1 Numeri complessi

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Numeri complessi
Esercizio 1.1 (a) Calcolare il valore della seguente espressione
√ !11 −6
1
3
1
1
2+i
+i
+ √ −i√
−
2
2
2i
2
2
(b) Determinare il valore di a in modo che il polinomio P (z) = z 3 − z 2 + z +
1 + a abbia radice z = −i. Per questo valore di a decomporre in fattori
irriducibili P (z) in R e in C.
4
Esercizio 1.2 (a) Si determini la
√soluzione z = x + iy dell’equazione z + (1 −
i)z 2 = i che soddisfa y = x2 2.
√
(b) Calcolare z, z · z, 1/z e le radici cubiche di z = 1 − i 3.
Esercizio 1.3 (a) Determinare Re(z), Im(z), z, |z| con z
1 + 3i
1+i
(−1 + 3i)−1 ,
1 − 2i
.
1 + i3
e
(b) Determinare le radici cubiche di −8. Successivamente determinare la decomposizione reale e complessa del polinomio z 3 + 8.
Esercizio 1.4 (a) Risolvere le seguenti equazioni nei numeri complessi
i z 5 + 1 = 0,
2Re(z(1 + i)) + z cot z = 0,
z|z|2 − i4z = 0.
e
(b) Trovare x, y ∈ R tali che
(−5 − 7i)x + (−1 + 2i)y = 2 +
48
i
5
e
(9 + 7i)x + (6 + 8i)y = −12 − 26i.
Esercizio 1.5 (a) Calcolare le radici cubiche di z = 2(i − 1). Determinare
inoltre z, 1/z, z · z.
(b) Studiare la seguente equazione in C
|z|z 2 + Re(z)Im(z) − |z|2 z = 0.
Esercizio 1.6 (a) Risolvere la seguente equazione in campo complesso
|z − 1| + i|z| = |z − i| + i
e
z 4 − 1 − i = 0.
√
(b) Dato il numero z = 2 3 − 2i, calcolare |z|, 1/z, z, esprimere z in forma
trigonometrica e calcolare z 6 .
Esercizio 1.7 (a) Si determinino le soluzioni dell’equazione z 4 + (1 − i)z 2 = i
che soddisfano Im z < 0.
1
(b) Trovare le soluzioni complesse della seguente equazione:
(|z − 2i| − 1)(z · z − 2Rez + z 2 ) = 0.
Esercizio 1.8 Dato il numero complesso
z=
(i − 1)11
(i + 1)7
(a) Scrivere z in forma trigonometrica e in forma algebrica.
(b) Trovare le radici quarte di z.
Esercizio 1.9 Dato il numero complesso
√
z = (1 + i 3)5
√
i
3
−
2
2
!
(a) Scrivere z in forma trigonometrica e in forma algebrica.
(b) Calcolare le radici quinte di z e rappresentarle sul piano complesso.
√
√
√
Esercizio 1.10 Dati i numeri complessi z = 3 − i e w = 4 2 + 4 2i
(a) scriverli in forma trigonometrica e in forma algebrica;
(b) calcolare zw,
z
w
e
1
z;
(c) calcolare z 3 e scriverlo in forma algebrica;
(d) calcolare le radici terze di w.
Esercizio 1.11 Al variare del parametro α ∈ R, risolvere (quando possibile)
nel campo complesso l’equazione z = |z|2 + iα.
Esercizio 1.12 Sia α ∈ R e
Sα := {z ∈ C : zz + (−1 + i)z + (−1 − i)z + α < 0}.
Dire per quali α risulta che Sα non è vuoto e disegnarlo.
Esercizio 1.13 Risolvere le seguenti equazioni in campo complesso:
z 2 + (1 − i)z − i = 0
e
z2 − z = 0
Esercizio 1.14 Risolvere l’equazione z = 3Rez − z + z 2 − |z|.
√
√
Esercizio 1.15 Sia z = i + 3. Calcolare z −8 , (zz)2 , z + z, 4 z.
Esercizio 1.16 Determinare la decomposizione reale e complessa del seguente
polinomio
√
z 5 + 9 3.
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