La Trasformata Z

La Trasformata Z
M. Usai
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1
3 LA TRASFORMATA Z
Per i sistemi a tempo discreto la trasformata z è come la
trasformata di Laplace per i sistemi a tempo continuo.
Rappresenta una generalizzazione della trasformata di Fourier
per i segnali e i sistemi a tempo discreto (TD).
La relazione tra input e output di un sistema a tempo discreto
richiede la moltiplicazione di appropriate trasformate z.
Per la trasformata Z possono essere definiti poli e zeri
(valori di Z che annullano rispettivamente il denominatore e
il numeratore della trasformata) e le stesse utili regole e
intuitivi significati validi per i sistemi a tempo continuo.
Dalla trasformazione Z è facilmente ottenibile
la risposta in frequenza del sistema e può essere messa in relazione
con un’appropriata trasformata di Fourier.
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2
La rappresentazione dei segnali campionati in termini di
L-Trasformata è data dalla relazione:
∞
X ( s ) = ∑ x(nT ) e − nTs
n =0
essa contiene i termini esponenziali, ciascuno dei quali rappresenta
il ritardo finito del generico impulso ennesimo.
Per ottenere una forma algebrica della equazione caratteristica dei
sistemi campionati si esegue una trasformazione dalla variabile
complessa s a una variabile z:
1
sT
da cui:
z=e
⇒ s = ln z
T
X(z) = X(s) s= 1 ln z =
T
∞
∑ x(nT) e
-nTs
n =0
1
s = ln z
T
=
∞
−n
∑ x(nT) z
n =0
che prende il nome di z trasformata della funzione x(nT) di
cui la X(s) è la L-Trasformata.
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3
Confrontando la L-Trasformata e la Z-Trasformata:
∞
∫
X(s) = L{x(t)} = x(t) e - ts dt
0
e
X(z) = Z{x(nT)} =
si vede come:
∞
∑
x(nT ) z − n
n =0
•
la variabile continua e indipendente t sia sostituita dalla
variabile discreta n;
•
l’integrazione sia sostituita da una sommatoria.
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4
3.1 Definizione della trasformata Z
La trasformata z della sequenza x(n) è definita dalla relazione:
X (z) =
∞
∑
x(n) z −n
(3.1.1) con z variabile complessa.
n = −∞
La trasformata Z è definita come
¾ trasformata Z bilatera (two-sided z trasform), per n che varia
da -∞ a +∞
∞
¾ trasformata Z monolatera(one-sided z trasform), X ( z ) = ∑ x(n) z − n
n =0
che è la stessa espressione per n che varia da 0 a ∞.
Quindi la trasformata Z monolatera (one-sided z trasform) è usata soprattutto
per le sequenze causali, dove le due trasformazioni sono sempre identiche.
Per la presenza del fattore z -n è possibile che la trasformata Z converga, anche
quando la DTFT non converge.
La trasformata z monolatera si utilizza per la soluzione di equazioni alle
differenza finite con condizioni iniziali non nulle (analogamente alle L-trasformate
monolatere).
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5
Di seguito non sarà fatta questa distinzione e semplicemente ci si
riferirà alla trasformata bilatera come alla trasformata Z della x(n).
Per la trasformata Z valgono le seguenti proprietà:
¾ Le due versioni coincidono se x(n)=0 per ∀ n<0;
¾ per z=ejω la trasformata z bilatera coincide con la trasformata
discreta di Fourier (DTFT Discrete-Time Fourier Transform) di
una sequenza x[n], se questa esiste;
¾ entrambe le trasformate ( Laplace e Fourier) sono operatori
lineari:
Z{a x1(n)+b x2(n)}=a Z{x1(n)}+b Z{x2(n)}.
Si noti che la funzione X(z) è, di fatto, una serie di Laurent nella
variabile complessa z e così tutte le proprietà e i teoremi validi per
queste serie nella teoria delle variabili complesse si applicano alla
trasformata z.
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6
Es: Poiché i termini della sommatoria sono moltiplicati per z –n, è
possibile che la trasformata Z converga quando la DTFT non
converge.
