Programma - Dipartimento di Matematica

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni
Anno Accademico 2009/10
Programma di Analisi Matematica
A.Capozzi
Numeri.
Concetti di base sugli insiemi. Un po’ di logica elementare. Il simbolo di sommatoria. Fattoriale di n. Coefficienti
binomiali e formula di Newton. Campi ordinati. Numeri reali. Inadeguatezza dell’insieme dei razionali per misurare le
lunghezze. Estremo superiore e assioma di continuità. Valore assoluto. Disuguaglianza triangolare. Intervalli. Radici
n-sime aritmetiche. Potenze a esponente reale. Logaritmi. Approssimazioni. Insiemi infiniti. Il principio di induzione.
Numeri complessi. Definizione di C e struttura di campo. Coniugato e modulo. Forma trigonometrica. Radici n-sime.
Funzioni di una variabile.
Il concetto di funzione. Funzioni reali di variabile reale. Generalità. Funzioni limitate. Funzioni simmetriche. Funzioni
monotone. Funzioni periodiche. Funzioni elementari. Funzioni potenza. Funzioni esponenziali e logaritmiche. Funzioni
trigonometriche. Fenomeni vibratori. Funzioni parte intera e mantissa. Funzioni iperboliche. Operazioni sui grafici.
Funzioni definite a tratti. Funzioni composte. Funzioni invertibili; funzioni inverse. Le funzioni trigonometriche
inverse. Le funzioni iperboliche inverse.
Limiti e continuità.
Definizione di successione. Definizione di limite. Successioni monotone. Il calcolo dei limiti. Il numero e. Confronti e
stime asintotiche. Limite di funzioni, continuità, asintoti. Proprietà fondamentali di limiti e continuità. Limiti notevoli.
Confronti e stime asintotiche. Funzioni continue su un intervallo. Funzioni monotone su un intervallo. Continuità e
invertibilità.
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile.
Introduzione al calcolo differenziale. Derivata di una funzione. Derivata e retta tangente. Altre interpretazioni della
derivata. Derivate di funzioni elementari. Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale. Regole di calcolo delle
derivate. Algebra delle derivate. Derivata di una funzione composta. Derivata di funzione inversa. Il Teorema del valor
medio e le sue conseguenze. Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Teorema del valor medio. Test di monotonia. Il
teorema di de l’Hospital. Limite della derivata e derivabilità. Significato geometrico della derivata seconda. Derivata
seconda, concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione. Calcolo differenziale e approssimazioni.
Differenziale e approssimazione lineare. Il simbolo di “o piccolo”. Limiti notevoli e sviluppi. Formula di TaylorMacLaurin con resto secondo Peano. Formula di Taylor-MacLaurin con resto secondo Lagrange.
Serie.
Serie numeriche. Definizione e primi esempi. Serie a termini non negativi. Serie a termini di segno variabile.
Calcolo integrale per funzioni di una variabile.
Introduzione al calcolo integrale. L’integrale come limite di somme. La definizione di integrale. Classi di funzioni
integrabili. Proprietà dell’integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo di integrali. Integrali
immediati, per scomposizione, per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per parti.
Integrazione delle funzioni trigonometriche. Integrazione delle funzioni discontinue. Integrali generalizzati.
Integrazione di funzioni non limitate. Criteri di integrabilità al finito. Integrazione su intervalli illimitati. Criteri di
integrabilità all’infinito. Funzioni integrali. Alcuni risultati fondamentali per le successioni di numeri reali. Continuità
uniforme.
Equazioni differenziali.
Modelli differenziali. Equazioni del I ordine. Generalità. Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del I ordine.
Equazioni lineari del II ordine. Spazi di funzioni. Generalità sulle equazioni lineari. Problema di Cauchy. La struttura
dell’integrale generale. Equazioni omogenee a coefficienti costanti. Equazioni non omogenee.
Calcolo infinitesimale per le curve.
Funzioni a valori vettoriali, limiti e continuità. Curve regolari e calcolo differenziale vettoriale. Esempi introduttivi.
Arco di curva continua. Derivata di una funzione vettoriale. Arco di curva regolare. Integrale di una funzione a valori
vettoriali. Lunghezza di un arco di curva. Curve rettificabili e lunghezza. Cambiamento di parametrizzazione, curve
equivalenti. Parametro arco o ascissa curvilinea. Integrali di linea (di prima specie).
Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili reali.
Grafici e insiemi di livello. Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Definizioni e proprietà di limiti e funzioni
continue. Calcolo del limite in più variabili: analisi delle forme di indeterminazione. Topologia in IR n e proprietà delle
funzioni continue. Concetti fondamentali. Proprietà topologiche delle funzioni continue. Derivate parziali. Piano
tangente. Differenziabilità e approssimazione lineare. Derivate direzionali. Calcolo delle derivate. Derivate di ordine
superiore. Matrice hessiana, formula di Taylor al secondo ordine. Generalità sui problemi di ottimizzazione. Estremi
liberi. Condizioni necessarie del prim’ordine. Studio della natura dei punti critici. Funzioni definite implicitamente.
Funzione implicita di una variabile.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali a valori vettoriali.
Generalità sulle funzioni di più variabili a valori vettoriali. Trasformazioni di coordinate. Campi vettoriali. Limiti,
continuità e differenziabilità per funzioni f: Rn → Rm .
Calcolo integrale per funzioni di più variabili.
Integrali doppi. Integrale di una funzione limitata definita su un rettangolo. Funzioni integrabili su domini non
rettangolari. Insiemi semplici, regolari, misurabili. Proprietà elementari dell’integrale doppio. Calcolo degli integrali
doppi: metodo di riduzione e cambiamento di variabili.
Campi vettoriali.
Linee di campo. Gradiente, rotore e divergenza. Integrale di linea di un campo vettoriale. Lavoro e circuitazione.
Campi conservativi e potenziali. Campi irrotazionali. Insiemi semplicemente connessi. Il linguaggio delle forme
differenziali. Formule di Gauss-Green nel piano.
Serie di potenze e serie di Fourier.
Serie di funzioni e convergenza totale. Serie di potenze. Proprietà fondamentali delle serie di potenze. Serie di Taylor e
serie di potenze. Serie trigonometriche e serie di Fourier. Polinomi trigonometrici e serie trigonometriche.
Teoria qualitativa di equazioni differenziali e sistemi
Cenni sulle equazioni del prim’ordine. Equazioni di Bernoulli.
“Analisi Matematica I” – Dimostrazioni : T.3.4 – C 3.7 – T.3.26 – T.3.28 – T.4.1 – T.4.5 – T.4.7 – T. 4.9 – T. 6.5
“Analisi Matematica II” – Dimostrazioni : T.1.5 – T 1.6 – T.1.7 – P.2.4 – P.3.2 – T 6.2
Testi di riferimento:
M. Bramanti – C.D. Pagani – S. Salsa “Analisi Matematica I “ – Zanichelli
M. Bramanti – C.D. Pagani – S. Salsa “Analisi Matematica II “ – Zanichelli
M. Bertsch – R. Dal Passo – L. Giacomelli “ Analisi Matematica” – McGraw-Hill