Progetto dei Filtri IIR con le Trasformazioni 2

I modelli di Chebyshev
Si può ottenere una velocità di caduta più rapida in prossimità della frequenza di
taglio rispetto a quella del modello di Butterworth, a discapito di una diminuzione
di monotonicità nel passa-banda o attenua-banda.
I modelli di Chebyshev (tipo I e II) mantengono la monotonicità in una banda, ma
non presentano oscillazioni (equiripple ) nell’altra banda come illustrato in fig. 8.4.
Figura 8.4 Risposte di ampiezza per filtri a fase lineare del I° e II° tipo di Chebyshev con N=4
M. Usai
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1
La risposta di ampiezza al quadrato per il modello
Chebyshev-I (piatto nella stop-banda) è della forma:
2
H c ( jΩ ) =
1
,
2 2
1 + ε T N (Ω / Ω c )
La risposta di ampiezza al quadrato per il modello
Chebyshev-II (piatto nella banda passante) è della forma:
1
2
,
H c ( jΩ ) =
2 2
1 + ε TN (Ω c / Ω)
(8.1.6)
(8.1.6)
dove TN(x) è il polinomio di ordine N di Chebyshev definito da :
TN(x)=cos(N cos-1x)=cosh [N cosh-1 x]
(8.1.7)
I polinomi di Chebyshev possono essere generati ricorsivamente ponendo:
T0(x)=1, T1(x)=x → TN+1(x)= 2xTN(x)-TN-1(x)
per cui: T2(x)=2x-1 etc.
M. Usai
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2
Poiché T1(1)=1 per tutti i valori di N, la risposta di ampiezza al quadrato, alla
frequenza di taglio eguaglia
1
2 è quindi
,
e
ε
1+ ε 2
determinato dall’oscillazione (ripple) del passabanda, δ1 come :
(1 − δ1)2 =
1
1 + ε 2 *1*(Ωc / Ωc )
⇒ ε2 =
1
(1 − δ1)2
−1
(8.1.8)
Quindi il modello di Chebyshev-I è caratterizzato da:
• frequenza di taglio;
• dall’oscillazione (ripple) del passabanda;
• dall’ordine N, e infine
• dalla determinazione delle specifiche dello stop-banda.
Il valore richiesto di N per determinate specifiche
stop-banda è ottenuto dalla (8.1.6) e (8.1.7) come:
cosh −1 (1 / δ 2ε )
N≈
.
−1
cosh (Ω r Ω c )
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(8.1.9)
3
I poli di Hc(s) vengono determinati da quelli di Hc(s) Hc(-s) come nel caso
Butterworth e giacciono su una ellisse del piano s .
Gli zeri di Hc(s) sono tutti all’infinito per un filtro di tipo I, e quindi questo
è un altro modello tutto-poli (all-pole) continuo nel tempo.
Per ottenere Hc(s) Hc(-s) dalla (8.1.6), è necessario fare il quadrato del
polinomio di Chebyshev TN(x) di ordine N.
E’ facile dimostrare che:
TN2 ( x) =
T2 N ( x) + 1
2
,
ed è più facile calcolarlo ricorsivamente che fare direttamente il quadrato di
TN(x).
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4
Analogamente il modello di Chebyshev-II è caratterizzato da:
• frequenza di taglio;
• dall’oscillazione (ripple) nella stop-banda;
• dall’ordine N, e infine
• dalla determinazione delle specifiche del passa-banda.
Si sottolinea che il filtro di Chebyshev di tipo I passa-basso è
complementare di potenza del filtro di Chebyshev di
tipo II passa-alto e viceversa (cioè I passa-alto e II passa-basso).
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Modello ellittico
Con il modello ellittico (o Cauer) si ottiene la più netta transizione dal
passa-banda alla stop-banda per δ1 , δ2 e N dati.
La risposta di ampiezza di un filtro ellittico è equiripple (ugualmente
oscillante) sia nel passa-banda che nella stop-banda come illustrato in figura
8.5.