X1[n]
5
3
3
1
1
n
-6 -5
X 1 [n]
⇒
+∞
(
-3
-2 -1
0
X [− 6] = 0, X [− 5] = 1, K , X [0] = 0
X [z ] = ∑ X [n]⋅ z
−∞
-4
−n
)⋅ e
per cui:
− jω n
X [z ] = 0 ⋅ z 6 + 1⋅ z 5 + 3 ⋅ z 4 + 5 ⋅ z 3 + 3 ⋅ z 2 + 1⋅ z1 + 0 ⋅ z 0
che converge ∀ z tranne che per z = ∞ ⇒ ∞ n = ∞
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7
X2[n]
5
3
3
1
1
n
-3 -2
X 2 [n]
⇒
X [− 3] = 0,
X [1] = 3,
-1
0
1
X [− 2] = 1,
X [2] = 1,
2
3
X [− 1] = 3,
X [0] = 0
X [0] = 5,
X [z ] = 0 ⋅ z 3 + 1 ⋅ z 2 + 3 ⋅ z + 5 ⋅ z 0 + 3 ⋅ z −1 + 1⋅ z −2 + 0 ⋅ z −3
(
converge ∀ z tranne che per z = 0 0 −1 = ∞
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)
(
e per z = ∞ ∞ n = ∞
)
8
X3[n]
5
3
3
1
1
n
0 1
X 3 [n]
⇒
X [0] = 0,
X [4] = 3,
2
3
X [1] = 1,
X [5] = 1,
4
5
6
X [2] = 3,
X [6] = 0
X [3] = 5,
X [z ] = 0 ⋅ z 0 + 1⋅ z −1 + 3 ⋅ z −2 + 5 ⋅ z −3 + 3 ⋅ z −4 + 1⋅ z −5 + 0 ⋅ z −6
converge ∀ z tranne che per z = 0, infatti 0−1 = ∞
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X[n]
…
gradino unitario
…
n
x[n] = u[n] non è assolutamente sommabile, infatti:
+∞
∑ u[n] = ∞
n = −∞
mentre la sequenza z-n u[n] è assolutamente sommabile se z > 1
Infatti:
X [z ] = 1⋅ z 0 + 1⋅ z −1 + 1⋅ z −2 + 1 ⋅ z −3 + L
Per il gradino unitario la trasformata z esiste con una ROC |z|>1
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ALTRI ESEMPI
∞
∑a
La serie
−n
∞
può essere espressa:
n =0
n =0
n2
n2
e la serie
∑a
−n
a
∑
−n
a
∑
n = n1
n = n1
−n
1
=
1 − a −1
per a > 1
a − n1 − a − (n2 +1)
=
1 − a −1
Esempio 1
Im
x[n] = a nu[n]
+∞
∞
n = −∞
n =0
X [z ] =
( )
−n
−1
n
[
]
a
u
n
z
=
az
=
∑
∑
n
1
z
=
1 − az −1 z − a
a
Re
ROC
Converge per |az –1| < 1 per cui deve essere | z | > | a |
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Im
Esempio 2
x [ n ] = − a n ⋅ u [ − n − 1]
X [ z] = −
|a|
∞
∑ a u [−n − 1] z
n
−n
Re
ROC
=
n =−∞
−1
=−
∑
∞
an z −n = −
n =−∞
∑
n =1
∞
a−n z n = −
∑
n =1
−1
a
( z) = −
n
∞
∑
n =1
n
⎛z⎞
⎜ ⎟ =
⎝a⎠
z z2 z3 z4
z ⎛ z z2 z3
⎞
= − − 2 − 3 − 4 − .... = − ⎜1 + + 2 + 3 + ... ⎟
a a a a
a⎝ a a a
⎠
z
=−
a
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∞
∑
n=0
n
−z / a
z
⎛z⎞
=
⎜ ⎟ =
⎝ a ⎠ 1− z / a z − a
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converge se | a–1 z | < 1
|z|<|a|
12
Esempio 3
n
n
⎛1⎞
⎛ 1⎞
x[n] = ⎜ ⎟ u[n] + ⎜ − ⎟ u[n]
⎝ 2⎠
⎝ 3⎠
X [z ]
∞
n
∞
n
⎛ 1 −1 ⎞
⎛ 1 −1 ⎞
=
⎜ z ⎟ +
⎜− z ⎟ =
2
3
⎠
⎠
n =0 ⎝
n =0 ⎝
∑
∑
1
1
=
+
1 −1
1 −1
1+ z
1− z
3
2
1⎞
⎛
2 z⎜ z − ⎟
12 ⎠
⎝
=
1 ⎞⎛ 1 ⎞
⎛
z
−
⎜
⎟⎜ z − ⎟
2 ⎠⎝
3⎠
⎝
La ROC è definita per | 1/2 z-1 | < 1 e | 1/3 z-1| < 1 ossia per
| z | > 1/2 e | z | > 1/3. La prima condizione le verifica entrambe.
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13
Esempio 4
x[n] = a1n + K + ann
X [z ] =
n>0
1
1
L
+
+
1 − a1 z −1
1 − an z −1
La ROC è definita per | z | > max( | a1 | , … , | an | )
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Regione di convergenza
Per definire la regione di convergenza occorre tener presente
che essa:
• non può contenere alcun polo, infatti per definizione la
trasformata z non converge in corrispondenza di un polo
•
ed è limitata da poli o da zeri o da infinito.
Per dimostrare ciò si possono fare le considerazioni riportate
di seguito.
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15
Per verificare che la regione di convergenza è limitata da poli
si consideri da prima il caso una sequenza monolatera
destra e assumiamo che i poli siano a0, a1, …., aN , essendo
aN il polo a cui corrisponde l’ampiezza maggiore.
Per semplicità si ipotizza che i poli siano tutti semplici, poiché
la dimostrazione é facilmente generalizzabile.
Quindi per n>n0 definito, la sequenza consiste in una
sommatoria di esponenziali della forma:
N
x ( n) =
∑
Ak ( ak ) ,
n
n>n 0
k =0
La regione di convergenza è determinata dall’insieme dei
valori di z per i quali la sequenza x(n) z-n è assolutamente
sommabile.
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• Poiché una sequenza monolatera destra della forma (ak ) n z − n
é assolutamente sommabile per |z|> |aN|, ma non per |z|<|aN|.
Ciò implica che la sequenza x(n) ha una regione di
convergenza definita per |z|> |aN|, cioè è limitata all’interno
dal polo con ampiezza maggiore e all’esterno dall’infinto.
