PENDENZA DERIVATA

PENDENZA
LA PENDENZA DI UN TRATTO DI STRADA è misurata dal rapporto tra spostamento verticale e spostamento orizzontale.
Ad esempio il cartello stradale riprodotto a lato segnala una discesa
pericolosa con pendenza dell'10%: la strada è inclinata come un
triangolo che ha la base lunga 100 unità di misura ed altezza pari a 10
unità di misura.
Questo rapporto, se espresso in forma percentuale, indica di quante
unità (metri o cm o …) ci si sposta in verticale se si avanza in
orizzontale di 100 unità. In questo caso la pendenza è: 10/100 = 0.10 = 10 centesimi = 10% (spostandomi orizzontalmente di
100 metri mi sposto verticalmente di 10).
Se percorro un tratto di discesa che corrisponde ad uno spostamento orizzontale di 25 metri mi abbasso in altezza (dislivello)
di 2,5 metri (cioè il 10% di 25= 25 · 0.10 ).
IL CONCETTO DI PENDENZA VIENE USATO ANCHE PER CONFRONTARE L'ANDAMENTO DEI GRAFICI.
Se applichiamo il concetto di pendenza al grafico di una funzione, si può ottenere una misurazione di tale pendenza mediante
il rapporto tra variazione dell'ordinata e variazione dell'ascissa (RAPPORTO INCREMENTALE).
Data una funzione y = f(x) la pendenza di un tratto PR
non rettilineo è data dal coefficiente angolare della retta r secante
passante per P e R espresso da
mr =
f ( xo + ∆x) − f ( xo )
= tan α r
∆x
La pendenza in un punto P di un tratto rettilineo o non rettilineo, è dato dal coefficiente angolare della retta tangente t (se
esiste) in P alla curva:
m t = lim
∆x →0
f ( x o + ∆x ) − f ( x o )
= tan α t
∆x
DERIVATA
Osservazioni
y = f ( x ) sia continua.
1.
Per far avvicinare il punto R al punto P sulla curva, occorre che la funzione
2.
Poiché il punto R può avere ascissa maggiore o minore dell’ascissa di P, per definire la pendenza in P occorre che ci si
possa avvicinare sia da destra che da sinistra a P ottenendo lo stesso risultato:
f ( x o + ∆x ) − f ( x o )
=
∆x → 0
∆x
lim
f ( x o + ∆x ) − f ( x o )
∆x → 0
∆x
lim
= f’(x0)  DERIVATA DELLA FUNZIONE IN X0
Pertanto: LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE È UNA MISURA DELLA PENDENZA DEL GRAFICO DELLA
FUNZIONE IN UN PUNTO.
DIFFERENZIALE
Il differenziale di una funzione è un concetto strettamente legato a quello di derivata.
Data una funzione y=f(x) derivabile in un punto x, indichiamo con ∆x l’incremento arbitrario della variabile indipendente x.
Si chiama differenziale della funzione y=f(x), relativo al punto x e all’ incremento ∆x , IL PRODOTTO DELLA DERIVATA DELLA
FUNZIONE PER L’INCREMENTO ∆ X , cioè:
df(x)=dy = f’(x)*∆x
Se si considera la funzione y=x, utilizzando l’uguaglianza tra le due variabili si ha:
dy = dx = f’(x)*∆x = 1*∆x
e di conseguenza dx = ∆ x .
IL DIFFERENZIALE DELLA VARIABILE INDIPENDENTE COINCIDE CON L’INCREMENTO DELLA VARIABILE STESSA.
Si può quindi dire che:
IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE E’ UGUALE AL PRODOTTO DELLA SUA DERIVATA PER IL DIFFERENZIALE DELLA VARIABILE
INDIPENDENTE.
( )
Possiamo esprimere la derivata come rapporto tra differenziali: f ' x =
df ( x ) dy
=
dx
dx
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE E’ UGUALE AL QUOZIENTE TRA IL DIFFERENZIALE DELLA FUNZIONE E QUELLO DELLA
VARIABILE INDIPENDENTE.
L’importanza del differenziale sta nel fatto che se la variazione dx --> 0 , allora --> 0 anche la differenza tra la variazione della
y della retta tangente e la funzione.
UTILIZZO DEL DIFFERENZIALE
Il differenziale viene spesso utilizzato per calcolare il valore approssimato di una funzione, quando questo risulta
complesso da determinare, compiendo una operazione di linearizzazione, detta APPROSSIMAZIONE LINEARE, vale a dire
approssimando una funzione non lineare tramite una retta, ottenendo informazioni sull’errore commesso.
Il valore
approssimato di una funzione viene calcolato con la formula:
ossia:
Esempio
Calcoliamo il valore approssimato di:
Si utilizza la formula:
E' possibile scrivere
.
. Per cui:
La funzione generale è
Sostituendo
e
, si ha
Occorre determinare il valori di
.
e h .
.
=
Calcolo della derivata della
Sostituendo
e
:
, si ottiene:
Nella formula di approssimazione della funzione:
ottenendo:
Il valore approssimato di
è
, sostituiamo
e
,
2, 0025. Utilizzando la calcolatrice il valore che viene visualizzato è:
.
L’errore ε che si commette, in termini assoluti, è pari a:
ε = | 2, 002498 – 2, 0025 | = | 2, 0025 – 2, 002498 | = 0,000002
Il simbolo di differenziale viene utilizzato anche nel calcolo integrale e ha lo scopo di specificare la variabile rispetto alla quale
si integra. Viene utilizzata la definizione di differenziale quando si integra con sostituzione di variabile.