Linearizzazione di sistemi dinamici
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Linearizzazione di sistemi dinamici
Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici Linearizzazione di sistemi dinamici Linearizzazione di sistemi dinamici Linearizzazione di una funzione reale Linearizzazione di un sistema dinamico Esempi di linearizzazione di sistemi dinamici 2 Linearizzazione di sistemi dinamici Linearizzazione di una funzione reale Linearizzazione di una funzione reale (1/2) Una funzione f (x ) : → può essere sviluppata in serie di Taylor in un intorno di ampiezza δx = x − x0 di un qualsiasi valore x0 della variabile reale x come: f (x ) = f (x 0 +δ x ) = df (x ) 1 d 2f (x ) 2 = f (x 0) + +… δx + δ x 2 dx x = x 2! dx x =x 0 0 La funzione f (x ) può essere approssimata in tale intorno mediante il troncamento h (x ) dello sviluppo in serie di Taylor arrestato al termine di 1o grado: df (x ) f (x ) = f (x 0 +δ x ) ≅ f (x 0) + δ x = h (x ) dx x = x 0 4 Linearizzazione di una funzione reale (2/2) 4 3.5 h (x ) f (x ) 3 2.5 f (x0 ) = 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 x0 = 1 2 3 4 L’approssimazione h (x ) è tanto migliore quanto più piccolo è l’intorno δx del punto di linearizzazione x0 5 Linearizzazione di sistemi dinamici Linearizzazione di un sistema dinamico Linearizzazione di un sistema dinamico I sistemi dinamici reali non sono mai perfettamente lineari, ma possono essere approssimati nell’intorno di ogni prefissato movimento (quale, ad esempio, un punto di equilibrio) mediante opportuni modelli lineari, detti modelli linearizzati Per l’analisi ed il controllo di sistemi dinamici lineari si hanno a disposizione metodologie più semplici, potenti e numerose rispetto al caso non lineare Obiettivo: costruire un modello dinamico lineare che approssimi bene il comportamento del sistema dinamico non lineare nell’intorno di un prefissato movimento “nominale” 7 Movimento nominale di un sistema dinamico Dato un sistema dinamico, a dimensione finita, MIMO, a tempo continuo, non lineare, stazionario x (t ) = f ( x (t ),u (t )) y (t ) = g ( x (t ),u (t )) se ne considerino due diverse evoluzioni temporali: Un movimento “nominale” x (t ) ottenuto applicando un ingresso “nominale” u (t ) al sistema posto in uno stato iniziale “nominale” x 0 , cui corrisponde una uscita “nominale” y (t ) ⇒ x (t ) e y (t ) soddisfano il seguente sistema di equazioni x (t ) = f ( x (t ),u (t )) , x (t = 0) = x 0 y (t ) = g ( x (t ),u (t )) 8 Movimento perturbato di un sistema dinamico Dato un sistema dinamico, a dimensione finita, MIMO, a tempo continuo, non lineare, stazionario x (t ) = f ( x (t ),u (t )) y (t ) = g ( x (t ),u (t )) se ne considerino due diverse evoluzioni temporali: Un movimento “perturbato” x (t ) ottenuto applicando un ingresso differente (“perturbato”) u (t ) al sistema posto in uno stato iniziale differente (“perturbato”) x 0 , cui corrisponde una uscita “perturbata” y (t ) ⇒ x (t ) e y (t ) soddisfano il seguente sistema di equazioni x (t ) = f ( x (t ),u (t )) , x (t = 0) = x 0 y (t ) = g ( x (t ),u (t )) 9 Perturbazioni di un sistema dinamico Le differenze fra le due diverse evoluzioni temporali rappresentano le perturbazioni del sistema: δ x (t ) = x (t ) − x (t ) = perturbazione sullo stato ∈ n ⇒ x (t ) = x (t ) + δ x (t ) δu (t ) = u (t ) − u (t ) = perturbazione sull'ingresso ∈ p ⇒ u (t ) = u (t ) + δu (t ) δ y (t ) = y (t ) − y (t ) = perturbazione sull'uscita ∈ q ⇒ y (t ) = y (t ) + δ y (t ) L’evoluzione temporale della perturbazione sullo stato δx (t ) è soluzione dell’equazione differenziale d (δ x (t )) d ( x (t ) − x (t )) δ x (t ) = = = x (t ) − x (t ) dt dt 10 Calcolo delle perturbazioni del sistema (1/3) L’evoluzione temporale della perturbazione sullo stato δx (t ) è soluzione dell’equazione differenziale δ x (t ) = x (t ) − x (t ) = f ( x (t ),u (t )) − f ( x (t ),u (t )) La funzione f (x (t ),u (t )) può essere sviluppata in serie di Taylor in un intorno di x (t ) e u (t ) come f ( x (t ),u(t )) = f ( x (t ) + δ x (t ),u(t ) + δu(t )) = ∂f (x ,u ) ∂f (x ,u ) = f ( x (t ),u(t )) + δ x (t ) + δu(t ) +… x =x ∂x ∂u x =x u =u u =u e può essere approssimata mediante il troncamento di tale sviluppo in serie arrestato al termine lineare: ∂f (x ,u) ∂f (x ,u) f (x (t ),u(t )) ≅ f (x (t ),u (t )) + δ x (t ) + δu(t ) ∂x x =x ∂u x =x u =u u =u 11 Calcolo delle perturbazioni del sistema (2/3) Quindi δx (t ) è soluzione dell’equazione differenziale δ x (t ) = f ( x (t ),u (t )) − f ( x (t ),u (t )) ≅ ∂f (x ,u) ∂f (x ,u) ≅ δ x (t ) + δu (t ) = ∂x x =x ∂u x =x u =u = A(t ) δ x (t ) + B (t ) δu (t ) A(t ) = B (t ) = ∂f (x ,u) ∂x ∂f (x ,u) ∂u ⎡∂f1 =⎢ x =x ⎣∂fn u =u ⎢ ∂x 1 … ∂f1 ∂x n ⎤ ⎡∂f1 =⎢ x =x ⎣∂fn u =u ⎢ ∂u1 … ∂f1 ∂u p ⎤ ∂x 1 ∂u1 ∂fn ∂fn u =u ∈ n ×n Jacobiano di f : rispetto ad x ⎥ ∈ ∂u p ⎥ x =x ⎦ u =u n ×p Jacobiano di f : rispetto