Im(z)
z plane
R
r-
Re(z)
× × ×
a b c
a) Right-sided x(n)
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Im(z)
Z plane
R
r+
Re(z)
× × ×
a b c
b) Left-sided x(n)
• Con procedimento analogo si dimostra che per la sequenza
monolatera sinistra la regione di convergenza è limitata
all’esterno dal polo con ampiezza minore e all’interno da
z=0, se no>0, mentre converge anche in z=0 quando no≤0,
essendo la sequenza anticausale.
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18
Per una sequenza bilatera alcuni dei poli sono relativi a indici
n≥0 e la restante parte a indici n≤0.
La regione di convergenza sarà limitata:
• all’interno dal polo con ampiezza maggiore relativo a indici
n con n ≥0 e
• all’esterno dal polo con ampiezza minore relativo a indici n
con n ≤0.
Im(z)
r+
z plane
r-
R
Re(z)
× × ×
a b c
c) Two-sided x(n)
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19
Regione di convergenza
In generale la serie X(z) converge solo per certi valori di z, ossia:
z = z e jω
converge se:
+∞
∑
⇒
X(z) =
∑ (x(n) ⋅ z ) e
+∞
−n
-jωj
n = -∞
x(n) ⋅ z
−n
< +∞
n =-∞
ossia se è verificata la condizione di assoluta sommabilità.
Osservazioni:
1. La Z{} può essere applicata ad una classe di sequenze più
ampia rispetto alla Trasformata Discreta di Fourier(DTFT);
2. Se c’è convergenza per z0=|z0|e jω o, la serie converge in tutti i
punti della circonferenza di raggio |z0| e centro nell'origine;
3. Calcolare la Trasformata Discreta di Fourier (DTFT) equivale
a valutare la Z{} sul cerchio unitario.
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Sequenze bilatere generiche (Two-Sided z Transform):
la regione di convergenza R per X(z), se esiste, è un anello anulare
(anular ring) nel piano z della forma:
(3.1.2.)
r- < |z| < r+ ;
r- e r+ devono essere incluse nelle specificazioni di X(z) affinché
la trasformata di z sia completamente definita.
Le quattro possibili forme della R sono illustrate nella figura
successiva.
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21
Im(z)
R
r-
Re(z)
Si noti che nei casi riportati nelle figure
(b) e (d), il limite inferiore della ROC é:
r- = 0,
Im(z)
mentre nei casi riportati nelle figure (a) e
R r+
Re(z) (d), il limite superiore della regione di
convergenza è: r+ =∞.
La ROC può, o non può contenere z = 0 o
a) Right-sided x(n)
b) Left-sided x(n)
z = ∞, rispettivamente. Per esempio nel
caso(a) si può avere:
r- < |z| < ∞ oppure r- < |z| ≤ ∞
Im(z)
Im(z)
mentre nel caso (b):
r+
R
0< |z| < r+ oppure 0< |z| ≤ r+.
rRe(z)
Re(z) Tutti i quattro casi diventano gli stessi se
r- =0 e se r+=∞ : in tal caso x(z) converge
R
ovunque, fatta eccezione per z=0 e/o
c) Two-sided x(n)
d) Finite-Duration x(n) z=∞.
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22
Tutti e quattro i casi corrispondono alle seguenti condizioni nel
dominio del tempo:
Sequenze monolatere destre (Rigth-sided sequences):
Una sequenza x(n) che soddisfa la condizione: x(n) = 0
n < n0
con n0 definito, è chiamata sequenza monolatera destra
∞
(rigth-sided sequence).
X (z) =
x(n) z −n
La sua trasformata Z è quindi della forma:
n = n0
e, se converge per z = r, essa converge per tutti gli |z|>|r| con possibile
eccezione per z = ∞, come illustrato in figura 3.1(a).
In particolare se n0 <0, la trasformata z contiene il termine z|no|e quindi
non converge per z = ∞.
Comunque, se n0 ≥ 0, la sequenza è causale e X(z) converge per z=∞.
∑
L'ultimo caso è particolarmente utile poiché, se la regione di
convergenza R contiene z=∞, si deduce immediatamente che la
sequenza è causale.
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23
Sequenze monolatere sinistre(Left-sided sequence):
Una sequenza x(n) che soddisfa la condizione:
x(n)=0
n>n0,
per un certo valore di n0, è chiamata sequenza monolatera
sinistra (left-sided sequence).
La sua trasformata è quindi della forma: X ( z ) =
n0
∑
x(n) z −n
n = −∞
e se converge per z = r, converge per tutti i |z| < |r| con possibile
eccezione per z = 0, come illustrato per in fig. 3.1(b). In particolare,
se n0 > 0, allora X(n) contiene il termine z -|no| e quindi non converge
per z = 0. Comunque, se n0 ≤ 0, la sequenza è anticausale, e la sua
trasformata converge per z = 0.
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24
Sequenza bilatera (two-sided sequence):
Se una sequenza x(n) non è nè monolatera destra né monolatera
sinistra, e non ha lunghezza finita, è chiamata sequenza bilatera, e
la regione di convergenza R per X(z) è della forma mostrata in fig.
3.1(c), ammesso che esista.
Sequenza di durata finita (Finite-length sequence):
Se x(n) =0 , n<n1 e n>n2, è evidente dalla definizione della
trasformata z, che X(z) è converge ovunque tranne che per z=0 e/o
per z=∞ , vedi fig.3.1 (d).
