1 2. RAZIONALIZZAZIONE DEL DENOMINATORE DI UNA FRAZIONE

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12. RAZIONALIZZAZIONE DEL DENOMINATORE DI UNA FRAZIONE
(esercizi a pag. 23)
L’esperienza mostra che in parecchi casi (non sempre, ma con grande frequenza),
quando in una frazione compare il SEGNO DI RADICE a DENOMINATORE,
tale segno di radice “dà fastidio”:
• può essere scomodo ai fini della valutazione del valore numerico del risultato,
• o per le esigenze del calcolo letterale,
• oppure può influire negativamente sulla compattezza e/o eleganza dell’espressione.
E’ spesso conveniente, dunque, operare sulla frazione (senza alterarne, beninteso, il valore),
in modo da cacciar via il segno di radice dal denominatore.
Tale procedimento prende il nome di “razionalizzazione del denominatore”.
Esso si effettua applicando la PROPRIETÀ INVARIANTIVA DELLE FRAZIONI, ossia
moltiplicando sia “sopra” che “sotto” per uno stesso numero,
da scegliersi opportunamente
( = da scegliersi in modo tale che, una volta eseguite le moltiplicazioni,
il nuovo denominatore non contenga più il segno di radice).
Due esempi:
2
♪
♫
4
4
2
4 2
=2 2
=
⋅
=
2
2
2 2
(
) (
( )
)
(
)
2 3− 7
2 3− 7
2
2 3− 7 2 3− 7
= 3− 7
=
⋅
=
=
=
9−7
2
3 + 7 3 + 7 3 − 7 32 − 7 2
Il fattore per cui moltiplicare
ambo i termini della frazione,
onde eliminare
il segno di radice
dal denominatore,
prende il nome di
“fattore razionalizzante”.
Passiamo ora in rassegna le casistiche più rilevanti di razionalizzazione.
‰
Regola 1:
‰
2 x 2 x y 2 xy
=
=
⋅
3y
3 y 3 y y
3
3
15 3 15
15
=
⋅
=
=
;
5
15
15 15 15 5
1
a b
⋅
b
b
=
ab
b
(
) = 4( 5 − 3 ) = 2 4 ( 5 − 3 ) = 2
(
2
5−3
2
( ) ( )
2 +3
2 2 +3
2 2 +3 2 2 +3
=
=
=
= − ( 2 2 + 3)
2
8−9
−1
2 + 3 2 2 − 32
( )
4 5− 3
4
4
5− 3
=
⋅
=
2
5+ 3
5+ 3 5− 3
5 − 3
1
1
2
=
⋅
2 2 −3 2 2 −3 2
Regola 2:
5− 3
)
1
a b ∓c d
a b ∓c d
⋅
= 2
a b − c2d
a b ±c d a b ∓c d
1
1 4 a3 4 a3 4 a3
=
⋅
=
=
‰
;
4
a
a 4 a 4 a3 4 a 4
xy
3 5 x 4 y 2t
=
xy
⋅
5 xy 3t 4
3 5 x 4 y 2t 5 xy 3t 4
=
xy 5 xy 3t 4
3 5 x 5 y 5t 5
=
xy 5 xy 3t 4
3 xy t
=
5 xy 3t 4
3t
Regola 3:
1
x n a m bpck
⋅
n n −m n −p n −k
a
b c
n n −m n −p n −k
a
b c
=
n n −m n −p n −k
a
b c
x n a n b n cn
=
n n −m n −p n −k
a
b c
x ⋅ abc
(m, p, k < n)
NOTA
NOTA: se così non fosse, si estrarrebbero innanzitutto uno o più fattori e ci si ricondurrebbe a questo caso
1
=
2+ 3+ 5
‰
=
(
1
)
2+ 3 + 5
⋅
(
(
)
3) −
13
2+ 3 − 5
2+
5
=
2+ 3− 5
(
2+ 3
) −( 5)
2
2
=
2+ 3− 5
2+ 3− 5 6
12 + 18 − 30 2 3 + 3 2 − 30
=
⋅
=
=
12
12
2 + 3 + 2 6 −5
2 6
6
L’ultimo esempio illustra la
Regola 4:
Quando a denominatore abbiamo la somma algebrica di tre termini con radicali quadratici,
prima di tutto si raggruppano due fra i termini entro parentesi,
poi si moltiplica per l’espressione che permette di ottenere il prodotto notevole
( a + b )( a − b ) ,
tenendo presente che in questo caso occorrono
DUE FASI SUCCESSIVE per completare la razionalizzazione.
Vediamo un’altra situazione analoga:
) = 2 2 + 5 −1 = 2 2 + 5 −1 =
2
2
5 − 1) ( 2 2 ) − ( 5 − 1)
8 − ( 5 − 2 5 + 1)
( )
2 2 + 5 − 1 2 2 + 5 − 1 2 2 + 5 − 1 1 − 5 ( 2 2 + 5 − 1)(1 − 5 )
=
=
=
⋅
=
=
2 (1 − 5 )
8 − 5 + 2 5 −1
2+2 5
2 (1 + 5 ) 1 − 5
2 ( 2 + 5 − 10 − 3)
2 2 + 5 − 1 − 2 10 − 5 + 5 2 2 + 2 5 − 2 10 − 6
=
=
=
=−
2 2+
1
1
=
⋅
2 2 − 5 + 1 2 2 − 5 −1 2 2 +
(
(
2 ⋅ ( − 4)
=
‰
5 −1
−8
84
3 + 10 − 5 − 2
4
1
3
5 +7
Questo caso, bizzarro ma rilevante, si affronta nel modo seguente:
si “tratta” l’espressione ( 3 5 + 7) come un binomio ( a + b)
che verrà moltiplicato per un’opportuna espressione,
in modo da ottenere come risultato a 3 + b3 e mandar via così le radici cubiche.
Ma questa espressione è il trinomio (a 2 − ab + b 2 ) !
Infatti è noto che a3 ± b3 = (a ± b)( a 2 ∓ ab + b 2 ) .
Dunque, nel nostro esempio,
( 3 5 ) − 7 3 5 + 49 = ( 3 5 ) − 7 3 5 + 49 = 3 25 − 7 3 5 + 49 = 3 25 − 7 3 5 + 49
2
3
5 + 343
348
( 3 5 ) − 7 3 5 + 49 ( 3 5 ) + 73
2
1
1
=3
⋅
3
5 +7
5 +7
2
Ancora due razionalizzazioni del medesimo tipo:
( 3 5 ) + 3 5 ⋅ 3 4 + ( 3 4 ) = 3 25 + 3 20 + 3 16 = 3 25 + 3 20 + 2 3 2
1
1
=
⋅
3
3
3
5 −3 4 3 5 −3 4 3 5 2 + 3 5⋅3 4 + 3 4 2
( )
( ) (3 5) −(3 4)
2
♪
2
= 5−4 = 1
♫
4
4
25 + 15 3 2 + 9 3 4 4 ( 25 + 15 3 2 + 9 3 4 ) 4 ( 25 + 15 3 2 + 9 3 4 )
=
⋅
=
=
125 − 54
71
5 − 3 3 2 5 − 3 3 2 25 + 15 3 2 + 9 3 4
Regola 5:
1
⋅
3
a ±3b
3
a 2 ∓ 3 ab + 3 b 2
3
a 2 ∓ 3 ab + 3 b 2
=
3
a 2 ∓ 3 ab + 3 b 2
a±b