simmetria tra matematica e arte
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simmetria tra matematica e arte
SIMMETRIA TRA MATEMATICA E ARTE: Una proposta culturale al Casinò di San Pellegrino Terme Franca Rossetti – Mariella Crotti - Mathesis di Bergamo Settembre 2008 Premessa L’idea di questa presentazione è frutto della nostra precedente esperienza alla Summer school di S.Pellegrino, in qualità di uditrici. La visita guidata al Casinò, parte integrante della manifestazione culturale dello scorso anno, ci ha, infatti dato modo non solo di ammirare l’insieme armonioso delle decorazioni dei vari ambienti, ma anche di riflettere sulla opportunità di offrire ai nostri studenti l’occasione di “scoprire” la presenza della matematica in ambiti inusuali, in particolare quello artistico. Dell’idea, maturata in tanti anni di lavoro, che la matematica non vada proposta solo tramite formule e teoremi, abbiamo pensato di proporre un breve itinerario, tra matematica e arte, che vuole essere semplicemente lo spunto per affrontare, in sede scolastica, un argomento curriculare, a nostro avviso, spesso trascurato: le “Trasformazioni geometriche nel piano”. Ecco, dunque, la nostra proposta… La nostra proposta culturale, rivolta a studenti e docenti, riguarda, dunque, la visita al casinò, straordinario esempio di costruzione architettonica in stile Liberty dei primi del ‘900, tra le più interessanti in Europa. Progettato e costruito in soli 23 mesi venne inaugurato nel 1907 con la denominazione di Gran kursaal Kursaal : complesso architettonico di varia destinazione (stabilimento • • termale,albergo,casinò) direttamente conciliabile con il concetto di mondanità. La stampa locale così lo descrive: “…costruzione maestosa, imponente, armonica, squisitamente artistica e superbamente bella…di cui è difficile descriverne i volumi, le linee rette e curve, gli angoli, i toni di luce, i riflessi delle tinte, le forme delle colonne, le volute, i motivi decorativi, le sculture, le pitture…”. Fausto Greco giornalista per l’occasione. Espressione dell’ ART NOUVEAU, questo fenomeno culturale si diffuse, con varianti locali, tra la fine dell’ ‘800 e l’inizio del ‘900 in tutti quei Paesi, europei ed americani che avevano raggiunto un certo livello industriale. Si manifestò nell’urbanistica, nell’edilizia, nell’arredamento, nell’arte figurativa e decorativa e… persino nell’abbigliamento, come nuovo gusto della borghesia emergente. Caratteristiche: •Funzionalità unita all’ornamento (l’utile e il bello) •Ricorso a tematiche naturalistiche •Impiego di motivi decorativi ispirati all’arte giapponese •Preferenza per decorazioni impostate sulla curva e le sue varianti (spirale, volute, colpo di frusta…) •Ricorso alla simmetria e contemporaneamente alla sua rottura nella ricerca di “ritmi musicali” espressi da andamenti ondulati e sinuosi. •Comunicazione di un senso di leggerezza, elasticità, ottimismo. …Qualche nota sul Liberty… Cominciamo con l’osservare un particolare della facciata: Lo stile che trionfa è un Liberty ricercato apparso a San Pellegrino tra la fine dell’800 e i primi del ‘900 quando il paese rappresentava un luogo di villeggiatura alla moda, anticonvenzionale, rivolto alla nuova borghesia imprenditoriale che aveva scoperto il piacere di “ passare le acque”. foto L’enfasi nelle decorazioni, espressa dal ricorso ad una commistione di stili, rende questa costruzione veramente particolare con caratteristiche che la distingueranno anche a livello europeo. Ma, a proposito di passare le acque… Passare le acque La simmetria assiale è evidentemente presente non solo negli stucchi decorativi