Le simmetrie di rosoni, fregi e carte da parati

Corso di Formazione per Docenti di Matematica
(11 maggio 2016)
Le simmetrie di rosoni, fregi e carte da parati
Eva Ferrara Dentice - S.U.N.
“Simmetria” è un concetto intuitivo
Nell’arte: L’uomo Vitruviano
In natura http://snowflakebentley.com/
In natura
In architettura: Basilica di
Santa Chiara-Napoli
Altre simmetrie…
Palazzo della Prefettura-Verona
Galleria Umberto I-Napoli
Anche queste decorazioni hanno una loro simmetria intrinseca,
ma questa è “evidentemente” diversa da quella degli oggetti della
diapositiva precedente…
Altre simmetrie…
Alhambra-Granada
1240
Ancora simmetrie…
Volta del Mausoleo di Galla
Disegno egizio
Placidia V sec. - Ravenna
Copripiumone Bassetti
Simmetria
(dal dizionario Zingarelli)
1.(gener.) In un oggetto, un corpo, un insieme, una struttura e sim.,
disposizione dei vari elementi che lo compongono tale che
rispetto ad un dato punto, asse o piano cui si fa riferimento
vi sia tra essi piena corrispondenza di forma, dimensione,
posizione e sim.
2. (biolog.)Disposizione regolare delle parti di un organismo rispetto
ad un piano o ad un asse.
3. Rispondenza nella struttura dei cristalli rispetto a linee rette, o assi
o piani.
4. (mus.) Rispondenza di frasi o periodi nel giro delle melodie, o
nella qualità degli accordi, o nella durata delle note.
5.
Armonia di proporzioni, combinazioni, disposizioni, e sim.
6. (fis.) Proprietà di cui godono i sistemi e le leggi fisiche che
si mantengono invariati a seguito di una trasformazione.
ISOMETRIA = applicazione tra i punti
che conserva le distanze
Un’isometria conserva anche gli angoli, e quindi l’ortogonalità
Le simmetrie di un oggetto geometrico X sono le
isometrie dello spazio che mutano X in sé.
Il gruppo delle simmetrie di X
L’identità fissa X
Se X è un insieme di punti del piano,
e M(X) è l’insieme delle simmetrie di X,
Se F e G fissano X, allora la
composizione GF fissa X
allora
Se F fissa X, allora F-1 fissa X
M(X) è un gruppo
Classificazione delle isometrie del piano
Chasles (1831)
identità
traslazione
rotazione
riflessione
glissosimmetria
Isometrie pari e dispari
• Traslazioni e rotazioni.
Non cambiano
l’orientamento della
figura
• Riflessioni e
glissosimmetrie.
Invertono l’orientamento
della figura
I gruppi ornamentali del piano
T(G)=Traslazioni nel gruppo di simmetrie G
• T(G)={1}  Rosette Groups
• T(G)=[tu], u≠0  Frieze Groups
• T(G)=[tu,tv], {u, v} non paralleli 
Wallpaper groups
(Cartan-Dieudonné) Ogni isometria non identica del piano
è composizione di al più tre riflessioni.
u=2AB
Traslazione tu
B
A
a
b
b
Rotazione C,
tu=ba
=2ab
C=ab
C, = ba
C
a
c
Glissosimmetria
a
b
 c  b a
E’ fissato soltanto dall’identità
M={1}
E’ fissato dalla riflessione a
M={1, a}
a
E’ fissato dalla rotazione M,π
M
M={1, M,π}
M={1, C,π/2, C,π, C,3π/2 }
C
=[C,π/2] = C4
b
M
a
M={1, a, b, M,π }
=[|2=1=2, ] =D2
I gruppi diedrali Dn, n≥3
(Gruppi delle simmetrie dei poligoni regolari)
a
C
a
C
D3=[, | 2=3=1, =2]
=a=C,2π/3
D4=[, | 2=4=1, =3]
=a=C,π/2
……….
C
a
π/n
Dn=[, | 2=n=1, =n-1]
=a=C,2π/n
Come ottenere altri gruppi di poligoni?
Fissato un poligono regolare con
n lati
Si divide in 4 parti ciascun lato
Si fissa un verso di rotazione
e si sceglie il secondo quarto su ogni lato
Si costruisce così un poligono di 2n lati
C4={1, , 2,3} =C,π/2
…………..
Cn={1, , 2,3, …, n-1} =C,2π/n
Un gruppo di simmetrie finito non contiene né traslazioni, né glissosimmetrie
Il gruppo delle simmetrie di un poligono con n lati contiene al più 2n simmetrie
Teorema di Leonardo:
Un gruppo finito di simmetrie o è un gruppo ciclico o è diedrale
Un poligono ha per gruppo delle simmetrie un gruppo ciclico o diedrale
no
E’ ciclico
Esistono riflessioni?
sì
E’ diedrale
C2
D2
D3
Santa Chiara-Napoli
D4
Musei Vaticani-Roma
C6
D5
D6
Ma se guardiamo anche
alle decorazioni
pentagonali
all’interno dei
sei cerchi…
C2
Il rosone di santa Chiara ha un motivo
centrale a base esagonale, ed un motivo
esterno, a doppia base quadrata
D6 D4 = D2
Chiesa di Santa Croce-Lecce
D24
C8
C3
C4
Marchio XX sec.