ad u ⎥ ∂x n ⎥ ⎦ ux ==ux 12 Calcolo delle perturbazioni del sistema (3/3) Procedendo in maniera analoga con δy (t ), si ricava: δ y (t ) = y (t ) − y (t ) = g ( x (t ),u (t )) − g ( x (t ),u (t )) ≅ ∂g (x ,u) ∂g (x ,u) δ x (t ) + δu (t ) = ≅ ∂x x =x ∂u x =x u =u u =u = C (t ) δ x (t ) + D (t ) δu (t ) ⎡∂g1 =⎢ x =x ⎣∂gq u =u ⎢ ∂x 1 … ∂g1 ∂x n ⎤ ∂g1 ⎡ ∂g(x ,u) D (t ) = =⎢ ∂u x =x ⎢∂g u =u ⎣ q ∂u1 … ∂g1 ∂u p ⎤ C (t ) = ∂g(x ,u) ∂x ∂x 1 ∂u1 ∂gq ∂gq ∈ q ×n Jacobiano di g : rispetto ad x ⎥ ∈ ∂u p ⎥ x =x ⎦ u =u q ×p : Jacobiano di g rispetto ad u ⎥ ∂x n ⎥ ⎦ ux ==ux 13 Sistema dinamico linearizzato TC Quindi l’evoluzione temporale del sistema dinamico x (t ) = f ( x (t ),u (t )) y (t ) = g ( x (t ),u (t )) nell’intorno del movimento “nominale” (x (t ),u (t ), y (t )) può essere espressa in forma approssimata come x (t ) = x (t ) + δ x (t ), u (t ) = u (t ) + δu (t ), y (t ) = y (t ) + δy (t ) in funzione delle perturbazioni δ x (t ) e δy (t ) che sono le soluzioni del sistema dinamico linearizzato δ x (t ) = A(t ) δ x (t ) + B (t ) δu (t ), δ x (t = 0) = x (t = 0) − x 0 δ y (t ) = C (t ) δ x (t ) + D (t ) δu (t ) A (t ) = ∂f (x ,u ) ∂x x =x u =u , B (t ) = ∂f (x ,u ) ∂u x =x u =u , C (t ) = ∂g (x ,u ) ∂x x =x u =u , D (t ) = ∂g (x ,u ) ∂u x =x u =u 14 Sistema dinamico linearizzato TD Analogamente, l’evoluzione temporale del sistema x (k + 1) = f ( x (k ),u (k )) y (k ) = g ( x (k ),u (k )) nell’intorno del movimento “nominale” (x (k ),u (k ),y (k )) può essere espressa in forma approssimata come x (k ) = x (k ) + δ x (k ), u (k ) =u (k ) + δu (k ), y (k ) = y (k ) + δy (k ) in funzione delle perturbazioni δ x (k ) e δy (k ) che sono le soluzioni del sistema dinamico linearizzato δ x (k + 1) = A(k ) δ x (k )+B (k ) δu (k ), δ x (k = 0) = x (k = 0) − x 0 δ y (k ) =C (k ) δ x (k )+D (k ) δu (k ) A (k ) = ∂f (x ,u ) ∂x x =x u =u , B (k ) = ∂f (x ,u ) ∂u x =x u =u ,C (k ) = ∂g (x ,u ) ∂x x =x u =u , D (k ) = ∂g (x ,u ) ∂u x =x u =u 15 Linearizzazione nell’intorno dell’equilibrio In generale, il sistema dinamico linearizzato può risultare variante nel tempo, anche se il sistema dinamico non lineare da approssimare è stazionario Se però il movimento “nominale” considerato è un punto di equilibrio (x ,u ) , allora le matrici A, B, C e D del sistema dinamico linearizzato risultano costanti e quindi il sistema dinamico linearizzato è LTI: δ x (t ) = A δ x (t ) + B δu (t ) δ x (k + 1) = A δ x (k ) + B