In particolare, se n2 ≤ 0, allora x(n) è anticausale, e X(z) converge per
z = 0. Se d'altro canto, n1≥0 allora x(n) è una sequenza causale, e
X(z) converge per z = ∞.
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25
Funzioni razionali in z
Una importante classe delle trasformate Z è quella delle funzioni
razionali X(z), cioè rapporto di polinomi in z.
•Le radici del polinomio a numeratore sono chiamati zeri di X(z)
poiché per questi valori di z, X(z) è uguale a zero.
• Le radici del polinomio a denominatore sono chiamati poli di
X(z), poiché X(z) è infinita per questi valori di z.
I poli giacciono all'esterno della regione di convergenza
La ROC infatti è delimitata dai poli o da infinito.
Più precisamente, la regione di convergenza ROC è delimitata dal
più piccolo e/o dal più grande polo di X(z).
Gli zeri possono naturalmente trovarsi in un punto del piano
qualunque.
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26
Un tipico diagramma poli/zeri è mostrato nella figura seguente.
Il cerchio unitario |z| = 1 ha un significato speciale, come mostrato di seguito.
unit circle
Im(z)
a
-1
Im(z)
Re(z)
-1
1
a) Causal (with |a| < 1)
1
a Re(z)
b) Anticausal (with |a| > 1)
Le precedenti definizioni e considerazioni sono riportate per i seguenti segnali:
Impulso ( Impulse): per x(n) = δ (n), si ha semplicemente;
X(z) = 1
per
0≤ |z| ≤ ∞
e quindi X(z) converge ovunque, essendo: X(z)=
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∞
(3.1.3)
∑
x(n) z −n
n=−∞
27
Impulso ritardato ( Delayed Impulse):
per x(n) = δ (n-nd) con nd > 0,
per 0 < |z| ≤ ∞
X(z) = z – nd
(3.1.4)
mentre per x(n) = δ (n + na) con na>0,
X(z) = z +na
per 0 ≤ |z| < ∞
Gradino unitario( Unit Step):
per x(n) = u(n), si ha:
X (z) =
∞
∑z
−n
=
n=0
1
,
−1
1− z
(3.1.5)
per
z >1
(3.1.6)
e quindi X(z) ha un singolo polo per z = 1. Moltiplicando numeratore e
denominatore per z, possiamo ancora scrivere X(z)come:
X ( z) =
z
,
z −1
per
| z |> 1
dove si vedere che X(z) ha uno zero per z = 0.
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28
Sequenza esponenziale (exponenzial sequence) :
per l’esponenziale causale x(n)=anu(n),
∞
X ( z) = ∑ a z
n
−n
n =0
=
∞
= ∑ (az −1 ) n
n =0
1
z
=
,
−1
1 − az
z−a
converge per z > a
(3.1.7)
X(z) ha un polo per z=a e uno zero per z=0 come mostrato in
figura 3.2(a). D’altro canto, se x(n) = -anu(-n-1), che è anticausale,
−1
X ( z) = −
∑
n −n
a z
n = −∞
∞
=−
∞
=−
z
( )n
a
n =1
∑
n
z
−z/a
z
⎛z⎞
=
=
, converge per z < a
⎜ ⎟
a n=0 ⎝ a ⎠
1− z / a z − a
∑
(3.1.8)
Questo diagramma poli/zeri è mostrato in figura 3.2(b). Si vede la necessità di
indicare la regione di convergenza in X(z), altrimenti le trasformate z di queste due
diverse sequenze in (3.1.7) e (3.1.8) dovrebbero essere esattamente le stesse.
Nella tabella successiva sono riportate le trasformate di sequenze comuni.
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29
Sequenza
Z - Trasformata
δ (n )
δ (n − m ), m > 0
δ (n + m ), m > 0
1
all z
z −m
z >0
zm
z <∞
u (n )
1
1 − z −1
1
1 − z −1
1
1 − az −1
1
1 − az −1
a
− u (− n − 1)
a n u (n )
− a nu (− n − 1)
na n u (n )
[cos nω 0 ]u (n )
[sin nω 0 ]u (n )
r n [cos nω 0 ]u (n )
r n [sin nω 0 ]u (n )
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(1 − az )
−1 2
1 − (cos ω 0 )z −1
1 − 2(cos ω 0 )z −1 + z − 2
1 − (sin ω 0 )z −1
1 − 2(cos ω 0 )z −1 + z − 2
1 − r (cos ω 0 )z −1
1 − 2r (cos ω 0 )z −1 + r 2 z − 2
1 − r (sin ω 0 )z −1
1 − 2r (cos ω 0 )z −1 + r 2 z − 2
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ROC
z >1
z <1
z >a
z <a
z >a
z >1
z >1
z >r
z >r
30
Osservazioni
Per avere corrispondenza biunivoca fra sequenze e trasformate
occorre specificare la regione di convergenza (R oppure ROC);
Le trasformate di interesse sono in genere funzioni razionali reali
della variabile (z-1) o della (z).
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31
3.2. Trasformata z inversa o antitrasformata z
Spesso si possono analizzare segnali o progettare sistemi a tempo
discreto usando le loro trasformate z, senza dover riconvertire le
trasformate alle sequenze corrispondenti.
Ma questa conversione è talvolta voluta o necessaria e prende il
nome di trasformazione inversa z , o antitrasformata.