sovrastanti porte e finestre ma, anche, nelle rifiniture in ferro battuto che completano le sopraelevazioni laterali e la parte superiore del corpo centrale, ricco di volute e spirali per alleggerire il peso della costruzione. >Foto con arredi< Ammirandone l’architettura, le decorazioni, gli arredi è, possibile non solo apprezzare artisticamente la costruzione nel suo insieme (data la presenza di differenti stili armoniosamente composti) ma anche riflettere sugli aspetti matematici più o meno palesi richiamati dall’architettura, dai fregi,dai ferri battuti, dalla planimetria e dagli arredi. La MATEMATICA è, dunque, celata, ma presente già in questa prima osservazione di insieme contribuendo a creare quel senso del bello che ci appaga lo sguardo perché... “LA SIMMETRIA è, infatti, prima di tutto una proprietà estetica!!” Ma, cos’è la simmetria? E come si è evoluto il concetto nel tempo? Qualche nota introduttiva: Le origini di questo concetto si perdono nel tempo; ad esempio nella Grecia antica era legato ai concetti di “proporzione” e “armonia” e tale rimase fino a tutto il rinascimento. All’inizio dell’era moderna, però, alla nozione antica se ne contrappose una Fondata non più su rapporti di proporzione, ma su un rapporto di uguaglianza tra le parti di una figura. Questo passaggio è molto importante perchè la nuova nozione permette la Notazione scientifica delle classificazioni dei vari tipi di simmetria. Il concetto che sta alla base delle classificazioni è quello di gruppo dovuto a Evariste Galois (1811-1832) che lo intuì a proposito della classificazione delle equazioni algebriche risolubili per radicali. Solo più tardi questo concetto fu ripreso e trasferito in ambiti diversi… Si definisce gruppo un insieme G, di operazioni di simmetria, con una operazione di composizione (o prodotto, indicata con o) tale che per ogni elementi g1 e g2 appartenenti a G valgono le seguenti proprietà: a)g1 o g2 ( si legge g1 composto a g2) appartiene ancora a G (proprietà di chiusura) b)Per tutti i g1,g2,g3 che appartengono a G vale: g1 o (g2 o g3) = (g1 o g2) o g3 (proprietà associativa). c)Esiste un elemento e (identità o elemento neutro) tale che per ogni elemento g1 che appartiene a G si ha: g1 o e = e o g1 = g1 d)Per ogni elemento g1 che appartiene a G esiste un unico inverso, indicato con g1-1 che appartiene a G tale che: g1 o g1-1= g1-1 o g1 = e Lo sviluppo del linguaggio per esprimere la simmetria fu invece inventato da un inglese verso la metà del 19° secolo. Non si trattava di un matematico di professione, bensì di un avvocato londinese di successo, Arthur Cayley, che esercitava a Lincoln’s Inn Fields. Il suo talento lo portò a scorgere quell’ idea astratta che si nascondeva dietro il lavoro di Galois, che Aveva letto nella lingua originale! Cayley, infatti, fu in grado di articolare la grammatica del linguaggio della teoria dei gruppi che sta alla base degli esempi utilizzati da Galois. Ma le scoperte di Cayley furono apprezzate solo in un successivo momento!!! APPROFONDIAMO ORA ALCUNI CONCETTI DAL PUNTO DI VISTA MATEMATICO TRASFORMAZIONI Rotazioni,traslazioni,simmetrie, nel significato corrente suggeriscono l’idea di un movimento che verrà effettuato dalla figura, ma matematicamente non è così. In effetti le figure non si muovono. Le trasformazioni individuano una corrispondenza tra punti del piano. TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Sono operazioni che fanno passare da un punto P(x,y) ad un altro punto P’(x’,y’) collocato sullo stesso piano. Se le trasformazioni sono corrispondenze biunivoche vuol dire che, considerate le figure come insiemi di punti nel