luigi Augugliaro
(Dipartimento
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di S
Esercizi di riepilogo
Esercizio 6. Si consideri un’urna contenente cinque palline nere, sei palline rosse,
due palline gialle e sette palline verdi. L’esperimento casuale è descritto nel
seguente modo. Viene lanciata una moneta: se viene osservata la faccia riportante
il simboli “croce” vengono estratte senza reinserimento cinque palline dall’urna,
altrimenti, se si osserva la faccia riportante il simbolo “testa” vengono estratte con
reinserimento cinque palline dall’urna. Sulla base della descrizione dell’esperimento
casuale, il candidato calcoli la probabilità di osservare tre palline verdi.
Esercizio 7. Una scatola di mattoncini è composta nel seguente modo: 6
mattoncini sono di colore rosso, 7 sono di colore verde, 5 sono di colore nero e 10
sono di colore bianco. Se si estraggono contemporaneamente 5 mattoncini, qual è
la probabilità di estrarre un numero di mattoncini verdi compreso tra 1 e 3,
estremi compresi?
Luigi Augugliaro
(Dipartimento
62 / 63
di S
Esercizi di riepilogo
Esercizio 8. Una nota compagnia assicurativa è interessata a studiare il
comportamento dei propri clienti in merito alla stipola di una polizza assicurativa
sulla vita e in merito all’apertura di un fondo pensionistico. Sulla base dei dati
raccolti in passato è noto che:
la probabilità che un cliente stipuli una polizza assicurativa oppure apra un
fondo pensionistico è dello 0.6;
la probabilità che un cliente stipuli una polizza assicurativa e apra un fondo
pensionistico è dello 0.1;
la probabilità che un cliente apra un fondo pensionistico è dello 0.6.
Sulla base dei precedenti valori, il candidato calcoli:
i. la probabilità che un cliente non stipuli una polizza assicurativa e non apra un
fondo pensionistico;
ii. la probabilità che un cliente stipuli una polizza assicurativa dato che non è
stato aperto un fondo pensionistico;
iii. la probabilità che un cliente non stipuli una polizza assicurativa oppure non
apra un fondo pensionistico.
Luigi Augugliaro
(Dipartimento
63 / 63
di S