- Ettore Lanzarone
Transcript
- Ettore Lanzarone
Analisi matematica 1 prof. LANZARONE - Esercitazione 10/01/2017 Equazioni differenziali Esercizio 1 Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali: a) y 0 = y(1 + y); b) x(1 + y 2 )y 0 = 3; c) y 0 = y(ln y−ln x) x ; d) y 0 = −y cos x + sin x cos x; e) y 0 = e2x 1+e2x y. ( 3y y 0 = x+1 + ex (x + 1)3 Esercizio 2 Risolvere il seguente problema di Cauchy: y(0) = 2. Esercizio 3 Si consideri l’equazione differenziale: y 0 + ty = t dove y = y(t). • determinare le soluzioni dell’equazione; • determinare la soluzione y che assume il valore massimo 2; • definita la funzione Z F (x) = x y(t)dt 0 verificare che il grafico di F ammette asintoto obliquo a +∞. Esercizio 4 Si consideri l’equazione differenziale y 0 (x) = 1 y(x) = (1 + x) ln x x + x2 dove x ∈ (0, +∞) • determinare l’espressione dell’integrale generale, dopo aver indicato di che tipo è l’equazione differenziale. • Determianre la soluzione il cui grafico passa per il punto P (1, 0). Esercizio 5 Dato il problema di Cauchy ( p √ x 1 + y 2 + yy 0 1 + x2 = 0 √ √ y( 3) = 8 mostrare che localmente esso ammette una sola soluzione. Determinare tale soluzione. 1 Esercizio 6 Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale 2 y 0 (x) = − y(x) + 4x. x Qual è il massimo intervallo in cui può essere estesa la soluzione? Esercizio 7 Si consideri la seguente equazione differenziale: y 0 (t) = 2t[y 2 (t) − 1]. • Trovare la soluzione che soddisfa la condizione y(0) = 2. • Specificare il dominio di definizione della soluzione trovata al punto precedente. 2