piano, ad ogni punto della prima figura deve corrispondere uno ed uno solo punto della seconda figura. Vedremo ora nel dettaglio alcune trasformazioni: TRASFORMAZIONE IDENTICA Fa corrispondere ad ogni punto il punto stesso Fa corrispondere alla figura la figura stessa P’(x’,y’) = P(x,y) SIMMETRIA ASSIALE La simmetria rispetto ad una retta r è la trasformazione che fa corrispondere ad un punto P del piano il punto P’ in modo tale che la retta r sia asse del segmento PP’. • La simmetria assiale, di asse r, è la trasformazione del piano in sé che ad ogni punto del piano associa il suo simmetrico rispetto alla retta r. • In una simmetria assiale, tutti i punti dell’asse di simmetria sono punti uniti nella trasformazione. • Una simmetria assiale conserva l’allineamento fra punti, la distanza ed il parallelismo. • In un riferimento cartesiano ortogonale le equazioni di una simmetria assiale sono le seguenti: SIMMETRIA RISPETTO ALL' ASSE DELLE x * x' x ) ( y' ' y con linguaggio delle matrici & x' # $ y '! % " W &1 0 # & x # $0 ' 1!·$ y ! % "% " MX · V dove M x è la matrice di riflessione rispetto all' asse x Simmetria rispetto all’asse delle y * x' ' x ) ( y' y con linguaggio delle matrici & x' # $ y '! % " W &' 1 0 # & x # $ 0 1!·$ y ! "% " % My · V dove M y è la matrice di riflessione rispetto all' asse y SIMMETRIA RISPETTO ALLA RETTA y=h * x' x ) ( y ' ' y + 2h SIMMETRIA RISPETTO ALLA RETTA x h * x ' ' x + 2h ) ( y' y SIMMETRIA RISPETTO ALLA RETTA y x * x' y ) ( y' x SIMMETRIA RISPETTO ALLA RETTA y 'x * x' ' y ) ( y' ' x SIMMETRIA RISPETTO ALLA RETTA r DI EQUAZIONE : y * 1 ' m2 2m 2mq + ' y x ,, x' 1 + m2 1 + m2 1 + m2 ) 2m 1 ' m2 2q , y' + ' y x ,( 1 + m2 1 + m2 1 + m2 mx + q • Se si indica con l’angolo orientato che la retta y = mx + q forma con l’asse delle x, essendo il coefficiente angolare di una retta uguale alla tangente dell’angolo che la retta forma con l’asse delle x, nel sistema (1) i coefficienti delle x e delle y formano la matrice &cos 2- sen2- # $sen2- - cos 2- ! % " con linguaggio delle matrici : & x'# &cos 2- sen2- # & x # $ y'! $sen2- - cos 2- ! · $ y ! % " % " % " W Mr · V dove M r è la matrice di riflessione rispetto all' asse r • SIMMETRIA CENTRALE • Due punti A e B si dicono simmetrici rispetto ad un punto O se O è il punto medio del segmento AB. • La SIMMETRIA CENTRALE, rispetto ad un punto O detto CENTRO, è la trasformazione del piano in sé che ad ogni punto A del piano associa il suo simmetrico A’ rispetto al punto O. • Una simmetria centrale è il prodotto di due simmetrie assiali con assi perpendicolari. • In un riferimento cartesiano ortogonale, le equazioni di una simmetria centrale sono le seguenti: SIMMETRIA RISPETTO ALL' ORIGINE O(0,0) *x' - x ) ( y' - y e con il ilnguaggio delle matrici : & x'# &- 1 0 # & x # $ y'! $0 - 1! · $ y ! " % " % " % W M xy · V dove M xy è la matrice della simmetria centrale. SIMMETRIA RISPETTO AL PUNTO (a; b) : *x' - x + 2a ) ( y' - y + 2b Riprendiamo la nostra visita al CASINO’ e cerchiamo di scoprire alcune trasformazioni. La simmetria nel Liberty è spesso accompagnata da una serie di ornamenti in cui prevalgono le linee ondulate, le spirali e le stilizzazioni geometriche di ispirazione floreale, il tutto in un insieme che ci appare ordinato, proporzionato, armonioso, equilibrato, molto gradevole! come in questa vetrata di Giovanni Beltrami che illumina una sala del piano superiore. Le linee ondulate fanno pensare ad un percorso teorico e/o sperimentale relativo al mondo delle curve, da sempre fonte di notevoli ispirazioni per i matematici. Pensiamo, ad esempio, alle spirali: Archimedea, di Fermat Iperbolica E, in