Analisi Matematica II- Birindelli, Capuzzo Dolcetta a.a. 2013/2014

Analisi Matematica II- Birindelli, Capuzzo Dolcetta
a.a. 2013/2014 prima prova in itinere.
Esercizio 1 Sia γm la curva parametrizzata da γm (t) = (t2 cos t, t2 sin(mt)) per t ∈ [0, 2π].
1. Al variare di m ∈ [0, 1] determinare se la curva è chiusa, se è regolare e se è semplice.
γm (0) = (0, 0) 6= (4π 2 , 4π 2 sin(2mπ)) = γm (2π) dunque la curva non è chiusa.
0 (t) = t(2 cos t − t sin t, 2 sin(mt) + mt cos(mt)) 6= (0, 0) per ogni
Dobbiamo verificare che γm
t ∈ (0, 2π).
0 (t) = t(2 cos t − t sin t, 0) dunque la curva non è regolare dato che esistono due
Per m = 0, γm
valori to ∈ (π/4, π/2) e t1 ∈ (π, 5π/4) tali che 2 cos t − t sin t = 0.
Mentre m 6= 0, è immediato verificare che 2 sin(mt)+mt cos(mt) = 0 per tmo ∈ (π/(2m), 3π/(4m))
e tm1 > 3π/(2m).
Quindi in particolare se 5π/4 < π/(2m) cioè se m <
2. Calcolare la lunghezza di γ1 e di γ0 .
Z 2π
Z
Lγ1 =
|γ 0 (t)|dt =
0
2π
t
0
2
5
la curva è regolare.
p
3
1
4 + t2 dt = (4 + t2 ) 2 |2π
o
3
Sfruttando il conto fatto nella prima domanda si ottiene che
Lγ0 = t2o cos to + (t2o cos to − t21 cos t1 ) + (4π 2 − t21 cos t1 )
3. Al variare di m ∈ [0, 1] determinare il punto della curva γm ([0, 2π]) che è più distante
dall’origine.
(
Esercizio 2 Sia f (x, y) =
x2 +2xy
max(x,y)
x
x ≥ 0, y ≥ 0, (x, y) 6= (0, 0)
altrove.
1. Determinare se f è positivamente omogenea.
Per t ≥ 0, calcoliamo f (tx, ty). Se (tx, ty) é nel primo quadrante allora anche (x, y) é nel
primo quadrante e inoltre max(tx, ty) = t max(x, y) dunque f (tx, ty) = tf (x, y). Altrove,
f (tx, ty) = tx = f (x, y), dunque la funzione è omogenea.
1
2. Studiare continuità , derivabilità e differenziabilità in (0, 0).
y
x
Siccome la funzione è positivamente omogenea di grado 1, f (x, y) = |(x, y)|f ( |(x,y)|
, |(x,y)|
).
Si ottiene che, per S1 il cerchio unitario centrato nell’origine, |f (x, y)| ≤ |(x, y)| maxS1 f cioè
lim(x,y)→(0,0) f (x, y) = 0 = f (0, 0).
Si osservi che per h > 0, f (h, 0) =
h2
max(h,0)
(0,0)
= h e per h < 0, f (h, 0) = h fx (0, 0) lim h → 0 f (h,0)−f
=
h
lim h → 0 hh = 1. Mentre per h > 0, f (0, h) = h e per h < 0, f (0, h) = 0 e dunque fy (0, 0) non
esiste. Quindi f non è differenziabile in (0, 0).
3. Studiare la derivabilità in x = 0 e in y = 0, e la convessità in x ≥ 0, y ≥ 0.
Per la convessità basta osservare che per R > 0, f (R, 0) = 0 e f (0, R) = 0, ma tf (R, 0) + (1 −
t)f (0, R) = 0 < f (tR, (1 − t)R) quindi non è convessa.
2
2
2
(x,0)
Per la derivabilità , sia x > 0 limh→0+ f (x,h)−f
= limh→0+ x +hhx−x = x1 , limh→0−
h
x−x
limh→0− h = 0. Allora f (x, 0) non è derivabile rispetto a y, mentre fx (x, 0) = 1.
f (x,h)−f (x,0)
h
Per la derivabilità in y > 0, f (0, y) = 0 e quindi fy (0, y) = 0, mentre k(x) = f (x, y), la
funzione non è continua in 0 questo da contemporaneamente che f non è continua in (0, y) e
non esiste la derivata in x nei punti (0, y).
2
2
Esercizio 3 Sia F (x, y, z) = (yz + yexy , xz + xexy , xy + ex +y ). Calcolare l’integrale curvilineo
del campo vettoriale F lungo γ, dove γ è la curva parametrizzata da γ(t) = (cos πt, sin πt, t) per
t ∈ [0, 2].
Si osservi che F (x, y, z) = F1 (x, y, z) + F2 (x, y, z) tali che F1 (x, y, z) = (yz + yexy , xz + xexy , xy)
2
2
è conservativo mentre F2 (x, y, z) = (0, 0, ex +y ) non lo è . Pertanto, calcolato che f (x, y, z) =
xyz + exy è un potenziale di F1 si ottiene che
Z
Z 2
F = f (1, 0, 2) − f (1, 0, 0) +
edt = 2e.
γ
0
Esercizio 4 Si consideri l’insieme Γ = {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) := xey − yex + x2 y = 0}.
• verificare che, in un intorno di x = 0, l’equazione f (x, y) = 0 definisce implicitamente una
funzione y = g(x) tale che g(0) = 0.
f (0, 0) = 0 e fy (x, y) = xey − ex + x2 ⇒ fy (0, 0) = −1 6= 0, siamo dunque nelle ipotesi del
teorema delle funzioni implicite ed esiste un intorno di x tale che y = g(x) f (x, g(x)) = 0.
• scrivere lo sviluppo di Taylor al secondo ordine di g in x = 0.
f
(0,0)−f
(0,0)g 0 (0)+f
(0,0)(g 0 (0))2
(0,0)
xy
yy
A tale fine dobbiamo calcolare g 0 (0) = − ffxy (0,0)
= 1 e g 00 (0) = − xx
.
fy (0,0)
2
00
Ma siccome D f (0, 0) è la matrice nulla si ottiene che g (0) = 0 e il polinomio di Taylor di
g(x) in 0 è T2 (x) = x i.e. g(x) = x + o(x2 ).
• dimostrare che in un intorno di xo ∈ (0, 1) tale che f (xo , 1) = 0, Γ definisce implicitamente
una funzione x = h(y) ma non una funzione di x.
2
=
Si osservi che k(x) = f (x, 1) = xe − ex + x2 verifica k(0) = −1 < 0 < 1 = k(1), ora siccome k
è continua esiste almeno un xo tale che k(xo ) = 0, tale punto verifica exo = xo e + x2o .
Siccome fx (xo , 1) = e − exo + 2xo = e − xo e + x2o + 2xo = x2o + xo (2 − e) + e 6= 0 mentre
fy (xo , y) = xo ey − exo + x2o cioè fy (xo , 1) = xo e − exo + x2o = f (xo , 1) = 0.
3