Motivo ornamentale musulmano
C4
Motivo peruviano epoca
precolombiana
C2
Motivo ornamentale paraguaiano
XIX sec C2
Pianta della Basilica di San Pietro
(Bramante)
D4
D8
Duomo di Orvieto
D3
Basilica di Santa Chiara-Assisi
Fregi
Galleria Umberto I-Napoli
Villa comunale-Napoli
Palazzo della Prefettura-Verona
Fregio
(ancora dal dizionario Zingarelli)
Fascia ornamentale ad andamento orizzontale; parte della trabeazione
compresa tra l’architrave e la cornice, decorata a rilievo con figure o con
motivi geometrici o più o meno stilizzati.
(arch.) Ogni decorazione, specialmente in rilievo, con andamento
orizzontale, a forma di fascia
Insieme X di punti del piano contenente una retta c e verificante le
seguenti condizioni:
1) Le traslazioni che fissano X costituiscono un gruppo ciclico [].
2) Ogni simmetria di X fissa la retta c.
c è l’asse del fregio
c ha la direzione del vettore u
=tu
u
A=A0
M=M0
Mi=i(M)
Ai=i(A)
c
A
M
A1
M1
A2
M2
M è il punto medio di A ed A1
Mi è il punto medio di Ai e Ai+1
Mi è il punto medio di A e A2i+1
A3
A
a
M
m
A1
a1
M1
m1
A2
a2
M2
m2
ai è la retta per Ai perpendicolare a c (a0=a)
mi è la retta per Mi perpendicolare a c (m0=m)
Risulta ai=i(a) e mi=i(m)
A3
a3
Infine:
N
n
N’
n’
N1
n1
N’1
n’1
N è il punto medio di A ed M1
N’ è il punto medio di M1 ed A1
n è la retta per N perpendicolare a c
n’ è la retta per N’ perpendicolare a c
Risulta Ni=i(N), N’i=i(N’), ni=i(n), n’i=i(n’)
Come sono fatte le isometrie di un fregio?
Sia X un fregio, ed F il suo gruppo delle simmetrie
Le traslazioni di F sono del tipo n
Le rotazioni di F hanno centro uno dei punti Ai, Mi ed angolo π.
In tal caso, tutte queste rotazioni stanno nel gruppo.
Le riflessioni di F hanno asse c, oppure una delle rette ai, mi
(e quindi tutte) , oppure una delle rette ni - n’i (e quindi tutte).
Anche le glissosimmetrie di F sono “speciali”
F1=[]
A
F2=[]
A
F11=[c]
A
M
M
M
F21=[c]
F1
2=[
a]
F22=[n]
F13=[]
A
M
Dal punto di vista geometrico, i frieze
groups sono 7, ma dal punto di vista
algebrico, essi sono soltanto 4.
• F1, F 13  Z
• F 2 , F 1 2 , F 2 2  D
• F11  ZZ2
• F21  DZ2
Come classificare il gruppo di un fregio?
Contiene rotazioni?
no
sì
Contiene riflessioni di asse c?
no
sì
Contiene riflessioni di asse
ortogonale a c?
no
sì
Contiene glissosimmetrie?
no
F1
sì
F 13
Contiene riflessioni di asse c?
F 12
no
F 11
Contiene riflessioni di asse
ortogonale a c?
sì
no
F2
F22
sì
F 21
Vaso cinese-XI sec.
SSSSSSSSSSSSS
Fregio arabo
DDDDDDDDDDDD
Arte precolombiana-Perù
F2
Fascia ornamentale cilena
F 11
Fascia decorativa (J. Hoffmann)
FFFFFFFFFFFFF
Fregio egizio
AAAAAAAAAAA
Fregio tipografico moderno
F1
Fascia ornamentale fenicia
F 12
Arte indiana
IIIIIIIIIIIIIIIII
F 21
Arte precolombiana
MWMWMWMWMW
F 22
MDWDMDWDMDW
Arte minoica, II sec a.C.
F 13
F1
F1
F2
F 12
Gruppi delle carte da parati
(Gruppi cristallografici piani)
Sono i gruppi delle isometrie piane il cui sottogruppo delle traslazioni
È generato da due traslazioni di vettori non proporzionali.
Un punto P è un n-centro per un gruppo G di isometrie se le rotazioni di
centro P formano un gruppo ciclico Cn.
Teorema di Restrizione Cristallografica: Se P è un n-centro di un
wallpaper group W, allora n=2,3,4,6.
Teorema di Fedorov (1891)
Nessun ncentro
Solo 2-centri
p2
4-centri
p1
W2
W11
cm
W21 cmm W41 p4m W31 p3m1 W61 p6m
W1 2
pm W22 pmm
W13
pg
W24 pgg
p4
W3
p3
6-centri
W1
W23 pmg
W4
Solo 3 centri
W42 p4g W32 p31m
W6
p6