testo

Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari
Prova di esame del 18/7/2013
Matematica e Statistica II
NOME
COGNOME
N. Matr.
Rispondere ai punti degli esercizi nel modo più completo possibile, cercando di giustificare i passaggi.
Alle domande a quiz va indicata una sola risposta (se è corretta essa vale 2 punti; se errata -1/2)
Il compito è diviso in due parti. Per essere ammessi all’orale è necessario ottenere almeno metà
dei punti possibili in ognuna delle parti.
PARTE I
ESERCIZIO 1
(6 punti)
Sappiamo che il colore dei semi di pisello è controllato da un unico gene, e l’allele che codifica
per il colore giallo è recessivo rispetto a quello che codifica per il verde. Dalle leggi di Mendel segue
che il seme prodotto da un incrocio fra due eterozigoti sarà giallo con probabilià pari a 1/4.
1. Qual è la probabilità che meno del 20% di n semi prodotti da un tale incrocio sia giallo per
n = 20? [Scrivere la formula esatta ed approssimarla con un metodo appropriato]
2. Per n = 50 tale probabilità sarà maggiore, uguale o minore? Rispondere senza fare il conto,
ma con un ragionamento.
3. Quanto deve essere grande n perché tale probabilità sia minore del 5%?
ESERCIZIO 2
(6 punti)
Un’urna contiene 8 palline rosse, 5 bianche e 2 nere. Si estrae una pallina e, dopo averla guardata,
la si reinserisce nell’urna aggiungendovi anche 1 pallina di ciascuno degli altri due colori (prese da
una scatola che si ha a disposizione); dopo, si estrae una seconda pallina.
(a) Calcolare la probabilità che la seconda pallina estratta sia bianca.
(b) Calcolare la probabilità che le due palline estratte siano dello stesso colore.
(c) Calcolare la probabilità che la prima pallina estratta sia bianca sapendo che la seconda estratta
è bianca.
PARTE II
ESERCIZIO 3
(6+1 punti)
In un controllo di qualità della produzione, si è trovato che il 10% dei pneumatici di un campione
non soddisfa gli standard dell’azienda.
1. Costruire un intervallo di confidenza al 99% per la proporzione della produzione al di sotto
degli standard, se il campione ha dimensione n = 10.
Usate il metodo dell’approssimazione normale, nei due modi visti a lezione, e discutete se tali
approssimazioni siano appropriate.
2. Supponiamo ora che lo statistico dell’azienda segua i metodi bayesiani e, sulla base delle
sue conoscenze dei metodi di produzione, scelga una distribuzione a priori Beta(a, b) con
a+b = 10 e valore atteso 5%. Mostrare il procedimento con cui si costruirebbe la distribuzione
a posteriori; che cosa si può usare in questa impostazione al posto dell’intervallo di confidenza
al 99%? [rispondere con una formula o graficamente]
opzionale trovare i valori di a e b e la formula esatta della distribuzione a posteriori.
ESERCIZIO 4
(7 punti)
Si è notato che spesso le civette delle tane raccolgono pezzetti di sterco di grandi mammiferi e
li lasciano nelle vicinanze delle loro tane; si pensa che ciò sia fatto allo scopo di attirare scarabei
stercorari, che sono una delle principali prede di queste civette. Per studiare se ciò sia verosimile, un
gruppo di ricercatori ha posto dei frammenti di sterco davanti alle tane di 10 civette mentre hanno
tenuto libere da sterco le tane di altre 10 civette (gruppo di controllo). Successivamente hanno
contato quanti scarabei hanno catturato le civette dei due gruppi, trovand che il numero medio era
4,8 per il gruppo con sterco, mentre era 0,51 per il gruppo di controllo. Le deviazioni standard per
i due gruppi sono state 3,26 e 0,89 rispettivamente.
1. Calcolate l’intervallo di confidenza al 95% per il numero medio di scarabei catturati, separatamente per i due gruppi.
2. Studiate, tramite un test studiato nel corso, se il numero medio di scarabei catturati nei due
gruppi sia significativamente diverso. Specificare le ipotesi esatte usate nel test.
3. Si noterà che non tutte le ipotesi alla base del test appaiono soddisfatte. Quali test si
potrebbero effettuare per ovviare a questo problema?
ESERCIZIO 5
(4 punti)
È stato condotto un esperimento per confrontare il numero di uccelli morti a causa degli urti
contro finestre verticali (V), finestre inclinate verso il basso di 20◦ (I20), finestre inclinate verso
il basso di 40◦ rispetto alla verticale (I40). Le inclinazioni sono state assegnate casualmente a 6
finestre identiche e variate ogni giorno, facendo sı̀ che complessivamente fosse uguale l’intervallo di
tempo durante il quale ogni finestra avesse una certa inclinazione. Alla fine del periodo di studio,
30 uccelli erano rimasti uccisi dallo scontro con finestre V, 15 da quello con finestre I20, 8 da quello
con finestre I40.
Vogliamo verificare se l’inclinazione delle finestre influisca sulla probabilità che un uccello rimanga ucciso scontrandosi con la finestra.
1. Posto Mi il numero di uccelli morti nel trattamento i = 1, 2, 3 sta per V, I20, I40, un’appropriata ipotesi nulla ed alternativa per un test è
H0 : Mi ∼ P ois(λ),
H1 : Mi ∼ P ois(λi ), λi non tutti uguali.
H0 : Mi ∼ Bin(53, 1/3),
H1 : Mi ∼ Bin(53, pi ), pi non tutti uguali a 1/3.
H0 : (M1 , M2 , M3 ) ∼ M ultinom(53; 1/3, 1/3, 1/3),
pi non tutti uguali a 1/3.
H0 : Mi ∼ N (53/3, σ 2 ),
H1 : Mi ∼ M ultinom(53; p1 , p2 , p3 ),
H1 : Mi ∼ N (µi , σ 2 ), µi non tutti uguali a 53/3.
2. Scelto un test, mostrate le modalità della sua effettuazione? [non effettuate calcoli, ma
mostrate la procedura in modo comprensibile]
3. Perché l’inclinazione delle finestre è stata assegnata casualmente e cambiata giornalmente?
DOMANDA 6 La potenza di un test
aumenta al crescere della dimensione n del campione;
è la probabilità di accettare l’ipotesi nulla H0 quando essa è vera;
è la probabilità di rifiutare l’ipotesi nulla H0 quando essa è vera;
è la probabilità che H1 sia vera quando i dati cadono nella regione critica.