La definizione formale della trasformata z inversa è
concettualmente semplice, ma talvolta scomoda da usare.
In particolare, per le trasformate di funzioni razionali si hanno
metodi più semplici per invertire la trasformata z.
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32
Per determinare l'espressione della antitrasformata z si utilizza il teorema
dell’integrale di Cauchy della teoria delle variabili complesse, che stabilisce che:
1
⎧1,
k −1
∫ z dz = ⎨
2πj Γ
⎩0,
k =0
k ≠0
(3.2.1)
dove Γ è il contorno di integrazione in senso antiorario, comprendente l’origine
(percorso che contiene l’origine).
Quindi per ricavare x(n) da X(z), si moltiplicano entrambi i membri della (3.1.1)
per zk-1/2πj e si integra lungo un opportuno contorno Γ in R per ottenere:
∞
1
1
k −1
− n + k −1
dz
∫ X ( z ) z dz =
∫ ∑ x ( n) z
2πj Γ
2πj Γ n=−∞
∞
1
− n + k −1
= ∑ x ( n)
z
dz = x(k ).
∫
n = −∞
2πj Γ
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33
Quindi la trasformata inversa z è data da:
x( n) =
1
n −1
∫ X ( z ) z dz ,
2πj Γ
(3.2.2)
dove Γ è un contorno in senso antiorario nella regione di convergenza di X(z),
comprendente l’origine. Si sa che un’opportuna Γ comprendente l’origine può
sempre essere definita, poiché R è un anello centrato nell’origine .
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34
Nel caso generale, dove X(z) è una funzione razionale di z, il teorema del
residuo di Cauchy stabilisce che x(n) può essere valutata attraverso la formula:
x ( n) = ∑ ρ i ,
(3.2.3)
i
dove i ρi sono i residui di X(z) zn-1 dei poli all’interno di Γ.
Per mettere in evidenza i k poli per z = pi si scrive esplicitamente
φi ( z )
X ( z ) z n −1 =
,
k
( z − pi )
(3.2.4)
e il residuo per i pi è dato da
1 d k −1φi ( z )
ρi =
(k − 1)! dz k −1
(3.2.5)
z = pi
e quindi
[
1 d k −1 ( z − pi ) k X ( z ) z n −1
ρi =
(k − 1)!
dz k −1
]
essendo
φi ( z ) = ( z − pi ) k X ( z ) z n −1
Molto spesso k=1, e in tal caso la (3.2.5) diventa semplicemente
ρi = φi ( pi ).
M. Usai
(3.2.6)
Circuiti digitali 3
35
3.3. Trasformata z inversa per le sequenze causali
Se la regione di convergenza include z = ∞, cioè se R è della
forma |z| > r, la sequenza è causale.
Se inoltre X(z) è una funzione razionale di z, allora x(n) può essere
ottenuta molto più semplicemente, con l’uso diretto delle
definizioni formali della trasformata z inversa, (3.2.2) oppure della
(3.2.3).
In particolare, X(z) può essere espressa come il rapporto di due
polinomi della forma
M
X ( z) =
∑ bm z
−m
N ( z ) m =0
= N
,
−k
D( z )
∑ ak z
z > r,
(3.3.1)
k =0
Per invertire la trasformata z si possono usare i metodi validi per le
funzioni razionali riportati di seguito.
M. Usai
Circuiti digitali 3
36
METODI PER CALCOLARE LA TRASFORMATA INVERSA
Esistono diversi modi per calcolare la trasformata inversa; i più
comuni sono riportati di seguito:
Metodo per ispezione:
Si utilizzano all'inverso le tabelle sequenza-trasformata:
Metodo della divisione lunga (Long Division)
Partendo dalle potenze di valore z-1, si divide N(z) per D(z) per
esprimere X(z) nella serie di potenze originale (3.1.1) cioè:
x(0) + x(1) z −1 + x(2) z −2 + ...
a0 + a1 z −1 + ... + a N z − N b0 + b1 z −1 + ...... + bM z − M
(3.3.2)
Le x(n) sono quindi ottenute direttamente come i coefficienti
della serie di potenze risultante da X(z).
Quando il numeratore è un polinomio di grado maggiore rispetto al denominatore,
occorre porre la funzione razionale in forma propria, in modo che il grado del
polinomio al numeratore risulti minore del grado del polinomio a denominatore.
M. Usai
Circuiti digitali 3
37
1. Metodo per ispezione:
Come nella trasformata di Laplace, si fa uso delle tabelle
delle trasformate diretta e inversa.
