Alcuni esercizi risolti su

Alcuni esercizi risolti su:
- calcolo dell’equilibrio di un sistema lineare e valutazione delle proprietà di
stabilità dell’equilibrio attraverso linearizzazione
- calcolo del movimento dello stato e dell’uscita per sistemi lineari
Esercizio 1
Si consideri il sistema non lineare del 2o ordine descritto dalle equazioni

2

ẋ1 = −2x1 + (sen (x1 ) + 1)x2 + 2u
ẋ2 = x2


y = x1
(1)
1.1 Si verifichi che x̄1 = 0, x̄2 = 0 è uno stato di equilibrio associato all’ingresso u(t) = 0,
∀t, per il sistema (1). Si scrivano le equazioni del sistema linearizzato attorno a tale stato di
equilibrio.
Soluzione:
x̄1 = 0, x̄2 = 0 è uno stato di equilibrio per il sistema (1) associato all’ingresso u(t) = 0 perchè
le derivate delle variabili di stato con u posto uguale a 0 sono identicamente nulle quando
x1 = x̄1 e x2 = x̄2 :
(
−2x̄1 + (sen2 (x̄1 ) + 1)x̄2 = 0
x̄2 = 0
Le equazioni del sistema linearizzato attorno all’equilibrio x̄1 = 0, x̄2 = 0 associato all’ingresso
u(t) = 0 sono:
˙ 1 = −2∆x1 + ∆x2 + 2∆u
∆x
˙ 2 = ∆x2
∆x
∆y = ∆x1
1.2 Si verifichi che lo stato di equilibrio x̄1 = 0, x̄2 = 0 associato all’ingresso u(t) = 0 è instabile.
Soluzione:
La matrice dinamica del sistema linearizzato attorno all’equilibrio x̄1 = 0, x̄2 = 0 associato
all’ingresso u(t) = 0 è
·
¸
−2 1
A=
.
0 1
Essa ha autovalori λ1 = −2 e λ2 = 1. Per il criterio degli autovalori, il sistema linearizzato è
instabile.
Inoltre, dato che λ2 = 1 > 0, allora il movimento di equilibrio del sistema non lineare è
instabile.
1.3 Si supponga che venga applicato in ingresso al sistema u(t) = −0.5x2 (sen2 (x1 ) + 1) + v(t).
Si scrivano le equazioni del sistema cosı̀ ottenuto, con ingresso v ed uscita y.
Soluzione:
Sostituendo u(t) = −0.5x2 (sen2 (x1 ) + 1) + v(t) nelle equazioni del sistema (1) si ottengono le
equazioni del sistema:


