Testo e soluzione CA1

Controlli Automatici 1, 25/6/2010
COGNOME...............................NOME.......................Matr.
a) Si consideri il sistema dinamico descritto dalle equazioni
ẋ(t)
=
4u(t) + x(t) sin (x(t))
y(t)
= u2 (t) − 2x(t)
dove tutte le variabili sono scalari.
a.1) Dopo aver spiegato cosa si intende in generale per variabile di stato,
dire se per il sistema in esame è lecito considerare x come variabile di stato.
R: Sı̀ è lecito. Per la definizione, si veda il libro di testo al Capitolo
2.
a.2) Determinare tutti gli stati e le uscite di equilibrio corrispondenti ad un
ingresso u nullo.
R: Dall’equazione di stato si vede che i punti equilibrio sono la
soluzione di
x sin(x) = 0
ovvero tutti i punti x̄ = kπ, con k intero.
a.3) Scrivere le equazioni del sistema linearizzato nell’intorno del generico
stato di equilibrio.
R:
ż(t) = (sin(x̄) + x̄ cos(x̄))z(t) + 4v(t)
q(t) = −2z(t) + (2ū)v(t)
Sostituendo i valori delle coppie stato-ingresso di equilibrio trovati si
ha
ż(t) = (kπ(−1)k )z(t) + 4v(t)
q(t) = −2z(t)
a.4) Spiegando chiaramente il significato di tutti i simboli che compaiono
nelle equazioni del sistema linearizzato, discutere i limiti di validità di questo
modello approssimato.
R: I valori x̄ e ū rappresentano le coppie di equilibrio, le variabili
z(t) e v(t) rappresentano lo scostamento delle variabili x(t) e u(t) dai
rispettivi valori di equilibrio e il modello riuslta valido per valori sufficientemente piccoli di v(t) e x(t). Si veda il libro di testo al paragrafo
Linearizzazione e stabilità dell’equilibrio di sistemi non lineari.
a.5) Studiare, quando possibile, la stabilità di tutti gli stati di equilibrio
ricavati al punto a.2.
R: È possibili valutare la stabilità del sistema nonlineare a partire dalla sua linearizzazione solo se tutti gli autovalori sono a parte
reale negativa o se almeno un autovalore ha parte reale positiva. Nel
caso in esame, dato che il sistema è scalare, l’autovalore del sistema
linearizzato nei diversi punti di equilibrio è λ = kπ(−1)k e dunque
• Per k = 0 non si può dire nulla riguardo al punto di equilbrio
x̄ = 0;
• Per k pari il punto di equilibrio corrispondente è instabile/as.
stabile per k positivo/negativo;
1
• Per k dispari il punto di equilibrio corrispondente è asintoticamente stabile/instabile per k positivo/negativo.
a.6) Si dica, giustificando, se qualcuna delle linearizzazioni trovate al punto
a.3 può presentare modi oscillanti.
R: No in quanto il sistema linearizzato è sempre del primo ordine
mentre la presenza di modi oscillanti richiede almeno due autovalori
complessi coniugati.
b) Si consideri la funzione di trasferimento
G(s) =
5
(s + 2)(s + 3)
b.1). Si trovi l’espressione analitica della risposta forzata in risposta all’ingresso
u(t) = δ−1 (t)
R:
51 5 1
5 1
5
=
−
+
Y (s) =
s(s + 2)(s + 3)
6s 2s+2 3s+3
Antitrasformando si ottiene
5
5
5
y(t) = δ−1 (t) − e−2t + e−3t
6
2
3
b.2) Si trovi l’espressione analitica della risposta a regime corrispondente
all’ingresso u(t) = 2 sin(10t + π4 ).
R: Dato che il sistema è aasintoticamente stabile, la risposta a
regime vale
y(t) = 2|G(j10)| sin(10t +
π
+ 6 G(j10)
4
con
|G(j10)| = √
5
√
= 0.0470
4 + 100 9 + 100
e
6
G(j10 = −atan(
(2|G(j10)| = 0.0939)
10
10
) − atan( ) = −2.65 rad = −152o
2
3
c) Si consideri un corpo puntiforme di massa m collegato al soffitto mediante
una molla con costante elastica k > 0 e soggetto a una forza esterna agente F che
si somma alla forza peso e alla forza di attrito Fattr linearmente proporzionale
alla velocità secondo il coefficiente di attrito b > 0.
c.1) Si ricavi il modello in forma di stato assumendo come ingresso la forza
agente e come uscita la posizione della massa.
R: Posti x1 e x2 la posizione (con verso dall’alto al basso) e la
velocità del corpo, il modello in forma di stato è
ẋ1
ẋ2
y
= x2
k
x1 −
= −m
= x1
2
b
m x2
+g+
1
mF
c.2) Si calcoli il punto di equilibrio per F = 0 e si determini (eventualmente
in forma implicita) il campo di valori dei parametri del problema per cui il
sistema esibisce modi oscillanti.
R: Per F = 0 il punto di equilibrio è
x̄2 = 0,
x̄1 =
mg
k
Affinche il sistema in esame esibisca modi oscillanti gli autovalori della
matrice di stato devono essere complessi coniugati. Gli autovalori
sono le radici del polinomio caratteristico
φA (λ) = λ2 +
k
b
λ+
m
m
il cui determinante vale
∆=
b2
k
−4
2
m
m
e risulta negativo quando
b2 < 4km
3