k
z >a
↔
ka nu[n]
Es:
−1
1 − az
Es:
ROC
C1 = 3
|z| > |a|
30 z 2 − 12 z
5z 2 − 2 z
5 − 2 z −1
X (z ) = 2
=
=
5
1
5
1
6 z − 5z + 1 z 2 − z +
1 − z −1 + z − 2
6
6
6
6
Poli:
C2 = 2
1/2
1/3
1 ⎞
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
⎛1
C1 ⋅ ⎜1 − z −1 ⎟ + C2 ⎜1 − z −1 ⎟ (C1 + C2 ) − ⎜ C1 + C2 ⎟ z −1 ⋅
C1
C2
2 ⎠
⎝ 3 ⎠
⎝ 2 ⎠=
⎝3
=
+
=
⎛ 1 −1 ⎞ ⎛ 1 −1 ⎞
⎛ 1 −1 ⎞⎛ 1 −1 ⎞
⎛ 1 −1 ⎞⎛ 1 −1 ⎞
⎜ 1 − z ⎟ ⎜1 − z ⎟
⎜1 − z ⎟⎜1 − z ⎟
⎜1 − z ⎟⎜1 − z ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠
⎝ 2 ⎠⎝ 3 ⎠
⎝ 2 ⎠⎝ 3 ⎠
n
⎡ ⎛ 1 ⎞n
3
2
⎛1⎞ ⎤
=
+
⇒ x[n] = ⎢3⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟ ⎥ ⋅ u[n]
1 −1
1 −1
⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
⎢⎣ ⎝ 2 ⎠
1− z
1− z
2
3
a nu (n )
M. Usai
↔
1
1 − az −1
z >a
Circuiti digitali 3
38
Es:
6
6 z −1
3
X [z ] =
=
= −3 +
−1
z − 2 1− 2z
1 − 2 z −1
Polo: z = 2
⇒ x[n] = −3δ [n] + 3 ⋅ 2 n
n≥0
a nu (n )
↔
δ (n − m) con m > 0
↔
1
1 − az −1
z-m
δ (n + m) con m > 0
↔
z-m
M. Usai
ROC z > a
z > a
z >0
z <∞
Circuiti digitali 3
39
Metodo della scomposizione o espansione in funzioni razionali
elementari, o frazioni parziali (Partial Fraction Expansion) o
fratti:
Se M < N e la X(z) non ha poli multipli, essa può essere sviluppata
in frazioni parziali della forma:
M
b z
N ( z) ∑
X ( z) =
=
D( z )
∑a z
−m
N
m
=
m=0
N
−k
∑
k =1
Ak
,
−1
1 − pk z
|z| > r
(3.3.3)
k
k =0
dove pk sono i poli di X(z). Ma ciascun termine della (3.3.3) è
proprio la trasformata z di una sequenza esponenziale, e quindi la
trasformata inversa di z per X(z) è data da
N
x( n) = ∑ Ak p kn u ( n).
(3.3.4)
K =1
M. Usai
Circuiti digitali 3
40
Se M ≥ N, si divide N(z) per D(z), partendo dalle potenze più alte di z-1 per
ottenere
aN z −N
C M − N z − M + N + ... + C1 z −1 + C 0
R( z )
+ ... + a 0 bM z − M + ............ + b1 z −1 + b0 +
D( z )
(3.3.5)
Il polinomio resto R(z) è dell’ordine di M’ = N-1 o minore. Quindi
R(z)/D(z) può essere sviluppato in una espansione in frazioni parziali
come prima e X(Z) risulta:
N ( z)
X ( z) =
=
D( z )
M −N
∑
i =0
N
Ci z
n −i
+
∑
k =1
M −N
N
i =0
k =1
Ak
,
−1
1 − pk z
|z| > r
(3.3.6)
x( n) = ∑ C i δ (n − i ) + ∑ Ak' p kn u ( n).
M. Usai
Circuiti digitali 3
41
N ( z)
R( z )
X ( z) =
= Q( z ) +
=
D( z )
D( z )
M −N
∑C z
i
N
n −i
+
i =0
∑
k =1
Ak
,
−1
1 − pk z
|z| > r
Il polinomio resto R(z) è dell’ordine di M’ = N-1 o minore. Quindi
R(z)/D(z) può essere sviluppato in una espansione in frazioni parziali
come prima e x(n) risulta:
M −N
N
i =0
k =1
x( n) = ∑ C i δ (n − i ) + ∑ Ak' p kn u ( n).
(3.3.6)
La ROC (regione di convergenza) di X(z) è l'intersezione delle ROCi dei
singoli termini della sommatoria.
a nu (n )
↔
δ (n − m) con m > 0
↔
1
1 − az −1
z-m
δ (n + m) con m > 0
↔
z-m
M. Usai
z > a
z >0
z <∞
Circuiti digitali 3
42
Funzioni Razionali in z
Una gran parte delle trasformate-Z in uso, sono costituite da funzioni razionali del
tipo:
N (z )
X (z ) =
Con N(z) e D(z) polinomi in z
D(z )
Spesso si definisce la forma equivalente in z -1
ZERI : radici di X(z) sono i valori di z tali che X(z) → 0
POLI : radici di D(z) sono i valori di z tali che X(z) → ∞
per i quali X(z) presenta discontinuità
La ROC è delimitata dal modulo del più piccolo e/o del più grande
polo di X(z)
1 − 2 z −1
z (z − 2)
Es: X (z ) = (1 − 3z −1 )(1 + z −1 ) = (z − 3)(z + 1)
Im(z)
Re(z)
-1
M. Usai
2 3
⎧0
zeri : ⎨
⎩2
⎧3
poli : ⎨
⎩− 1
In base all’affermazione precedente si hanno tre
possibili regioni di convergenza:
|z| < 1 minore del polo più piccolo
1 < |z| < 3 compreso tra il più piccolo e il più grande
|z| > 3 maggiore del polo più grande
Circuiti digitali 3
43
Espansione in frazioni parziali
Essenzialmente è la stessa utilizzata per le trasformate di Laplace.
