Ogni fregio al suo posto - Matematica e Applicazioni

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Quando camminiamo (in linea retta!) lungo una spiaggia, le nostre orme lasciano sulla sabbia una traccia costituita da un disegno che si ripete periodicamente in una sola direzione. La matematica chiama “fregio” un disegno di questo tipo, in cui esiste una traslazione del piano che trasforma
il fregio in se stesso (e tutte le altre traslazioni che fissano il disegno provengono
semplicemente dalla iterazione di una traslazione-base).
E quindi, a ben vedere, già il nostro esempio non è del tutto corretto: perché si possa dire che si tratta di un fregio, infatti, dobbiamo avere la fantasia necessaria per immaginare che le orme continuino a ripetersi indefinitamente nella direzione di traslazione.
Non sono fregi le figure della scheda Ogni rosone al suo posto per le quali non c’è una traslazione che fissa il disegno (e non è un caso: non può esserci una tale traslazione per un qualsiasi disegno che rappresenti una figura limitata del piano); ma non sono fregi nemmeno le figure delle schede Come si trova l’intruso e Mosaici, per le quali le traslazioni che fissano
il disegno sono “troppe”: non soltanto tutte le iterazioni di una data traslazione, ma anche due diverse e in direzioni indipendenti.
I fregi sono molto comuni in architettura e basta guardarsi intorno per osservarne una grande varietà: come “metterli in ordine” dal punto di vista della simmetria? Dato che per ognuno di essi c’è una traslazione che fissa il disegno, la diversità dei loro tipi di simmetria si basa sulle altre (eventuali) trasformazioni che (oltre alla traslazione-base) fissano il disegno.
Lo schema di simmetria del fregio delle orme è dato dalla ripetizione di una
glissoriflessione, cioè dalla combinazione di una riflessione che manda l’orma destra nell’orma sinistra con uno spostamento che fa avanzare di un passo. Iterando due volte questa trasformazione si ottiene una traslazione (quella che fa avanzare di due passi): è la traslazione-base che fissa il disegno.
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È lo stesso schema di simmetria che si ritrova in
questa cancellata in piazza dei Mercanti, dove
ogni spirale va nella successiva con una riflessione (che manda la spirale che si avvolge in un verso in una che si avvolge nel verso opposto) seguita da una traslazione.
Il fregio che disegniamo sulla sabbia saltando su
un piede solo sempre nella stessa direzione ha uno
schema di simmetria diverso dal primo che abbiamo visto, poiché si passa da ciascuna orma alla successiva compiendo soltanto sempre la stessa traslazione, e, oltre alle traslazioni, non ci sono altre trasformazioni che fissano il disegno. Si
tratta dello stesso schema di simmetria che troviamo, ad esempio, in questa immagine.
Il fregio che otteniamo saltando a piè pari ha un tipo di simmetria che è ancora differente: c’è una traslazione (che fa passare dalle orme lasciate da un
salto a quelle lasciate dal salto successivo), ma c’è anche una riflessione, rispetto a una retta parallela alla traslazione, che scambia le orme destre con
le orme sinistre: è lo stesso schema che incontriamo nell’anello centrale della base di questa colonna in via Meravigli.
L’anello superiore della stessa colonna offre un
esempio di un altro tipo di simmetria di fregio in
cui, oltre alla traslazione, sono presenti delle riflessioni (non una sola, ma infinite!) rispetto a rette perpendicolari alla direzione di traslazione.
Anche questo fregio si potrebbe ottenere saltellando,
ma occorre un tipo di salto meno naturale: bisognerebbe saltare, a piè pari, e di traverso, ossia in
una direzione ortogonale alla direzione dei piedi.
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Nei restanti schemi di simmetria sono presenti, oltre alle traslazioni, rotazioni di 180°.
Nell’anello inferiore della base della stessa colonna vediamo l’esempio di un fregio in cui ci
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sono solo rotazioni e traslazioni che fissano il disegno, mentre in quest’altro fregio,
che rappresenta uno schema pure molto comune, sono presenti oltre a rotazioni e traslazioni, anche riflessioni
(sia una riflessione rispetto a un asse parallelo al
vettore di traslazione, sia infinite riflessioni rispetto a assi ortogonali a questo vettore). Infine in
questo esempio sono presenti, oltre a traslazioni e rotazioni, infinite riflessioni rispetto a assi ortogonali al vettore di traslazione, e anche infinite glissoriflessioni.
Abbiamo così descritto sette possibili schemi per il tipo di simmetria di un
fregio: in realtà questi sono i SOLI possibili casi. Ovvero qualunque fregio
rientra, dal punto di vista della simmetria, in uno di questi sette casi.
Questo fatto può risultare sorprendente, ma non è difficile rendersi conto per
lo meno di alcune delle motivazioni di tale risultato. Ad esempio, se un fregio è fissato da una rotazione, questa rotazione deve essere necessariamente
di 180°, altrimenti si verrebbe a formare un’altra traslazione, in direzione
diversa dalla traslazione-base, che fissa il disegno. E, analogamente, se c’è
una riflessione che fissa il disegno di un fregio questa deve essere necessariamente rispetto a una retta che sia o perpendicolare o parallela alla direzione della traslazione che fissa il disegno.
Tali affermazioni non bastano a giustificare il fatto che i fregi sono solo sette, ma sono sufficienti a
dare un’idea del tipo di vincoli che stanno alla base di questo risultato.
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