particolare, alle loro equazioni e alle loro affascinanti rappresentazioni grafiche a cui certamente si è ispirato Alessandro Mazzucotelli quando ha realizzato il pennone della facciata del casinò e gli imponenti lampadari delle sale. Logaritmica LA MATEMATICA, ineludibile presenza, si insinua dunque, nell’arte anche con la rivalutazione di curve che, spesso sinuose e avvolgenti, sembrano avere lo scopo di “rompere” gli schemi della simmetria e della proporzione senza, tuttavia, turbare quell’ equilibrio di insieme di cui si è parlato prima. Quindi: “Simmetria e rottura della stessa!” si compongono in un binomio quasi complementare, come in questo pannello ligneo che introduce alle sale del primo piano. Le sale del piano superiore sono raggiunte varcando la soglia del vestibolo dove si resta stupiti di fronte alla maestosità dello scalone. La simmetria assiale è ancora presente ed enfatizzata nei fregi dei bassorilievi/altorilievi delle balaustre che ci portano a riflettere sui significati di traslazione, rotazione, “trasformazioni nel piano”. Dall’imponente scalone si accede al salone delle feste sul cui soffitto si possono ammirare le quattro allegorie delle virtù: speranza, giustizia, solidarietà, verità che circondano la primavera, in vetro colorato. Osservando questa vetrata, che coniuga decorazione floreali con elementi geometrici, non si può fare a meno di pensare, per certi versi, alle “tassellazioni del piano”. Facendo riferimento alla tassellazione, dal punto di vista geometrico, ad esempio, si può ricordare che: una tassellazione del piano euclideo è una collezione di poligoni che godono di alcune proprietà. I poligoni si chiamano Facce della tassellazione, i loro lati si dicono Spigoli, i loro vertici si dicono Vertici della tassellazione. Proprietà: -L’unione delle facce ricopre il piano. -Date 2 facce si verifica una delle seguenti proprietà: •Sono disgiunte(prive di punti in comune) •Hanno in comune uno spigolo •Hanno in comune un vertice. -Ogni vertice appartiene ad un numero finito di facce. Ci potremmo chiedere che tipo di tassellazione sia quella che si intravede nella figura accanto ossia se ammetta o meno simmetria di traslazione o altre caratteristiche effettuando collegamenti con un capitolo assai moderno della matematica. Trascurando le tassellazioni, è possibile, comunque, ritrovare riflessioni orizzontali e verticali. Continuiamo la nostra visita ammirando i medaglioni che riproducono le quattro virtù del salone da gioco: LA VERITA’ LA GIUSTIZIA LA SOLIDARIETA’ LA SPERANZA La nostra visita prosegue nel salone da gioco, i cui balconi ci offrono, ancora, l’opportunità di ammirare simmetria assiale, fregi nei bassorilievi e decorazioni Liberty in ferro battuto che sono un elogio al mondo delle curve. La parola “fregio”, in matematica, indica una figura piana il cui gruppo di simmetria (l’insieme di quelle trasformazioni del piano che lasciano invariate le distanze e mutano la figura in sé stessa) contiene delle traslazioni in un’unica direzione e, tutte multiple, di una traslazione base come possiamo ammirare, ad esempio, in queste decorazioni della facciata. Fregio policromo sottostante il pennone…? Vediamo ora alcuni dettagli dal punto di vista matematico FREGIO In matematica si chiama fregio un disegno peri il quale esiste una traslazione del piano che trasforma il fregio in se stesso e tutte le altre traslazioni che fissano il disegno provengono semplicemente dalla iterazione di una traslazione base. I fregi sono molto comuni in architettura. Si può provare che: • le rotazioni che fissano il fregio sono necessariamente di 180° •le riflessioni