Alcune differenze si hanno quando si usa z-1
M
X (z ) =
∑b z
k
k =0
N
∑a z
k
k =0
−k
z
N
=
−k
zM
M
∑b z
k
k =0
N
M −k
∑a z
k
k =0
• per qualsiasi M , N
• Se M < N
• Se M > N
In generale:
z
=
N −k
N −M
M
∑b z
k
k =0
N
∑a z
k
M
M −k
b0
k =0
k
−1
k =1
N
=
N −k
∏ (1 − c z )
a0
−1
(
)
1
−
d
z
k
∏
si ha che:
k =1
non si hanno poli per z = ∞
si hanno N – M zeri in z = 0
si hanno M – N poli in z = 0
N (z −1 )
R(z −1 )
−1
X [z ] =
= Q(z ) +
D(z −1 )
D(z −1 )
dove:
Q(z –1) quoziente della divisione fra N(z -1) e D(z -1)
R(z –1) resto della divisione fra N(z -1) e D(z -1)
•Se M < N Q(z –1) ≡ 0
•Se M > N Q(z –1) esiste e può essere anti-Trasformato per ispezione
(somma di impulsi), mentre R(z –1)/D(z -1) è la funzione razionale propria
M. Usai
Circuiti digitali 3
44
Espansione in frazioni parziali
Se la funzione razionale è propria (grado del numeratore < grado del denominatore):
Poli semplici
N
Ak
−1
k =1 1 − d k z
X (z ) = ∑
(
)
Ak = 1 − d k z −1 X ( z ) z = d
k
per funzioni a coefficienti reali, poli e residui sono complessi coniugati
Poli multipli
r distinti con molteplicità mk
⎡ Ak
Ak 2
1
X (z ) = ∑ ⎢
+
−1
1
d
z
−
k =1 ⎢
1 − d k z −1
k
⎣
r
(
) (
)
2
+L+
Ak mk
⎤
mk ⎥
⎥⎦
(1 − d z )
−1
k
Poiché la ROC di X(z) deve essere l’intersezione della ROC dei singoli termini
frazionari, allora usualmente risulta |z1| < |z| < |z2| , con z1 e z2 opportuni
Ak
1 − d k z −1
M. Usai
Ak d kn u ( n )
− Ak d knu (− n − 1)
Circuiti digitali 3
se
d k < z1
se d k > z 2
45
Espansione in fratti semplici
Solo per X(z) funzioni razionali
M
X (z ) =
∑b z
−k
∑a z
−k
k =0
N
k =0
k
k
z
=
N
M
∑b z
k =0
N
k
z M ∑ ak z N − k
k =0
b0 ∏ (1 − ck z −1 )
M
M −k
=
k =1
N
a0 ∏ (1 − d k z −1 )
k =1
Per poli semplici
r
Ak
;
−1
(
)
1
−
d
z
k =1
k
X (z ) = ∑
Ak = (1 − d k z −1 )X (z ) z = d
k
Per poli multipli
⎡ Ak
Ak 2
1
X (z ) = ∑ ⎢
+
−1
k =1 ⎣
1 − d k z −1
⎢ 1− dk z
r
(
M. Usai
) (
)
2
+L+
Ak mk
⎤
;
mk ⎥
⎦⎥
(1 − d z )
−1
k
Circuiti digitali 3
Formula per determinare
i residui
[
]
1 d k 1 − d k z −1 ⋅ X [z ]
Ak =
k!
dz k
k
46
z =0
Metodo per espansione in serie di potenze
Se X(z) non è un funzione razionale di z, la sua trasformata Z
inversa x(n) può anche essere ottenuta dallo sviluppo in serie
di potenze di X(n). Per ottenere lo sviluppo in serie di potenze in z-1
1
1 − az −1
Es:
Si fa la divisione secondo il procedimento illustrato: 1 / (1- a z –1)
1- a z -1
1
1- a z -1
a z -1
a z –1- a2 z –2
a2 z –2
….
Per cui: 1 + a z –1 + a2 z –2 + …
M. Usai
Circuiti digitali 3
47
3.4. Proprietà della trasformata Z
Le seguenti importanti proprietà della trasformata z sono facilmente deducibili
dalle sue definizioni.
Linearità (Linearity)
La trasformata z di una somma pesata di sequenze uguaglia le corrispondenti
somme pesate delle trasformate z cioè:
w(n) = ax(n) + by(n)
W(z) = aX(z) + bY(z),
implica che :
Rw⊃ (Rx∩ Ry),
(3.4.1)
dove le notazioni riportate sono state usate per indicare che la regione di
convergenza di W(z), contiene l’intersezione di quelle di X(z) e Y(z). Rw è
più grande di Rx ∩ Ry soltanto se un polo sul contorno di Rx o Ry è annullato
da uno zero ottenuto nella somma pesata.
M. Usai
Circuiti digitali 3
48
Traslazione nel tempo. Ritardo e Anticipo (Delay o Advance)
Per w(n) = x(n - nd),
W(z) = z -nd X(z)
(3.4.2)
con Rw coincidente con Rx fatta eccezione, possibilmente, per z = 0 e z = ∞.