δu (k ) δ y (t ) = C δ x (t ) + D δu (t ) δ y (k ) = C δ x (k ) + D δu (k ) Quale che sia il movimento “nominale” considerato, la validità dell’approssimazione mediante il sistema linearizzato è tanto maggiore quanto minori sono le perturbazioni rispetto a tale movimento “nominale” 16 Linearizzazione di sistemi dinamici Esempi di linearizzazione di sistemi dinamici Esempio #1 di linearizzazione (1/4) Dato il sistema (levitatore magnetico) descritto da i = f1(x ,u ) ⎧⎪x1 = x 2 0 ⎨ 2 x 2 = f (x ,u ) x = − g k M u ( ) i 2 ⎪⎩ 2 1 f M = g (x ,u ) y = x1 p Mg calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ⎛ ⎡ ki ⎤ ⎞ nell’intorno del punto di equilibrio ⎜x = ⎢ Mg u ⎥ ,u ≠ 0⎟ ⎜ ⎢ 0 ⎥ ⎟ ⎦ ⎝ ⎣ ⎠ Nell’equazione δ x (t ) = Aδ x (t ) + B δu (t ) compaiono: ⎡ ∂f1 ∂f1 ⎤ 0 1⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ ∂f (x ,u) ∂ x ∂ x A= = ⎢∂f 1 ∂f 2 ⎥ = ⎢2ki u 2 ⎥ = ⎢2g Mg ⎥ 0⎥ 2 2⎥ 0 x =x ∂x ⎢ 3 ⎢ ⎢ ⎥⎦ u =u ⎣∂x1 ∂x 2 ⎦ ux ==ux ⎣ M x1 ⎦ ⎣ u ki 18 Esempio #1 di linearizzazione (2/4) Dato il sistema (levitatore magnetico) descritto da i = f1(x ,u ) ⎧⎪x1 = x 2 0 ⎨ 2 x 2 = f (x ,u ) x = − g k M u ( ) i 2 ⎪⎩ 2 1 f M = g (x ,u ) y = x1 p Mg calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ⎛ ⎡ ki ⎤ ⎞ nell’intorno del punto di equilibrio ⎜x = ⎢ Mg u ⎥ ,u ≠ 0⎟ ⎜ ⎢ 0 ⎥ ⎟ ⎦ ⎝ ⎣ ⎠ Nell’equazione δ x (t ) = Aδ x (t ) + B δu (t ) compaiono: ∂f1 ⎤ ⎡ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ∂f (x ,u ) B = = ⎢∂∂fu ⎥ = ⎢ 2k i u ⎥ = ⎢ 2 g ⎥ − 2 − x =x ∂u 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ u ⎦ u =u ⎣ ∂u ⎦ ux ==ux ⎣ M x 1 ⎦ 19 Esempio #1 di linearizzazione (3/4) Dato il sistema (levitatore magnetico) descritto da i = f1(x ,u ) ⎧⎪x1 = x 2 0 ⎨ 2 x 2 = f (x ,u ) x = − g k M u ( ) i 2 ⎪⎩ 2 1 f M = g (x ,u ) y = x1 p Mg calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ⎛ ⎡ ki ⎤ ⎞ nell’intorno del punto di equilibrio ⎜x = ⎢ Mg u ⎥ ,u ≠ 0⎟ ⎜ ⎢ 0 ⎥ ⎟ ⎦ ⎝ ⎣ ⎠ Nell’equazione δ y (t ) = C δ x (t ) + D δu (t ) compaiono: ∂g (x ,u ) C = = ⎡ ∂g ∂g ⎤ = [1 0 ] x = x ⎣∂x 1 ∂x 2 ⎦ u =u x =x ∂x u =u 20 Esempio #1 di linearizzazione (4/4) Dato il sistema (levitatore magnetico) descritto da i = f1(x ,u ) ⎧⎪x1 = x 2 0 ⎨ 2 x 2 = f (x ,u ) x = − g k M u ( ) i 2 ⎪⎩ 2 1 f M = g (x ,u ) y = x1 p Mg calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ⎛ ⎡ ki ⎤ ⎞ nell’intorno del punto di equilibrio ⎜x = ⎢ Mg u ⎥ ,u ≠ 0⎟ ⎜ ⎢ 0 ⎥ ⎟ ⎦ ⎝ ⎣ ⎠ Nell’equazione δ y (t ) = C δ x (t ) + D δu (t ) compaiono: D = ∂g (x ,u ) ∂u x =x u =u = ⎡⎣∂g ⎤⎦ ∂u x =x u =u = [0] 21 Esempio #2 di linearizzazione (1/6) Dato il sistema (pendolo inverso) descritto da = f1(x ,u ) ⎧x1 = x 2 M Fo (t ) ⎪ θ ⎨x = u cos x1 + g sin x − βx 2 = f (x ,u ) g 2 1 l 2 ⎪⎩ 2 Ml l Ml y = x1 = g (x ,u ) β calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ⎛ ⎡k π⎤ ⎞ nell’intorno dei punti di equilibrio ⎜x = ⎢ ⎥ ,u = 0⎟ ⎝ ⎣0⎦ ⎠ Nell’equazione δ x (t ) = Aδ x (t ) + B δu (t ) compaiono: 0 1 ⎤ ⎡ ∂f1 ∂f1 ⎤ ⎡ ∂f (x ,u) ∂x1 ∂x 2 ⎥ ⎢ u sinx 1 A= = ∂f ∂f = ⎢g β ⎥ 2⎥ − 2⎥ cos x 1− x =x ⎢ 2 ∂x ⎢ u =u ⎣∂x ∂x ⎦ x =x ⎣ l Ml Ml ⎦ 1 2 u =u 22 Esempio #2 di linearizzazione (2/6) Dato il sistema (pendolo inverso) descritto da = f1(x ,u ) ⎧x1 = x 2 M Fo (t ) ⎪ θ ⎨x = u cos x1 + g sin x − βx 2 = f (x ,u ) g 2 1 l 2 ⎪⎩ 2 Ml l Ml y = x1 = g (x ,u ) β calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ⎛ ⎡k π⎤ ⎞ nell’intorno dei punti di equilibrio ⎜x = ⎢ ⎥ ,u = 0⎟ ⎝ ⎣0⎦ ⎠ Nell’equazione δ x (t ) = Aδ x (t ) + B δu (t ) compaiono: 1 ⎤ 1 ⎤ ⎡ 0 ⎡0 k pari ⇒ A = ⎢ g β ⎥ , k dispari ⇒ A = ⎢ g β ⎥ ⎢+ l − Ml 2 ⎥ ⎢− l − Ml 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 23 Esempio #2 di linearizzazione (3/6) Dato il sistema (pendolo inverso) descritto da = f1(x ,u ) ⎧x1 = x 2 M Fo (t ) ⎪ θ ⎨x = u cos x1 + g sin x − βx 2 = f (x ,u ) g 2 1 l 2 ⎪⎩ 2 Ml l Ml y = x1 = g (x ,u ) β calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ⎛ ⎡k π⎤ ⎞ nell’intorno dei punti di equilibrio ⎜x = ⎢ ⎥ ,u = 0⎟ ⎝ ⎣0⎦ ⎠ Nell’equazione δ x (t ) = Aδ x (t ) + B δu (t ) compaiono: ∂f1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ ∂f (x ,u) B= = ⎢∂∂fu ⎥ = ⎢cos x 1 ⎥ ∂u x =x ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ u =u ⎣∂u ⎦ x =x ⎣ Ml ⎦ u =u 24 Esempio #2 di linearizzazione (4/6) Dato il sistema (pendolo inverso) descritto da = f1(x ,u ) ⎧x1 = x 2 M Fo (t ) ⎪ θ ⎨x = u cos x1 + g sin x − βx 2 = f (x ,u ) g 2 1 l 2 ⎪⎩ 2 Ml l Ml y = x1 = g (x ,u ) β calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ⎛ ⎡k π⎤ ⎞ nell’intorno dei punti di equilibrio ⎜x = ⎢ ⎥ ,u = 0⎟ ⎝ ⎣0⎦ ⎠ Nell’equazione δ x (t ) = Aδ x (t ) + B δu (t ) compaiono: ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ k pari ⇒ B = ⎢ 1 ⎥ , k dispari ⇒ B = ⎢ 1 ⎥ ⎢⎣+ Ml ⎥⎦ ⎢⎣− Ml ⎥⎦ 25 Esempio #2 di linearizzazione (5/6) Dato il sistema (pendolo inverso) descritto da = f1(x ,u ) ⎧x1 = x 2 M Fo (t ) ⎪ θ ⎨x = u cos x1 + g sin x − βx 2 = f (x ,u ) g 2 1 l 2 ⎪⎩ 2 Ml l