Caso di A non regolare

Caso di A non regolare
December 21, 2010
Una matrice A è regolare quando è quadrata e in corrispondenza di ogni
autovalore di molteplicità algebrica m si ha una caduta di rango pari proprio a
m. Ovvero:
rk (A − λi I) = n − m
dove n è la dimensione della matrice. Ricade in questo caso il caso di A con
tutti autovalori distinti, ma anche quando in corrispondenza di un autovalore
con m=2 (esempio) ho due autovettori, quindi molteplicità geometrica pari a
2. Infatti in questo caso i calcoli visti non cambiano, tranne che otteniamo due
modi naturali coincidenti.
In generale, A non è regolare quando per almeno un autovalore ho che la sua
molteplicità geometrica è strettamente minore della sua molteplicità algebrica.
In questo sfortunato caso, purtroppo, non esiste una forma equivalente di A
diagonale.
Calcoleremo dunque la cosiddetta forma di Jordan della matrice A con p
autovalori distinti.
Prendiamo un autovalore generico λi , con molteplicità geometrica g(i). Risolvendo il classico sistema troviamo q autovettori xi1 , xi2 , . . . , xiq linearmente
indipendenti. Prendiamo il primo e iniziamo a porre
(A − λi I)ti1 = xi1
(A − λi I)ti2 = ti1
e così via fino a trovare k vettori non nulli che formeranno una catena di autovettori generalizzati. Ci fermiamo ovviamente quando è impossibile risolvere
il sistema o quando il risultato è il vettore nullo.
Ripetiamo la stessa cosa per gli altri autovettori di partenza.
Queste catene sono formate tutte da vettori linearmente indipendenti e
quindi formano ciascuna un sottospazio di dimensione k.
Trovando un numero opportuno di autovettori generalizzati associati a tutti
i p autovalori distinti di A. Insomma abbiamo che con gli autovettori di partenza
+ questi nuovi delle catene, dobbiamo proprio raggiungere n autovettori!
1
Tali autovettori saranno le colonne di una matrice invertibile T, e risulterà:
A = T −1 JT
dove J è la forma canonica di Jordan di A. Ma non c’è bisogno di fare tutte
queste moltiplicazioni e inversioni. Come la matrice diagonale D, anche J ha
una forma particolare. È infatti diagonale a blocchi:


J1 . . . 0


J =  ... . . . ... 
0
...
Jp
Ricordiamo che p era il numero di autovalori distinti di A. Ciascun blocco è
a sua volta diagonale a miniblocchi:


Ji1 0
0


Ji =  0 . . . 0 
0
0 Jgi
Il numero di miniblocchi è pari alla molteplicità geometrica, e sono formati
così:


λi 1
0


Jij =  0 . . . 1 
0
0 λi
parliamo dopo della dimensione di questi miniblocchi. Il numero di 1 sulla
“sopradiagonale” è pari ad n meno la somma di tutte le molteplicità geometriche
Nel caso di autovalori
complessi,
si avranno sulla diagonale blocchetti 2x2
α ω
nella solita forma
.
−ω α
Esempio:


2 1 1
A= 0 3 1 
0 −1 1
C’è un solo autovalore, 2, di molteplicità algebrica pari a 3.
La soluzione del sistema è del tipo:


t
 s 
−s
Due possibili soluzioni sono:


0
u1 =  1 
−1
2


1
u2 =  0 
0
Per arrivare a 3 abbiamo bisogno di un autovettore generalizzato.


t
(A − 2I)u2 =  s 
−s
Di nuovo otteniamo come sottospazio delle soluzioni uno di dimensione 2.
Scegliamo un autovettore qualsiasi di questo sottospazio in modo che sia linearmente indipendente da quelli che abbiamo già.
 
0
u2 =  1 
0
La forma di Jordan è semplice. Abbiamo due miniblocchi, uno di dimensione
2 (relativo ai due autovettori già esistenti) e poi un secondo di dimensione 1 per
il solo autovettore generalizzato.


2 1 0
J = 0 2 0 
0 0 2
Anche il numero di 1 corrisponde a 3-2.
Un altro paio di considerazioni: parlando di catene, possiamo parlare di ordine o rango di un autovettore. Il rango è uguale alla “posizione” dell’autovettore
nella catena. Il primo sarà di rango 1, il secondo di rango 2...ecc. fino a k.
Per ciascun autovalore ho quindi un numero di catene pari alla molteplicità
geometrica!
Lasciando perdere tutti questi discorsi teorici, vediamo come queste nuove
conoscenze ci possono aiutare nello studio dei modi. Per prima cosa infatti
vediamo come si calcola l’esponenziale di una matrice in forma di Jordan.


k
eΛj t . . . tk! eΛit


..
..
eJi t =  0

.
.
0
0
eΛi t
Dove Λi = λi per autovalori reali, e al solito blocco 2x2 per i complessi.
Notiamo quindi che sulla prima riga e colonna di ogni blocco di Jordan si dispone
una sorta di sviluppo di Taylor. L’esponenziale dei blocchetti lo sappiamo già
fare!
3
L’evoluzione libera si presenta come una combinazione lineare di modi naturali multipli. Per prima cosa decomponiamo lo stato iniziale x0 come combinazione di componenti, ognuna presa da un autospazio. Nel caso precedente,
quindi, esprimiamo x0 come proporzione di un autovettore qualsiasi fra quelli
generalizzati o meno (è sempre un autospazio solo!). Chiamiamo c(i) tale autovettore scelto (la costante non è interessante).
tk−1
(A − λi t)k−1 ci
modo = eλi t I + t(A − λi I) + . . . +
k−1
k è l’ordine di c(i) come autovettore generalizzato.
La legge temporale del modo è sempre di tipo esponenziale ma con coefficiente polinomiale nel tempo. A ciascun autovalore è quindi possibile associare
più modi detti coincidenti, se hanno molteplicità geometrica maggiore di 1.
Per un sistema a tempo discreto:
t X
t
h
xL (t) =
(A − λi I) ci λt−h
i
h
h=0
1
Esempio pratico

0
 0
A=
 −1
0
1
0
−3
0
0
1
−3
0
Autovalori: -1 con molteplicità algebrica

1
 0
u2 = 
 −2
1

1
2 

−7 
1
3 e 1 con m.a. pari a 1.





1
 −1 

u11 = 
 1 
0

Abbiamo bisogno di altri due autovettori generalizzati nella catena (a partire
da u(1) ovviamente) per arrivare a 4.


1
 0 

u21 = 
 −1 
0
4


1
 0 

u31 = 
 0 
0
Gli esponenti indicano l’ordine o rango. Notiamo che lo spazio di stato
R^4 si decompone come somma diretta di due autospazi, uno associato alla
prima catena e uno associato al 2° autovettore. Proprio per le proprietà della
somma diretta, x0 può essere scomposto come la combinazione lineare di due
autovettori, uno per ciascun autospazio.


0
 −1 

x0 = 
 3 
−1
x0 = x01 + x02 = u11 − u2
xL (t) = e−t u11 + et u2
Entrambi sono infatti di ordine 1.

3
 0 

x0 = 
 2 
−1

x0 = 4u31 − u2
t2
xL (t) = et u2 + e−t u31 I + t(A + I) + (A + I)2
2
Tanto per perdere tempo, calcoliamo anche

−1 1
0
 0 −1 1
J =
 0
0 −1
0
0
0

eJt
e−t
 0
=
 0
0
te−t
e−t
0
0
5
la forma di Jordan:

0
0 

0 
1
t2 −t
2e
−t
te
e−t
0

0
0 

0 
et