Figura 8.5 Risposta in ampiezza del filtro ellittico a fase lineare per N=3.
La risposta di ampiezza al quadrato è della forma:
1
2
,
(8.1.14)
H c ( jΩ ) =
2
2
1 + ε U N (Ω / Ω c )
dove UN(Ω) è una funzione ellittica jacobiana.
Una discussione delle funzioni ellittiche va oltre gli scopi del corso, si fa
presente la disponibilità e la larga diffusione di software per ottenere il
modello del filtro ellitico come nei toolbox di MATLAB.
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Si può osservare quindi dalla figura 8.5 che gli zeri di Hc(s) devono giacere
lungo l’asse jΩ come per il caso Chebyshev II.
E’ ragionevole a questo punto chiedersi perché non si sceglie sempre il
modello ellittico che soddisfa le specifiche del tipo in figura 8.1, con un
ordine N più basso rispetto a ogni altro modello di filtro.
• Il filtro ellitico o di Cauer non è monotonico in nessuna banda mentre i
modelli di Chebyshev sono monotonici in una banda e il modello di
Butterworth è monotonico in entrambe.
• Un altro importante motivo è che la risposta di fase nel modello
ellittico risulta meno lineare nel passa-banda, soprattutto vicino
alla frequenza di taglio, rispetto alla risposta degli altri modelli.
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Trasformazione analogiche in frequenza s→s
Si utilizzano per passare da un filtro passa-banda agli altri tipi ( Passa Alto, Passa
Banda , Attenua Banda) mediante cambiamento di variabili con l’ausilio di tabelle o
programmi CAD.
Trasformazioni s→z
Si vuole risolvere il seguente problema:
data una funzione Hc(s) razionale (equazione differenziale) trovare una
corrispondente funzione H(z) razionale (equazione alle differenze finite) tale che:
• mantenga il più possibile inalterata la risposta in ampiezza e fase (Ω → ω);
ω [rad] frequenza discreta e Ω frequenza continua [rad/sec]: ω=ΩT o Ω= ω/T
• mantenga la caratteristica di stabilità.
Si stabilisce un opportuno mappaggio tra il piano s e il piano z :
H(z)
Hc(s)
equazioni differenziali
⇒
eq. differenze finite
h(t)
h(n)
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Esistono numerosi metodi disponibili:
1.
2.
3.
Approssimazione dell’equazione differenziale, approssimando le derivate
con le differenze finite;
Invarianza all’impulso, campionando la soluzione dell’equazione (risposta
impulsiva);
Trasformazione bilineare approssimando l’integrale soluzione (metodo
trapezoidale).
Approssimazione dell’equazione differenziale
L'approssimazione dell’equazione differenziale consiste nel sostituire le derivate
con le differenze finite relative agli ultimi due valori assunti. Se T è il periodo
di campionamento:
dy (n)
y (n) − y (n − 1)
→
= ∇1 y (n)
dt
T
e per il termine generico iesimo:
d i y ( n) ∇i −1 ( y (n) ) − ∇i −1 ( y (n − 1) )
→
i
T
dt
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La procedura può essere così schematizzata:
Hc(s)
↓
k
N
d yc (t ) M d k xc (t )
= ∑ bk
∑ ak
k
k =0
k =0
dt
dt k
↓
N
M
∑ ak ∇ k ( y (n) ) = ∑ bk ∇ k ( x(n) )
k =0
N
dove:
yc(t)
xc(t)
x(n)
y(n)
M. Usai
k
↓
k
⎛1 − z ⎞
⎛1 − z ⎞
⎟ Y ( z ) = ∑ bk ⎜
⎟ X ( z)
k
=
0
⎝ T ⎠
⎝ T ⎠
↓
H(z)
∑ ak ⎜
k =0
k =0
−1
M
−1
uscita continua
ingresso continuo
ingresso campionato con periodo T
uscita campionata con periodo T e risulta
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k
k
⎛1 − z ⎞
⎛1 − z ⎞
⎟ Y ( z ) = ∑ bk ⎜
⎟ X ( z)
k =0
⎝ T ⎠
⎝ T ⎠
N
∑ ak ⎜
k =0
−1
M
−1
k
1
−
⎛
⎞
1− z
1− z
Z [∇1 x(n)] =
Y ( z)
⎟ Y ( z)
Z [ ∇ k x ( n) ] = ⎜
⎜
T
T ⎟
⎝
⎠
−1
1
1− z
z=
s=
1 − sT
T
equivalente a un mappaggio del piano s e nel piano z come
riportato in figura:
−1
jΩ
Im
immagine di σ<0
piano s
1
piano z
immagine di jΩ
σ<0
1
σ
Re
s=σ+jΩ
T= periodo di campionamento
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Le caratteristiche di questo metodo sono le seguenti:
1.
