Derivata materiale (Lagrangiana) e locale (Eu

Dispense di Meccanica dei Fluidi
Prof. S. Longo
0 1
0
det 0 1 −1 = (0 · 1 · 1) + (1 · (−1) · 1) + (0 · 0 · 1) = −1 6= 0.
1 −1 1 Pertanto D, v e µ sono indipendenti tra loro e costituiscono una nuova base.
Con essi è possibile descrivere altre grandezze, come ad esempio l’accelerazione. Per a, la viscosità non si usa perchè la massa M non compare; risulta
quindi:
a = Dα v β ,
a = L T−2 ,
da cui:
a=
v2
.
D
Derivata materiale (Lagrangiana) e locale (Euleriana)
Consideriamo un campo scalare di temperatura in una stanza riscaldata da
un termosifone acceso. É intuitivo che il campo non sia omogeneo e che
la temperatura sia maggiore vicino al termosifone rispetto alla temperatura
vicino alla porta di ingresso della stanza. Una persona (osservatore) in quiete
in un punto della stanza con un termometro in mano misura una temperatura
che dipende solo dalla temperatura del termosifone nel tempo:
θ = θ(t).
Se invece l’osservatore si muove allontanandosi o avvicinandosi al termosifone, la temperatura misurata è funzione sia del tempo che della posizione
dell’osservatore nella stanza:
θ = f t; x(t); y(t); z(t) .
La derivata temporale della temperatura richiede la specifica del riferimento dell’osservatore:
∂θ
dθ
=
;
• se l’osservatore è fisso, derivata Euleriana:
dt
∂t
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• se l’osservatore è in movimento, derivata Lagrangiana:
Dθ
∂θ ∂θ dx ∂θ dy ∂θ dz
∂θ
=
+
+
+
=
+ v · ∇θ.
Dt
∂t ∂x dt
∂y dt ∂z dt
∂t
La derivata temporale nel caso in cui l’osservatore sia in movimento viene
definita come derivata materiale (o derivata sostanziale o derivata Lagrangiana). Il simbolo della derivata materiale è:
D
∂
=
+ (v · ∇),
Dt
∂t
∂
e v · ∇ sono definiti, rispettivamente, la derivata locale e la comin cui
∂t
ponente convettiva.
La derivata sostanziale di una qualsiasi quantità può essere vista come
somma di due contributi:
componente locale: è una componente intrinseca e viene percepita in ogni
riferimento, sia fisso che mobile.
componente convettiva è una componente legata al moto dell’osservatore nel
campo, sempre nulla solo se il campo è omogeneo.
Nel caso della stanza riscaldata dal termosifone, la persona che si muove percepisce una variazione dovuta alla variazione spaziale della temperatura. Se la temperatura fosse uniforme (campo omogeneo), nonostante il
movimento, il contributo sarebbe nullo.
Esempio 1
Si consideri una condotta d’acqua alimentata con portata costante (invariante nel tempo) e che presenti una riduzione della sezione. Nella sezione di
area minore, la velocità del fluido è maggiore rispetto alla velocità nella sezione di area maggiore, in quanto la portata volumetrica è invariante (per la
conservazione della massa). Un osservatore fisso nel laboratorio (osservatore
Euleriano) può facilmente verificare che in tutti i punti del campo la velocità
delle particelle non varia nel tempo.
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Immaginiamo un osservatore seduto su una particella fluida in moto nella corrente (osservatore Lagrangiano). In un generico istante t la velocità
dell’osservatore è uguale a quella che assume il campo di velocità del fluido nel punto in cui egli si trova. La variazione di velocità dell’osservatore
Lagrangiano è pari a:
a=
∂v
Dv
=
+ v · ∇v.
Dt
∂t
con il termine ∂v/∂t nullo poiché la portata non varia nel tempo. Sebbene il
campo di velocità sia stazionario, l’osservatore Lagrangiano è soggetto ad una
variazione di velocità per il solo fatto di occupare in tempi differenti posizioni
differenti dello spazio e caratterizzate da un differente valore di velocità.
Esempio 2
Si consideri un condotto a U con sezione circolare di diametro costante, alle cui estremità sono applicate due pressioni (p+ e p−), con conseguente
dislivello dei due menischi. Pareggiando le pressioni sui menischi, il fluido
accelera ed è successivamente caratterizzato da un moto oscillante periodico
smorzato, per raggiungere infine la nuova configurazione di equilibrio con i
due menischi alla stessa quota. Ad ogni istante la velocità è la stessa per
tutte la particelle fluide e il movimento è un movimento in blocco.
L’osservatore nel laboratorio (Euleriano) osserva che la velocità delle
particelle cambia nel tempo. Anche l’osservatore seduto sulla particelle
(Lagrangiano) osserva la stessa variazione.
In questo caso il campo di velocità è omogeneo e la derivata materiale
(la derivata vista da un osservatore Lagrangiano, cioè solidale alla particella)
coincide con la derivata locale (la derivata vista da un osservatore Euleriano,
cioè fisso nel laboratorio).
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Figura 1: Layout per il calcolo della derivata materiale di una grandezza
connessa alle particelle presenti nel volume V(t)
Teorema del trasporto
Il problema della corretta definizione della derivata temporale si presenta
non solo per la proprietà di una particella materiale (ad esempio, la velocità,
la massa, la temperatura) ma anche per calcolare la derivata temporale di
quella proprietà sommata su tutte le particelle di un dominio finito.