Poiché un ritardo di nd=1 comporta che X(z) sia moltiplicato per z-1 o
viceversa, z-1 è talvolta considerato come l’operatore di ritardo unitario
(unit delay operator). Allo stesso modo un anticipo di -na genera :
W(z) = z na X(z)
(3.4.3)
e z è talvolta chiamato operatore di anticipo unitario (unit advance operator)
M. Usai
Circuiti digitali 3
49
Convoluzione di sequenze
Se
w(n ) = x(n ) ∗ y (n )
cioè
w(n) =
∞
∑ x(k ) y (n − k )
k = −∞
allora
W(z) = X(z)Y(z), Rw⊃ (Rx∩ Ry)
(3.4.4)
La regione di convergenza di W(z) è più grande della intersezione di X(z) e
Y(z) solo se un polo sul contorno di uno è cancellato da uno zero dell’altro.
Moltiplicazione di sequenze
Se si moltiplicano due sequenze x(n) e y(n):
w(n) = x(n) y(n),
la corrispondente trasformata z è data da:
W ( z) =
1
2πj
⎛z⎞
Y ⎜ ⎟X (v)v −1dv
Γ ⎝v⎠
∫
(3.4.5)
con una regione di convergenza che comprende almeno:
rx- ry- < |z| < rx+ ry+.
M. Usai
Circuiti digitali 3
50
Moltiplicazione di sequenze
Se si moltiplicano due sequenze x1(n) e x2*(n):
la corrispondente trasformata z è data da:
W ( z) =
1
2πj
⎛1⎞
X 1 (v ) X 2* ⎜ * ⎟v −1dv
Γ
⎝v ⎠
∫
(3.4.5)
con Γ compreso nella ROC[X1(v)] ∩ROC[X2(1/v*)]
M. Usai
Circuiti digitali 3
51
Dalla teoria dei sistemi continui nel tempo, si ha che la moltiplicazione in un
dominio implica la convoluzione nell’altro, e si è già visto che ciò è vero per la
convoluzione di sequenze. Si può infatti esprimere la (3.4.5) come una forma di
convoluzione attraverso il cambio di variabili
v = ρ e jφ
e
z = r ejθ
con i raggi ρ e r giacenti in Rw. In particolare se Rw contiene il cerchio unitario,
si può scegliere ρ = r = 1 e la (3.4.5) diventa
1 π
j (θ −φ )
) X (eφ )dφ
(3.4.6)
∫−π Y (e
2π
che è una convoluzione di X(e jθ) e Y(e jθ) considerate come funzioni di θ.
Poichè e jθ è periodico in θ con periodo 2π, X(e jθ ) e Y(e jθ ) lo sono anche
loro, e la (3.4.6) è una forma della (3.4.5) sviluppata su un cerchio nel
piano z e anche chiamata convoluzione circolare (circular convolution).
W ( e jθ ) =
Coniugazione complessa
Se y(n) = x*(n), si può dimostrare che:
Y(z) = X*(z*),
Ry= Rx
(3.4.7)
Questa proprietà è utile per derivare altre importanti proprietà, comprese le
seguenti.
M. Usai
Circuiti digitali 3
52
Moltiplicazione per una sequenza esponenziale
z 0n ⋅ x( n)
⇔
⎛z⎞
X⎜⎜ ⎟⎟
⎝ z0 ⎠
z0=costante
la regione di convergenza R =|z0| R(X) in scala
• Se pk è un polo di X(z), allora z0pk è un polo di ;
⎛ z⎞
X ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ z0 ⎠
• Se z0 è reale ⇒ poli e zeri si spostano radialmente;
• Se z0=eJωo
⇒ poli e zeri ruotano di ω0 (traslazione in frequenza nella DTFT );
• Se z0=a+jb complesso ⇒ si verificano entrambi gli effetti.
Convoluzione di sequenze
x(n)*y(n)
⇒
R contiene R(X) ∩R(Y)
X(z) Y(z)
Derivazione in z
dX ( z )
−z
nx(n) ⇔
dz
R=R(X) eccetto per z = 0 o per z = ∞.
M. Usai
Circuiti digitali 3
53
Rovesciamento del tempo
x(-n)
⇔
X(1/z)
R=1/R(X)
infatti una sequenza destra diventa sinistra e viceversa.
Valore iniziale
Se x(n)=0
∀n < 0 allora x(0) = lim z→∞ X ( z )
Riassumendo:
Sequenza
Trasformata z
a.
b.
c.
x*(n)
x(-n)
anx(n)
X*(z*)
X(1/z)
X(z/a)
d.
nx(n)
−z
e.
x(0) per
x(n) causale
lim z →∞ X ( z )
M. Usai
Circuiti digitali 3
dX (z )
dz
54
Relazione di Parseval
L’energia totale in una sequenza x(n) è definita come:
E=
∞
∑ x ( n)
2
(3.4.8)
n = −∞
Ponendo w(n) = x(n) x*(n) = |x(n)|2, si ha immediatamente che se E è finito,
W(z) deve convergere per z = 1, poiché E = W(1). Ma dalla (3.4.6) e dalla
(3.4.7) si ha
1
E = W (1) =
2π
π
∫π
X * (e
jφ
) X (e
−
jφ
1
)dφ =
2π
π
∫π
| X (e
jφ
) |2 d φ
(3.4.9)
−
Combinando le due relazioni (3.4.9) e (3.4.8), si ottiene la relazione di Parseval:
∞
1
|
x
(
n
)
|
=
∑
2π
n = −∞
M. Usai
2
π
∫ | X (e
jφ
) |2 d φ
(3.4.10)
−π
Circuiti digitali 3
55