Schema risolutivo integrali

SCHEMA RIASSUNTIVO INTEGRAZIONE
a) Integrali immediati
1) ∫ x n dx =
x n+1
+k
n +1
2) ∫ dx = x + k
4) ∫ senxdx = − cos x + k
7) ∫
1
dx = − ctgx + k
sen 2 x
5) ∫ cos xdx = senx + k
8) ∫
1
1− x2
dx = arcsenx + k
n
+1
n
1
x − n+1
xm
10) ∫ n dx = ∫ x − n dx =
+ k 11) ∫ m x n dx = ∫ x m dx =
+k
n
− n +1
x
+1
m
ax
1
x
13) ∫ a dx =
+ k 14) ∫ 2
dx = arctgx + k
ln a
x +1
9) ∫
1
3) ∫ dx = ln x + k
x
1
= tgx + k
6) ∫
2
cos xdx
1
dx = ln x + x 2 ± 1 + k
2
x ±1
12) ∫ e x dx = e x + k
b) Integrazione per scomposizione
Si fa se l’integrale è la somma algebrica di più termini.
∫ [af ( x) + bg ( x)]dx = a ∫ f ( x)dx + b ∫ g ( x)dx
c) Integrazione per sostituzione
Si fa quando siamo in presenza di una funzione composta che diventa elementare
con la sostituzione. Per integrare per sostituzione dobbiamo essere in presenza
della derivata, a meno di costanti, di ciò che andiamo a sostituire.
dt
con la sostituzione g(x)=t
g’(x)dx=dt dx =
∫ f [g ( x)]g ′( x)dx
g ′(x)
dt
diventa ∫ f (t ) g ′( x)
= f (t )dt che dovrebbe essere un integrale immediato.
g ′( x) ∫
dt
Invece ∫ f [g ( x)]dx non si può fare per sostituzione perché ∫ f (t )
non si può
g ′( x)
semplificare g’(x).
d) Integrazione per parti
Si usa quando vogliamo integrare prodotti. Si basa sulla seguente formula
∫ f ( x) g ′( x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ′( x) g ( x)dx
Trasforma l’integrale dato in un altro che dovrebbe essere più facile da calcolare.
Dato il prodotto iniziale bisogna considerare un fattore come funzione primitiva
f(x) che va derivata per trovare f’(x), e l’altro fattore come derivata g’(x) che va
integrato per trovare g(x).
1
dx
+ bx + c
e) Caso particolare
Si calcola il ∆ del denominatore e si distinguono tre casi
1. ∆ = 0 si può trasformare il denominatore nel quadrato di un binomio
1
dx sost. mx+n=t mdx=dt
poi eseguire una sostituzione ∫
(mx + n )2
dt
1
dx =
diventa ∫ 2 dt integrale immediato n°10.
m
t
2. ∆ < 0 si può trasformare il denominatore nel quadrato di un binomio
1
dx e poi mettendo in evidenza k e
+ una costante ∫
(mx + n )2 + k
∫ ax
sostituendo
(mx + n )2
2
= t 2 si arriva all’integrale immediato n°14.
k
3. ∆ > 0 si trovano le soluzioni dell’equazione di secondo grado e si
1
dopodichè si decompone
scompone il denominatore in
a ( x − x1 )( x − x 2 )
A
B
tale frazione in
si esegue il m.c.m. e si uguaglia il
+
x − x1 x − x 2
numeratore a quello dell’integrale impostando un sistema. Si
A
B
trasforma l’integrale in ∫
dx + ∫
dx che si risolvono con due
x − x1
x − x2
sostituzioni x − x1 = t e x − x 2 = u e diventano integrali immediati n°3.
kx + h
dx
+ bx + c
Si calcola il ∆ del denominatore e si distinguono due casi
1. ∆ ≥ 0 si procede subito come il caso 3 del punto precedente.
2. ∆ < 0 si opera con il numeratore per trasformarlo nella derivata del
denominatore, si spezza poi l’integrale in due parti, quella che al
numeratore ha la derivata che si risolve ponendo ax 2 + bx + c = t e
quella con la parte rimanente che diventa del tipo al punto e).
f) Caso particolare
∫ ax
2
g) Integrazione delle funzioni razionali fratte
An ( x)
dx con A e B due polinomi di grado n ed m. Bisogna distinguere due casi
m ( x)
1. il grado del numeratore è minore di quello del denominatore, cioè n<m.
In questo caso si scompone il denominatore e si decompone la frazione
mediante tante costanti quanto è il grado del denominatore tenendo
conto del fatto che: i binomi di primo grado necessitano di una costante,
quelli di primo grado con molteplicità n di tante costanti quanto la sua
molteplicità, i trinomi di secondo grado di due costanti.
1
A
B
C
D
Ex + F
ESEMPIO.
=
+
+
+
+ 2
3
2
3
2
(x − 2)(x + 3) (x + 4 ) x − 2 x + 3 (x + 3) (x + 3) x + 4
I primi quattro integrali diventano del tipo immediato e.1 oppure e.3, il
quinto è del tipo f.
∫B
2. Il grado del numeratore è ≥ di quello del denominatore, cioè n ≥ m . In
questo caso si esegue la divisione in colonna dei due polinomi ottenendo
un quoziente Q(x) ed un resto R(x)
An(x)
Bm(x)
Q(x)
R(x)
An ( x)
R ( x)
dx = ∫ Q( x)dx + ∫
dx in cui il primo
Bm ( x )
m ( x)
integrale si esegue per decomposizione punto b ed il secondo si riconduce
al caso 1 di questo punto g.
A questo punto si trasforma
∫B
h) Caso particolare
∫
1
dx
ax 2 + bx + c
Si trasforma il radicando nel quadrato di un binomio ± una costante
1
(mx + n )2 = t 2 si arriva
dx
e
poi
mettendo
in
evidenza
k
e
sostituendo
∫ (mx + n )2 ± k
k
agli integrali immediati n°8 oppure 9.
i) Caso particolare
∫
kx + h
dx
ax 2 + bx + c
Si opera con il numeratore per trasformarlo nella derivata del denominatore, si
spezza poi l’integrale in due parti, quella che al numeratore ha la derivata che si
risolve ponendo
tipo al punto h.
.
ax 2 + bx + c = t e quella con la parte rimanente che diventa del
j) Integrazione di funzioni goniometriche
Anche in questo caso si possono presentare diverse modalità.
1. ∫ senαxsenβ xdx ∫ senαx cos β xdx ∫ cos αx cos β xdx si risolvono con le formule di
Werner.
2. ∫ sen n x cos m xdx si risolve per sostituzione e precisamente
Se n ed m sono entrambi dispari è indifferente porre senx=t o cosx=t
Se uno è pari e l’altro è dispari si sostituisce con t quello di grado pari
1 − cos 2 x
sen 2 x =
2
Se sono entrambi pari si usano le formule
1 + cos 2 x
2
cos x =
2
3. ∫ R(senx, cos x )dx in cui seno e coseno sono legati da addizioni e/o sottrazioni
si risolvono con le formule parametriche ponendo
2t
1− t2
2
x
senx =
;
cos
x
=
; dx =
dt ; t = tg . L’integrale diventa razionale
2
2
2
2
1+ t
1+ t
1+ t
fratto e si calcola con i metodi del punto g.