che fissano un fregio hanno necessariamente l’asse parallelo oppure perpendicolare alla direzione di traslazione. Questi vincoli giustificano l’esistenza di soli 7 possibili schemi per il tipo di simmetria di un fregio. Fregi Fregi: costituiscono un gruppo infinito di motivi ripetuti che contengono traslazioni in una sola direzione. Esistono SETTE tipi di fregi. A titolo di esempio possiamo cercare di riconoscere a quale gruppo, tra i sette possibili, appartiene tale fregio applicando conoscenze e competenze che derivano dallo studio delle Isometrie… Isometria Un’isometria del piano è una corrispondenza biunivoca del piano in sé tale che: •ad ogni punto P corrisponde un punto P’ del piano. •tutte le misure (lunghezze, ampiezze, aree) rimangono invariate. Tra le isometrie distinguiamo: •le isometrie invertenti che modificano l’orientamento dei punti del piano come la simmetria assiale. •le isometrie dirette che non modificano l’orientamento dei punti del piano come l’identità, la traslazione, la rotazione, la simmetria centrale. L’insieme delle isometrie del piano, con definita al suo interno l’operazione di composizione, forma un gruppo. Vi sono poi i sottogruppi: •delle traslazioni (identità è la traslazione di vettore nullo, l’inversa è la traslazione di vettore con verso opposto). •delle rotazioni con lo stesso centro( identità è la rotazione con angolo nullo, l’inversa è la rotazione con segno opposto). Matematicamente una figura può avere: Lucernario della sala al primo piano - Riflessione Verticale e Orizzontale. CURIOSITA’ La riflessione gioca un ruolo centrale nelle isometrie. Facciamo un esempio Le impronte dei piedi di un soldato sull’attenti sono simmetriche perché legate da una riflessione. Se il soldato effettua un fianco-destro o un fianco-sinistro senza spostarsi, le impronte dello stesso piede sono legate da una rotazione Se, invece, il soldato è in marcia le impronte dello stesso piede sono legate da una traslazione e, quelle di piedi diversi da una glissoriflessione. Iterando due volte questa trasformazione si ottiene una traslazione che fa avanzare di due passi: È la traslazione base che fissa il disegno!!! LA GLISSORIFLESSIONE La glisoriflessione è una trasformazione ottenuta combinando due diverse isometrie: la riflessione rispetto ad un asse r e la traslazione nella direzione dell’asse stesso. Quando r coincide con l' asse x si passa da P(x; y) a P' (x' ; y' ) col sistema : * x' x + a ) ( y' - y e con il linguaggio delle matrici si ha : & x'# $ y'! % " W &1 0 # $0 - 1! · % " Mx · &x # $y! + % " V + &a # $0 ! % " h con h . 0 LA TRASLAZIONE Chiamiamo traslazione una trasformazione geometrica in cui due punti si corrispondono se il segmento che li unisce è congruente ed equiverso ad un segmento orientato assegnato, detto vettore di traslazione. Una traslazione può essere vista come la composizione di due simmetrie assiali con assi paralleli. Una traslazione non ha punti uniti. In un riferimento cartesiano ortogonale le equazioni di una traslazione qualsiasi che fanno corrispondere al punto P(x,y) il punto P’(x’,y’) hanno la forma: * x' x + a con a, b numeri reali ) ( y' y + b e con il linguaggio delle matrici si ha : &a # &x # $ y ! + $b ! % " % " V + h con h . 0. Il valore h fornisce la direzione ed il verso del vettore traslazio ne; il suo modulo equivale alla distanza PP'. & x' # $ y' ! % " W Utilizzando la matrice identica: & x'# $ y'! % " W &1 0# & x # &a # · + $0 1! $ y ! $b ! % " % " % " I · V + h con h . 