prova fase 2 - Sezione Mathesis di Castellammare di Stabia (NA)

III EDIZIONE OLIMPIADI DELLA STORIA DELLA
MATEMATICA
MATHESIS SEZIONE DI CASTELLAMMARE
27 APRILE 2009
GARA DI 2° LIVELLO
1. Il presente questionario comprende 4 dimostrazioni, 6 quesiti a risposta multipla e 3
problemi.
2. Per ciascun quesito sono date 5 risposte, contrassegnate dalle lettere A, B, C, D, E :tra
queste UNA SOLA è corretta.
3. Scelta la risposta, riporta la lettera corrispondente ( A, B, C, D, E ) nel FOGLIO
RISPOSTE, nella casella sottostante il numero d’ordine del relativo quesito
4. Per la correzione vengono applicate le seguenti REGOLE:
-Per ogni risposta corretta a ciascun quesito verranno assegnati 5 punti.
-Per ogni quesito senza risposta verrà assegnato 1 punto.
-Per le risposte errate non verrà assegnato alcun punto.
-Per ogni dimostrazione corretta verranno assegnati 8 punti.
-Per la risoluzione di ogni problema verranno assegnati 10 punti.
Il tempo dall’ inizio della prova è di 120 MINUTI.
Non è consentito l’uso della calcolatrice.
1. Il primo ad usare il termine “ algebra” nel mondo occidentale fu:
a)
b)
c)
d)
e)
Il maestro d’abaco Raffaello di Giovanni Carracci
Il matematico Leonardo Pisano detto il Fibonacci
Il matematico Luca Pacioli
Il maestro Sitaba
Nessuno dei precedenti
2. Quante sono le simmetrie assiali del piano che trasformano un triangolo equilatero
in sé:
a)
b)
c)
d)
e)
0
1
2
3
Nessuna delle precedenti
3. La somma degli angoli esterni di un poligono convesso di n lati è uguale a:
a)
b)
c)
d)
e)
180°
( n-2) ·180°
n ·180°
(n+1) ·180°
Nessuna delle precedenti
4. Le parole OVO, AIA, TOT, OTTO, AVA, AMA si possono leggere allo stesso modo
in uno specchio. Ciò è possibile perché sia esse, sia le rispettive immagini si
corrispondono in una:
a) Rotazione
b) Simmetria centrale
c) Simmetria assiale
d) Traslazione
e) Glissosimmetria
5. La composizione della simmetria piana avente per centro il punto C con la
traslazione definita dal vettore v è uguale:
a)
b)
c)
d)
e)
all’identità
alla rotazione di centro C ed ampiezza 180°
alla traslazione definita dal vettore ⅓ v
alla simmetria avente per asse la retta per C e parallela a v
nessuna delle precedenti
6. La composizione della traslazione del piano definita dal vettore v con l’omotetia di
centro O e rapporto di similitudine k ≠ 1 è:
a)
b)
c)
d)
e)
la simmetria con asse la retta per O parallela a v
l’omotetia di centro O e rapporto di similitudine kv
la rotazione di centro O ed ampiezza 90°
la simmetria di centro O
nessuna delle precedenti
7. Dimostrazione 1
L’architetto Ahmes voleva pavimentare con piastrelle uguali aventi forma di
poligono regolare la sala che doveva contenere il sarcofago del faraone Septi III.
Dimostra che ciò si può realizzare solo con il triangolo equilatero, il quadrato e
l’esagono.
8. Dimostrazione 2 (problema delle api)
A parità di perimetro P dimostra quale tra le seguenti figure: triangolo equilatero,
quadrato ed esagono regolare ha area maggiore?
9. Dimostrazione 3
Siano BH l’altezza di un triangolo equilatero ABC. Traccia da H le perpendicolari ai
Lati AB e BC che incontrano rispettivamente AB in R e BC in S. Siano poi T e Q
I punti simmetrici di H, rispettivamente nelle simmetrie con asse le rette BC e AB
Utilizzando le proprietà delle isometrie, dimostra che:
1. BQ = BH = BT;
2. i triangoli BQH e BTH sono equilateri e congruenti.
10. Dimostrazione 4
Sia γ la circonferenza di centro O e raggio r. Siano l e L le misure dei lati dei due
poligoni regolari di n lati rispettivamente inscritto e circoscritto a γ. Dimostrare che
L=
2rl
4r 2 − l 2
11. Problema 1 ( Bhaskara- Lilavati 1114-1185)
Un pavone è appollaiato su un palo che ha alla base la tana di un serpente. Il
serpente è ad una distanza tripla dell’altezza del palo. Il pavone si lancia sul
serpente mentre questo va verso la tana e lo incontra dopo aver percorso in linea
retta la stessa distanza percorsa dal serpente. A quale distanza dalla tana si
incontrano?
12. Problema 2 ( Fibonacci 1202)
Due torri alte rispettivamente 30 passi e 40 passi distano 50 passi. Sulla sommità di
ognuna è presente un uccello. Tra le due torri c’è una fontana verso la quale si
dirigono i due uccelli per abbeverarsi. Sapendo che essi hanno la stessa velocità ed
impiegano lo stesso intervallo di tempo per arrivare alla fontana, determinare la
distanza del centro della fontana dalla base delle due torri.
13. Problema 3 ( Baskhara – Lilavati 1114-1185 )
Una canna di bambù, alta 32 cubiti, è spezzata dal vento e la sua cima cade
toccando il terreno a 16 cubiti della base della canna. A quale altezza la canna si è
spezzata?