Definiamo volume materiale un volume che ad ogni istante, pur modificando la sua forma e la sua posizione nello spazio, è sempre costituito dalle
stesse particelle materiali. Indichiamo con a una grandezza associata alla
singola particella (ad esempio, la velocità o la densità di massa). La somR
ma della grandezza a estesa al volume materiale è espressa come V a dV.
Vogliamo stimare come vari nel tempo quella somma, cioè
D
Dt
Z
a dV.
(22)
V
Sia
V(t) = volume al tempo t,
(23)
V(t + dt) = volume al tempo t + dt,
(24)
V 00 = porzione di volume in comune traV(t) e V(t + dt),
(25)
(vedi Figura 1) con il volume V contenente ad ogni istante le medesime
particelle.
Calcoliamo la derivata dell’integrale secondo la definizione classica di
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derivata, cioè come limite del rapporto incrementale:
D
Dt
R
Z
a dV = lim
a(t + ∆t) dV −
V(t+∆t)
V(t)
a(t) dV
.
∆t
∆t→0
V
R
(26)
La linearità dell’operatore integrale ci permette di scrivere
Z
Z
a(t + ∆t) dV =
Z
a(t + ∆t) dV +
V 00
V(t+∆t)
Z
a(t + ∆t) dV,
(27)
V 000
Z
Z
a(t) dV =
a(t) dV +
a(t) dV.
V 00
V(t)
(28)
V0
Quindi,
D
Dt
Z
1
a dV = lim
∆t→0
∆t
V
Z
V 00
Z
a(t + ∆t) dV +
Z
a(t + ∆t) dV−
Z
a(t) dV −
a(t) dV , (29)
V 000
V 00
V0
ovvero
D
Dt
R
Z
a dV = lim
∆t→0
V
[a(t + ∆t) − a(t)] dV
+
∆t
Z
Z
1
1
lim
a(t + ∆t) dV − lim
a(t) dV. (30)
∆t→0 ∆t V 0
∆t→0 ∆t V 000
V 00
Il volume V 00 è invariante nell’intervallo temporale da t a t+∆t. Pertanto possiamo tranquillamente portare il limite e il rapporto incrementale all’interno
del simbolo integrale, e risulta
R
lim
∆t→0
V 00
[a(t + ∆t) − a(t)] dV
=
∆t
[a(t + ∆t) − a(t)] dV
≡
∆t
V 00 ∆t→0
Z
∂a
dV , (31)
V ∂t
Z
lim
dove il volume V 00 per ∆t → 0 coincide con il volume iniziale V(t). Il contributo del volume V 000 può essere trasformato in un integrale di superficie
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osservando che in un intervallo di tempo ∆t lo spostamento della superficie in
uscita Au nell’intorno di un punto è pari a v ·n ∆t, dove v e n sono la normale alla superficie e la velocità della superficie nel punto, rispettivamente. Lo
spostamento è sempre positivo poiché, per definizione di superficie di uscita,
la velocità è ivi concorde in verso alla normale uscente. Indicata con dA una
superficie infinitesima nell’intorno del punto, risulta dV = v · n ∆t d A.
Analogamente sulla superficie in ingresso risulta dV = −v · n ∆t dA,
dove il segno negativo è dovuto al fatto che sulla superficie di ingresso per
definizione i vettori v e n sono in verso contrario. Quindi, risulta:
1
lim
∆t→0 ∆t
Z
1
a(t + ∆t) dV ≡ lim
∆t→0 ∆t
V 000
Z
Au
a(t + ∆t)v · n ∆t dA =
Z
a(t)v · n dA, (32)
Au
e
1
lim
∆t→0 ∆t
Z
1
a(t) dV ≡ lim
a(t)v · n ∆t dA =
−
∆t→0 ∆t
V0
Ai
Z
a(t)v · n dA. (33)
−
Z
Ai
Riassumendo
D
Dt
Z
Z
a dV =
V
V
∂a
dV+
∂t
Z
Z
a(t)v · n dA. (34)
a(t)v · n , dA +
Au
Ai
Considerato che Ai + Au = A, cioè la somma della superficie in ingresso e in
uscita coincide con la superficie totale che delimita il volume, risulta:
D
Dt
Z
Z
a dV =
V
V
∂a
dV +
∂t
Z
a(t)v · n dA.
(35)
A
Il teorema del trasporto si può enunciare come segue:
la variazione nell’unità di tempo di una grandezza a del sistema è uguale alla variazione di tempo di a nel volume di controllo più il flusso di a
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attraverso la superficie di controllo.
L’ultimo integrale nell’eq.(36) è infatti il flusso di a attraverso la superficie
che delimita il volume di controllo.
Applicando il teorema della divergenza, l’eq.(36) diventa
D
Dt
Z
Z
a dV =
V
V
∂a
dV +
∂t
Z Z
div(av) dV ≡
V
V
∂a
+ div(av) dV.
∂t
(36)
L’argomento nell’ultimo integrale a destra può essere riscritto in termini di
derivata sostanziale:
∂a
Da
+ div(av) =
+ adiv(v).
∂t
Dt
(37)
In conclusione, risulta anche:
D
Dt
Z Z
a dV =
V
V
Da
+ adiv(v) dV.
Dt
(38)
Il teorema del trasporto deve il suo nome al fatto che indica le operazioni
da eseguire per ’trasportare’ l’operatore di derivata sostanziale dall’esterno
all’interno di un integrale esteso a un volume materiale.