0 ROTAZIONE RISPETTO AD UN PUNTO R(0, ) • Si dice rotazione di centro O e ampiezza , assegnati, la trasformazi0one che mantiene fissa il punto O, detto CENTRO, e associa ad ogni punto P del piano distinto da O un punto P’ tale che la distanza OP sia uguale alla distanza OP’ e che l’angolo P’O^P sia congruente ad . • L’angolo può essere positivo o negativo e può assumere ogni valore reale. Per convenzione il verso DIRETTO (o positivo) è quello ANTIORARIO, che chiamiamo anche verso TRIGONOMETRICO. Un angolo di rotazione dato senza segno è da considerarsi in senso antiorario (diretto), mentre se è preceduto dal segno “meno” la rotazione è di verso contrario. • La rotazione di un angolo giro, o la composizione di due rotazioni di uguale ampiezza, ma di verso opposto,. conduce a considerare la trasformazione identica del piano come una rotazione di ampiezza nulla. • La rotazione è una isometria diretta, cioè due figure che si corrispondono per rotazione hanno la stessa orientazione. • Il solo punto che corrisponde a se stesso è il punto O che coincide con il proprio trasformato: esso è il punto unito della rotazione. • ROTAZIONE INVERSA. Sia data la rotazione r(O; ) Il centro di rotazione O è il solo punto del piano unito della rotazione data. La rotazione di centro O e di angolo - è la rotazione inversa della rotazione r e viene indicata con r-1 • Una rotazione qualunque, composta con la sua inversa, ridà il punto iniziale:si ha dunque nel piano ! : r o r-1 = r-1 o r = I! In un sistema di riferimento ortogonale, xOy, le equazioni di una rotazione con centro nell'origine sono : * x' x cos- - y sen) (y' x sen- + y cosdove - //è l' ampiezza della rotazione. La matrice ortogonale : &cos- - sen- # $sen- cos- ! si chiama matrice di rotazione. " % e con il linguaggio delle matrici si ha : & x'# $ y'! % " W &cos- - sen- # & x # $sen- cos- ! · $ y ! " % " % M· V dove M- è la matrice di rotazione. OSSERVAZIONE La simmetria centrale può essere vista anche come una rotazione attorno all' origine di ampiezza - 1800 ROSONI • In matematica la parola “Rosone” indica una qualunque figura piana per la quale c’è un solo numero finito di isometrie che fissano il disegno. A seconda della loro forma si distinguono in: • Gruppi Ciclici: non hanno asse di simmetria, contengono solo rotazioni di angoli sottomultipli dell’angolo giro. • Gruppi Diedrali: contengono non solo rotazioni, ma anche riflessioni; hanno almeno un asse di simmetria. • I rosoni non contengono traslazioni. • Nei rosoni le rotazioni e le riflessioni che fissano il disegno sono in ugual numero; viene cioè definita una corrispondenza biunivoca tra le rotazioni e le riflessioni che fissano il disegno. • Qualunque sottogruppo finito di isometrie del piano è un gruppo. Che tipo di rosone è quello che decora il soffitto del salone di ingresso del Casinò? MOSAICO Con la parola mosaico, in matematica, si indica un disegno piano che si ripete periodicamente in più di una direzione, cioè un disegno per il quale ci sono due traslazioni del piano,in direzioni indipendenti, che lo lasciano fisso. Dobbiamo immaginare i mosaici matematici indefinitamente estesi, al di là del foglio di carta, della parete o del pavimento. Ne esistono DICIASSETTE tipi diversi. La visita al Casinò non può, tuttavia, concludersi senza un cenno ai movimenti matematici che hanno caratterizzato la Bell’ époque e, in particolare, a qualche nota sulla simmetria, oggetto di questo rapido itinerario tra matematica e arte. La Matematica al tempo della Belle Epoque Verso la fine dell’ ‘800 viene riconosciuto da tutti gli intellettuali che la matematica è una creazione della mente umana; dunque una forma di pensiero assiomatico in cui, a partire da premesse arbitrarie, si traggono conclusioni valide. La frase