Ml y = x1 = g (x ,u ) β calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ⎛ ⎡k π⎤ ⎞ nell’intorno dei punti di equilibrio ⎜x = ⎢ ⎥ ,u = 0⎟ ⎝ ⎣0⎦ ⎠ Nell’equazione δ y (t ) = C δ x (t ) + D δu (t ) compaiono: ∂g (x ,u ) C = = ⎡ ∂g ∂g ⎤ = [1 0 ] x = x ⎣∂x 1 ∂x 2 ⎦ u =u x =x ∂x u =u 26 Esempio #2 di linearizzazione (6/6) Dato il sistema (pendolo inverso) descritto da = f1(x ,u ) ⎧x1 = x 2 M Fo (t ) ⎪ θ ⎨x = u cos x1 + g sin x − βx 2 = f (x ,u ) g 2 1 l 2 ⎪⎩ 2 Ml l Ml y = x1 = g (x ,u ) β calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ⎛ ⎡k π⎤ ⎞ nell’intorno dei punti di equilibrio ⎜x = ⎢ ⎥ ,u = 0⎟ ⎝ ⎣0⎦ ⎠ Nell’equazione δ y (t ) = C δ x (t ) + D δu (t ) compaiono: D = ∂g (x ,u ) ∂u x =x u =u = ⎡⎣∂g ⎤⎦ ∂u x =x u =u = [0] 27 Esempio #3 di linearizzazione (1/6) Dato il sistema descritto dal seguente modello ⎧⎪x1(k + 1) = x1(k )u (k ) + x1(k )x 2 (k ) = f1(x ,u ) ⎨ 2 x ( k 1) x ( k ) u ( k ) 3 x (k ) = f 2 (x ,u ) + = − + ⎪⎩ 2 2 2 y (k ) = x1(k )x 2 (k ) = g (x ,u ) calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ⎛ (a ) ⎡0⎤ ⎞ ⎛ (b ) ⎡ c ⎤ ⎞ in ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ e ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ , c ∈ ⎣0⎦ ⎣0.5⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Nell’equazione δ x (k + 1) = Aδ x (k ) + B δu (k ) , ⎡ ∂f1 ∂f1 ⎤ ∂f (x ,u) u +x 2 x1 ⎤ ∂x1 ∂x 2 ⎥ ⎡ ⎢ A= = ∂f ∂f = ⎢⎣ 0 −u +6x 2 ⎥⎦ 2⎥ x =x ⎢ 2 ∂x u =u ⎣ ∂x ∂x ⎦ x =x 1 2 u =u 28 Esempio #3 di linearizzazione (2/6) Dato il sistema descritto dal seguente modello ⎧⎪x1(k + 1) = x1(k )u (k ) + x1(k )x 2 (k ) = f1(x ,u ) ⎨ 2 x ( k 1) x ( k ) u ( k ) 3 x (k ) = f 2 (x ,u ) + = − + ⎪⎩ 2 2 2 = g (x ,u ) y (k ) = x1(k )x 2 (k ) calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ⎛ (a ) ⎡0⎤ ⎞ ⎛ (b ) ⎡ c ⎤ ⎞ in ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ e ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ , c ∈ ⎣0⎦ ⎣0.5⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Nell’equazione δ x (k + 1) = Aδ x (k ) + B δu (k ) , ⎧se x = x (a ) ⇒ A = A(a ) = ⎡0.5 0 ⎤ ⎢⎣ 0 −0.5⎥⎦ ⎪ u +x 2 x1 ⎤ ⎡ A= ⇒ ⎨ ⎢⎣ 0 −u +6x 2 ⎥⎦ ⎪se x = x (b ) ⇒ A = A (b ) = ⎡ 1 c ⎤ ⎩ ⎣⎢ 0 2.5⎦⎥ 29 Esempio #3 di linearizzazione (3/6) Dato il sistema descritto dal seguente modello ⎧⎪x1(k + 1) = x1(k )u (k ) + x1(k )x 2 (k ) = f1(x ,u ) ⎨ 2 x ( k 1) x ( k ) u ( k ) 3 x (k ) = f 2 (x ,u ) + = − + ⎪⎩ 2 2 2 = g (x ,u ) y (k ) = x1(k )x 2 (k ) calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ⎛ (a ) ⎡0⎤ ⎞ ⎛ (b ) ⎡ c ⎤ ⎞ in ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ e ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ , c ∈ ⎣0⎦ ⎣0.5⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Nell’equazione δ x (k + 1) = Aδ x (k ) + B δu (k ) , ∂f1 ⎤ ⎡ ∂f (x ,u) ⎡ x1 ⎤ u ∂ B= =⎢ ⎥ =⎢ ⎥ f ∂ x =x 2 ∂u −x 2 ⎦ ⎣ ⎢ ⎥ x = x u =u ⎣ ∂u ⎦ u =u 30 Esempio #3 di linearizzazione (4/6) Dato il sistema descritto dal seguente modello ⎧⎪x1(k + 1) = x1(k )u (k ) + x1(k )x 2 (k ) = f1(x ,u ) ⎨ 2 x ( k 1) x ( k ) u ( k ) 3 x (k ) = f 2 (x ,u ) + = − + ⎪⎩ 2 2 2 = g (x ,u ) y (k ) = x1(k )x 2 (k ) calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ⎛ (a ) ⎡0⎤ ⎞ ⎛ (b ) ⎡ c ⎤ ⎞ in ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ e ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ , c ∈ ⎣0⎦ ⎣0.5⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Nell’equazione δ x (k + 1) = Aδ x (k ) + B δu (k ) , ⎧se x = x (a ) ⇒B = B (a ) = ⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦ ⎪ ⎡ x1 ⎤ B =⎢ ⎥ ⇒ ⎨ ⎣−x 2 ⎦ ⎪se x = x (b ) ⇒B = B (b ) = ⎡ c ⎤ ⎩ ⎣⎢−0.5⎦⎥ 31 Esempio #3 di linearizzazione (5/6) Dato il sistema descritto dal seguente modello ⎧⎪x1(k + 1) = x1(k )u (k ) + x1(k )x 2 (k ) = f1(x ,u ) ⎨ 2 x ( k 1) x ( k ) u ( k ) 3 x (k ) = f 2 (x ,u ) + = − + ⎪⎩ 2 2 2 = g (x ,u ) y (k ) = x1(k )x 2 (k ) calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ⎛ (a ) ⎡0⎤ ⎞ ⎛ (b ) ⎡ c ⎤ ⎞ in ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ e ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ , c ∈ ⎣0⎦ ⎣0.5⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Nell’equazione δ y (k ) = C δ x (k ) + D δu (k ) , ∂g (x ,u ) C = = ⎡ ∂g ∂g ⎤ = [ x 2 x1 ] ⇒ ⎣∂x 1 ∂x 2 ⎦ ux ==ux x =x ∂x se x = x (a ) u =u ⇒C =C (a ) = [0 0] , se x = x (b ) ⇒C =C (b ) = [0.5 c ] 32 Esempio #3 di linearizzazione (6/6) Dato il sistema descritto dal seguente modello ⎧⎪x1(k + 1) = x1(k )u (k ) + x1(k )x 2 (k ) = f1(x ,u ) ⎨ 2 x ( k 1) x ( k ) u ( k ) 3 x (k ) = f 2 (x ,u ) + = − + ⎪⎩ 2 2 2 = g (x ,u ) y (k ) = x1(k )x 2 (k ) calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato ⎛ (a ) ⎡0⎤ ⎞ ⎛ (b ) ⎡ c ⎤ ⎞ in ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ e ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ , c ∈ ⎣0⎦ ⎣0.5⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Nell’equazione δ y (k ) = C δ x (k ) + D δu (k ) , D = ∂g (x ,u ) ∂u x =x u =u = ⎡⎣∂g ⎤⎦ ∂u x =x u =u = [0] 33