conserva la stabilità: Re[s]<0 →|z|<1
2.
conserva la risposta in frequenza solo in un piccolo intervallo
intorno z=1 (tangenza fra 2 cerchi).
Per utilizzare questa procedure é necessario che Hc(s) sia limitata in
banda e che T sia opportuno ( sovracampionamento alto).
Si usa poco e solo per filtri passa-basso.
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8.2 Trasformazione invariante all’impulso
Si possono usare differenti trasformazioni per convertire modelli di
filtri continui
nel tempo in modelli discreti nel tempo, i metodi più semplici sono:
• l’invarianza all’impulso e
• la trasformazione bilineare.
Metodo della l’invarianza all’impulso
Il metodo consiste nel campionare la risposta impulsiva.
Poniamo che hc(t) sia la risposta impulsiva corrispondente ad Hc(s), e
definiamo la trasformazione da continua nel tempo a discreta nel
tempo ponendo:
h(n) = hc(nT)
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(8.2.1)
13
In questo modo si campiona la risposta all’impulso continua nel tempo per
ottenere la risposta del filtro discreto nel tempo.
Come si è visto nel paragrafo 6.3, la risposta in frequenza H1(ω)
corrispondente alla (8.2.1) è la trasformata di Fourier della funzione continua
∞
nel tempo:
(8.2.2)
hs (t ) = ∑ hc ( nT )δ (t − nT )
n = −∞
e quindi dalla (6.3.10),
1 ∞
⎡ j (ω − 2πk ) ⎤
H ' (ω ) = ∑ H c ⎢
.
(8.2.3)
⎥
T k =−∞ ⎣
T
⎦
La funzione di trasferimento corrispondente alla h(n) = hc(nT), è
analogamente:
1 ∞
2π ⎞
⎛
H ( z ) | z =e sT = ∑ H c ⎜ s − jk
⎟,
T k =−∞ ⎝
T ⎠
(8.2.4)
che è una trasformazione del tipo many-to-one dal piano s al
piano z.
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Dalla (8.2.4) si vede facilmente che la trasformazione varianza all’impulso
mappa l’asse jΩ e il semipiano sinistro s, nel cerchio di raggio unitario e nel suo
interno, mediante z=esT come riportato in figura:
jΩ
3π/T
Im
π/T
-π/T
-π/2T
π/T
Re
-π/T
Piano z
-3π/T
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Piano s
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Le caratteristiche del metodo sono le seguenti:
1.
ogni striscia di larghezza 2π/T viene mappata all’intero del cerchio di
raggio unitario nel piano Z;
2.
preserva la stabilità : Re[s]→|z|<1;
3.
se non c'è aliasing, preserva la risposta in frequenza:
all’asse jΩ (+π/T, -π/T) → corrisponde il cerchio unitario.
Può essere utilizzato solo per filtri limitati in banda, in genere passa-basso.