provocatoria di B.Russell(1901) : “LA MATEMATICA È QUELLA DISCIPLINA IN CUI NESSUNO SA DI COSA SI PARLI, NE SE CIÒ CHE DICE SIA VERO” esprime la situazione di allora:Russel identificava, infatti, la matematica con la logica, mentre Sylvester propendeva per la concezione intuizionista respingendo la tendenza alla formalizzazione di Boole, Dedekind e Peano. Ma, c’era anche chi, come Kronecker, propugnava una aritmetizzazione estrema considerando i numeri interi come dotati di un significato stabilito da Dio. Dunque, all’inizio del ‘900, tra i matematici non c’era uniformità di pensiero. La figura di transizione più importante è quella di H. Poincaré(1854-1912) a cui va, tra l’altro, il merito di avere anticipato quel grande interesse per la topologia che caratterizzerà gli anni a venire. La nascita di questa disciplina(nonostante il termine fosse già stato coniato nel 1847 da J.B.Listing) è da ricondursi al 1895 quando Poincaré pubblicò la sua Analysis Situs relativa allo studio degli aspetti qualitativi intrinseci delle configurazioni spaziali che rimangono invarianti rispetto a trasformazioni biunivoche e continue. Henri Poincaré Il principale rivale di Poincaré fu Hilbert(1862-1943) famoso per aver partecipato, nel 1900, al congresso internazionale di Parigi, proponendo quei 23 problemi , fino ad allora irrisolti dimostrando che… La matematica era viva! Hilbert divenne il principale esponente della “Scuola Assiomatica” influenzando profondamente il pensiero matematico del XX secolo, anche dal punto di vista della didattica della disciplina. David Hilbert Intervenendo, inoltre, sulla curva di Peano, diede anche impulso allo studio delle curve di ultima generazione(Kokh e Frattali) contribuendo a quella rivalutazione delle curve di cui si è parlato nel Liberty. Giuseppe Peano Scuola Normale di Pisa In questo cenno d’insieme di carattere internazionale è opportuno,infine, menzionare anche il contributo dei matematici italiani soprattutto per quanto riguarda la ricerca scientifica e la divulgazione del pensiero (Scuola Normale di Pisa e Circolo di Palermo). Circolo di Palermo Gregorio Ricci Curbastro. La biblioteca di Giovan Battista Guccia, prima sede del Circolo Matematico di Palermo. Guccia fondò nel 1884 il Circolo e nel 1885 i “Rendiconti”, rivista che si affermò in breve a livello internazionale.Il Circolo diventò una delle principali associazioni di matematici. BIBLIOGRAFIA • • • • • • • • • • • Betti R., Marchetti E., Costa L. R., Simmetrie:una scoperta matematica, Polipress Milano 2007 Jaglom I. M., Trasformazioni geometriche, le isometrie, Zanichelli Bologna 1976 Nicosia S., Le parole della matematica, Cedam Padova 2001 Baruk S., Dizionario di matematica elementare, Zanichelli Bologna 2002 Caglioti G. , Simmetrie infrante nella scienza e nell’arte, Clup Milano 1983 Weyl H., La simmetria, Feltrinelli 1962 Du Sautoy M., Il disordine perfetto, Rizzoli Milano 2007 Matematrentino, Percorsi matematici a Trento e dintorni, Springer Milano 2006 Lettera Pristem, Milano 1993 Casino’ di San Pellegrino Terme, Il liberty, Ferrari Editrice Clusone 2004 60 anni di vita termale nei giornali di San Pellegrino Terme, dvd dell’Associazione degli Amici di San Pellegrino Terme Si ringraziano • Marta Gaia Torriani per la disponibilità mostrata, i preziosi consigli ed il materiale fornito • Adriano Di Nitto e Massimo Aceti per la consulenza tecnica fotografica. • I prof.ri D’Aniello Giovanni e di Michele Luigi per la consulenza tecnica informatica. • Gli studenti Giorgio Rivolta e Marco Bianconi, ITIS Hensemberger di Monza, per il contributo nella realizzazione del prodotto in PowerPoint