ẋ1 = −2x1 + 2v
ẋ2 = x2


y = x1
1.4 Si determini il movimento dell’uscita del sistema ottenuto al punto 1.3, quando la condizione
iniziale è x1 (0) = x2 (0) = 0 e v(t) = 1, ∀t ≥ 0.
Soluzione:
Dato che y = x1 basta calcolare l’andamento della variabile di stato x1 (t) risolvendo l’equazione
differenziale:
ẋ1 = −2x1 + 2v,
v(t) = 1, t ≥ 0,
x1 (0) = 0.
La sua soluzione si ricava nel modo seguente
Z t
−2t
x1 (t) = e x1 (0) +
e−2(t−τ ) 2v(τ )dτ = 1 − e−2t , t ≥ 0.
0
Il movimento dell’uscita cercato è quindi
y(t) = x1 (t) = 1 − e−2t , t ≥ 0.
Esercizio 2
Si consideri il sistema non lineare descritto dalle seguenti equazioni:
ẋ1 = −x31 + x1 + x2 + u + 1
ẋ2 = x1 + x2 + u
y = x1 + x2
2.1 Determinare il movimento di equilibrio associato all’ingresso costante u(t) = −1, ∀t, e
scrivere le equazioni del sistema linearizzato attorno ad esso.
Soluzione:
Ponendo a zero le derivate ẋ1 e ẋ2 con u(t) = −1, ∀t si ottiene il sistema di equazioni:
(
−x̄31 + x̄1 + x̄2 = 0
x̄1 + x̄2 − 1 = 0
da cui si ricava lo stato di equilibrio x̄1 = 1, x̄2 = 0. L’uscita di equilibrio corrispondente è
ȳ = 1.
Il movimento di equilibrio dello stato associato a u(t) = −1, ∀t, è
(
x1 (t) = 1
∀t
x2 (t) = 0
Il movimento di equilibrio dell’uscita è y(t) = 1, ∀t.
Le equazioni del sistema linearizzato attorno al movimento di equilibrio calcolato sono
˙ 1 (t) = −2∆x1 (t) + ∆x2 (t) + ∆u(t)
∆x
˙ 2 (t) = ∆x1 (t) + ∆x2 (t) + ∆u(t)
∆x
∆y(t) = ∆x1 (t) + ∆x2 (t)
2.2 Valutare le proprietà di stabilità del movimento di equilibrio calcolato al punto 1.1.
Soluzione:
La matrice dinamica A del sistema linearizzato è:
·
¸
−2 1
A=
1 1
Il polinomio caratteristico di A è: det(λI − A) = λ2 + λ − 3. Gli autovalori di A sono quindi
√
λ1,2 = −1/2 ± 13/2. Dato che uno di essi è a parte reale positiva, allora il movimento di
equilibrio calcolato al punto 2.1 è instabile.
Esercizio 3
Si consideri il sistema lineare descritto dalle seguenti equazioni:
ẋ1 = −2x1 + x2 + u
ẋ2 = −3x2 + 3u
(2)
y = x2
3.1 Determinare l’espressione analitica del movimento dell’uscita del sistema (3) quando l’ingresso applicato è u(t) = 2, t ≥ 0, e x1 (0) = 0, x2 (0) = 1.
Soluzione:
Dato che y = x2 e il movimento della variabile di stato x2 non dipende da x1 , allora basta
risolvere l’equazione differenziale
ẋ2 (t) = −3x2 (t) + 3u(t)
con u(t) = 2, t ≥ 0 e x2 (0) = 1. La soluzione è
Z
y(t) = x2 (t) = e
−3t
+
0
t
e−3(t−τ ) 6dτ = 2 − e−3t , t ≥ 0
Esercizio 4
Si consideri un carrello di massa unitaria (m = 1) che si muove su di una guida rettilinea
orizzontale soggetto ad una forza F , in presenza di una forza di attrito Fa proporzionale alla
velocità del carrello, con costante di proporzionalità α > 0.
La posizione del carrello lungo la guida rettilinea è indicata con s.
4.1 Posto x1 = s e x2 = ṡ, si scrivano le equazioni nelle variabili di stato x1 e x2 del sistema
carrello con ingresso u dato dalla forza F e uscita y data dalla sua posizione s lungo la guida
rettilinea.
Soluzione:
ẋ1 = x2
ẋ2 = −αx2 + u
y = x1
4.2 Posto α = 2, si determini l’espressione analitica del movimento libero dell’uscita del sistema,
a partire dalla condizione iniziale x1 (0) = x2 (0) = 2.
Soluzione:
ẋ1 = x2
ẋ2 = −2x2 + u
y = x1
Calcoliamo prima il movimento libero della componente x2 risolvendo
ẋ2 = −2x2 , x2 (0) = 2.
Si ottiene:
x2 (t) = 2e−2t , t ≥ 0.
Sostituiamo questa espressione nell’equazione
ẋ1 = x2
ottenendo l’equazione che governa l’evoluzione di x1
ẋ1 (t) = 2e−2t , x1 (0) = 2
Risolvendo questa equazione differenziale si ottiene:
Z t
x1 (t) =
2e−2τ dτ + 2 = 3 − e−2t , t ≥ 0,
0
da cui
y(t) = x1 (t) = 3 − e−2t , t ≥ 0.
Esercizio 5
Si consideri il sistema descritto dalle seguenti equazioni:
ẋ1 = −x51 − 2x1 + x2 + u
ẋ2 = x51 − x2 − u
y = x1
5.1 Dire, motivando la risposta, se il sistema è lineare o non lineare, statico o dinamico, proprio
o improprio.
Soluzione:
Il sistema è:
non lineare, perchè il secondo membro delle equazioni di stato non è una combinazione lineare
delle variabili di stato e dell’ingresso.
dinamico, perchè l’uscita al generico istante t non può essere determinata sulla base della
conoscenza del solo ingresso allo stesso istante t.
proprio, perchè nella trasformazione di uscita non compare l’ingresso.
5.2 Determinare il movimento di equilibrio associato all’ingresso costante u(t) = 2, ∀t, e scrivere
le equazioni del sistema linearizzato attorno ad esso.
Soluzione:
Il valore dell’equilibrio si ottiene uguagliando a zero il secondo membro delle equazioni di stato
calcolati ponendo x1 (t) = x̄1 , x2 (t) = x̄2 e u(t) = 2, ∀t.
(
−x̄51 − 2x̄1 + x̄2 + 2 = 0
x̄51 − x̄2 − 2 = 0
da cui si ottiene
(
x̄1 = 0
x̄2 = −2
Le equazioni del sistema linearizzato sono:
˙ 1 = −2∆x1 + ∆x2 + ∆u
∆x
˙ 2 = −∆x2 − ∆u
∆x
y = x1
5.3 Dire se è possibile valutare le proprietà di stabilità del movimento di equilibrio calcolato
al punto 5.2 tramite l’analisi di stabilità del sistema linearizzato corrispondente.
Soluzione:
La matrice dinamica del sistema linearizzato è
¸
·
−2 1
A=
0 −1
Gli autovalori di A sono reali negativi. Questa è condizione sufficiente per concludere che il
movimento di equilibrio è asintoticamente stabile.
Esercizio 6
Si consideri il sistema lineare descritto dalle seguenti equazioni:
ẋ1 = −10x1 − x2 + u
ẋ2 = −x2 + u
(3)
y = x1
6.1 Determinare l’espressione analitica del movimento dell’uscita del sistema (3) quando l’ingresso applicato è u(t) = 3, t ≥ 0, e x1 (0) = 2, x2 (0) = 3.
Soluzione:
La seconda equazione di stato non dipende dalla prima. x̄2 = 3 è il valore di equilibrio di x2
associato a u(t) = 3, ∀t. Il movimento di x2 associato a u(t) = 3, t ≥ 0, e x2 (0) = 3 è quindi
x2 (t) = 3, t ≥ 0. Sostituito nella prima equazione con u(t) = 3, t ≥ 0, si ha
ẋ1 = −10x1 .
Il movimento di x1 è quindi il movimento libero associato a x1 (0) = 2, cioè
x1 (t) = 2e−10t , t ≥ 0.
Dalla trasformazione di uscita segue:
y(t) = 2e−10t , t ≥ 0.