Sebbene la risposta all’impulso del filtro continuo nel tempo è garantita
secondo (8.2.1) dalla sua trasformazione, la risposta in frequenza spesso può
essere alterata in modo significativo, al punto da non essere usata.
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In particolare la (8.2.3) implica che la H’(ω) sia una versione aliased di
Hc(jω/T), come illustrato in figura 8.6 per un modello passa-basso.
Figura 8.6 Risposta di ampiezza risultante dalla trasformazione della invarianza all’impulso.
Quindi le caratteristiche stop-banda sono preservate nella risposta di
frequenza discreta nel tempo, soltanto se le code (tails) aliased di
Hc(jω/T) sono sufficientemente piccole.
Anche il passa-banda è influenzato, ma questo effetto è generalmente meno
pronunciato rispetto allo stop-banda.
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E’ chiaro dalla figura 8.6 che i modelli passa-basso di Butterworth e di
Chebyshev-I sono più appropriati per la trasformazione invarianza
all’impulso rispetto i modelli di Chebyshev-II ed ellittico perché i primi
sono monotonici nella stop-banda, mentre i secondi non lo sono.
In particolare la caratteristica equiripple dello stop-banda dei modelli di
Chebyshev-II ed ellittico sarà generalmente perduta, se si utilizza la
trasformazione invarianza all’impulso.
Allo stesso modo questa trasformazione non può essere applicata
direttamente ai modelli passa-alto e stop-banda, perché essi non sono a
banda limitata.
Prima di fare la trasformazione invarianza all’impulso a Hc(s), essa deve
essere sviluppata in fratti :
Ak
H c ( s) = ∑
,
k =1 s − s k
dove si assume che non ci siano poli multipli.
N
M. Usai
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(8.2.5)
18
Quindi poiché:
N
h c (t) = ∑ A k e sk t u(t) ,
(8.2.6)
k =1
si ha dalla (8.2.1) ponendo t=nT, che :
N
h(n) = ∑ A k e sk nT u(n)
e quindi
(8.2.7)
k =1
N
H(z) =
∑
k =1
Ak
,
s k T −1
1− e z
(8.2.8)
Perciò i parametri di H(z) possono essere ottenuti direttamente da Hc(s)
senza preoccuparsi di valutare hc(t) o h(n).
Si noti che i poli sul piano s in sk sono tracciati come poli nel piano z in
pk=eskT attraverso la trasformazione varianza all’impulso.
Comunque questa trasformazione non è semplicemente una mappatura di Hc
o H(z) attraverso il cambiamento di variabile z=esT come si può vedere dalla
(8.2.4).
In particolare, gli N zeri di Hc(s), che comprendono quelli all’infinito, non
possono essere mappati in questo modo.
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19
Può essere definita una trasformazione che mappa gli zeri così come i poli,
direttamente da z=esT ed è infatti chiamata matched zeta transform.
Comunque, sebbene possono essere progettati in questo modo dei filtri
perfettamente utilizzabili , attraverso questa trasformazione non viene
conservata nessuna specifica proprietà nel dominio della frequenza e del
tempo per cui questo metodo non é molto usato.
Una osservazione relativa alla trasformazione invarianza all’impulso è
che per T<<1 (cioè Ωt >>1), il fattore 1/T nella (8.2.3) implica un
guadagno grande nel filtro risultante discreto nel tempo.
Per mantenere il massimo di |H’(ω)| confrontabile con quello di |Hc(jΩ)|,
la trasformazione viene spesso definita nella forma:
N
H ( z) =
∑1 − e
k =1
M. Usai
Ak T
s k T −1
z
,
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(8.2.9)
20
che implica:
h(n)=T hc(nT)
(8.2.10)
Quindi la risposta impulsiva viene attenuata del fattore T, e la risposta in
frequenza risulta semplicemente:
⎡ j (ω − 2πk ) ⎤
H ' (ω ) = ∑ H c ⎢
.
⎥
k = −∞
T
⎣
⎦
∞
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(8.2.11)
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