Relazioni Input

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Relazioni Input

Relazioni Input/Output
4.0 Introduzione
Le relazioni tra input e output di un filtro discreto nel tempo
possono essere descritte con modelli matematici ottenibili con
metodi diversi ma equivalenti, come:
•
•
•
•
•
la risposta all’impulso;
la funzione di trasferimento;
la risposta in frequenza;
le equazioni alle differenze e
le variabili di stato.
M. Usai
Circuiti digitali 4_a
1
La risposta all’impulso è già stata introdotta e utilizzata,
saranno definite ora gli altri quattro metodi.
In particolare saranno definiti :
filtri con risposta impulsiva di durata finita FIR
e
filtri con risposta impulsiva di durata infinita IIR
e tra
implementazioni di filtri ricorsivi
e
implementazioni filtri non ricorsivi
M. Usai
2
Premessa
Definizioni utili per lo studio dei sistemi
Sistema lineare
Un sistema è lineare quando l’operatore T{ } che lega
l’uscita y(n) all’ingresso x(n), è lineare ossia per esso vale il
principio di sovrapposizione degli effetti, quindi se:
y1(n)=T{x1(n)}
si ha
e
y2(n)=T{x2(n)}
ay1(n)+ by2(n)=T{a x1(n)+b x2(n)}
per qualsiasi a e b (costanti) e x1(n), x2(n)
e in particolare se:
M. Usai
x(n)=0
⇒
y(n)=T{x(n)}=0
3
Sistema stazionario
Un sistema è stazionario quando l’operatore T{} che lega
l’uscita y(n) all’ingresso x(n), è tempo-invariante, ossia la
trasformazione che esegue non dipende dall’istante di
applicazione.
Quindi se:
y(n) =T{x(n)}
⇒
y(n-n0)=T{x(n-n0)}
per qualsiasi n0 e x(n).
M. Usai
4
Sistemi LTI
Un sistema è LTI ( lineare tempo invariante ) quando
l’operatore T{} che lega l’uscita y(n) all’ingresso x(n), è LTI
(lineare-tempo-invariante), allora esso è completamente
caratterizzato dalla sua risposta all’impulso unitario.
Quindi se la risposta all’impulso è h(n)=T{δ(n)}
la risposta ad un ingresso x(n) sarà:
⎧ ∞
⎫
y(n)= T{x(n)} = T ⎨ ∑ x(k) δ (n − k )⎬ = ← proprietà dell'impulso
⎩k =−∞
⎭
=
∞
∑ x(k) T {δ (n − k )} =
← per la linearità
k = −∞
=
∞
∑ x(k)h(n − k)
← per la stazionarietà
k = −∞
M. Usai
5
quindi: y(n) =
∞
∞
k = −∞
k = −∞
∑ x(k)h(n − k) = ∑ x(n - k)h(k)
ovvero:
y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n) ← convoluzione
M. Usai
6
I sistemi LTI (Lineari Tempo Invarianti) possono essere:
FIR (Finite Duration Impulse Response)
con risposta impulsiva di durata limitata (finita) cioè:
h(n) ≠ 0 solo per n1 ≤ n ≤ n2
sempre stabile se i campioni sono limitati, perché risulta:
|h(n)| < +∞
per
∀n.
M. Usai
7
IIR (Infinite Duration Impulse Response)
con risposta impulsiva di durata illimitata (infinita), cioè:
stabile solo se:
+∞
∑ h(k ) < +∞
k = −∞
Un caso tipico è:
h( n) = a u ( n)
n
M. Usai
⎧ stabile per
⎨
⎩instabile per
a <1
a ≥1
8
4.1 Funzione di trasferimento e risposta in frequenza
Per un filtro LTI lineare tempo invariante con risposta
all’impulso h(n), l’uscita y(n) per un input arbitrario x(n) è data
dalla convoluzione di x(k) e h(k-n)
+∞
Poiché
x[n] = ∑ x [ k ] δ [ n − k ] e y(n)= T{x(n)}
(4.1.1)
k =−∞
Ma dalla (3.4.4) la stessa relazione può essere espressa in funzione
delle corrispondenti trasformate z, infatti essendo:
y(n) =
∞
∞
k = −∞
k = −∞
∑ x(k)h(n − k) = ∑ x(n - k)h(k)
trasformando si ha:
Y(z)=X(z) H(z),
dove: H(z) = ∑n = −∞ h(n)z − n con Ry ⊃ (Rx∩ Rh)
∞
M. Usai
(4.1.2)
(4.1.3)
9
H(z) è chiamata funzione di trasferimento del filtro discreto
(System Function of the Discrete Filter) e per la (4.1.2) può
anche essere scritta:
Y(z)
H(z) =
(4.1.4)
X(z)
Inoltre se: Y(z) = X(z) H(z) ed esistono le trasformate di Fourier
di X(z) e di H(z), allora la variabile z si esprime come: z = e jω
e l’ampiezza e la fase di Y(ejω) saranno rispettivamente uguali a:
Ampiezza di Y(ejϕ): Y (e jω ) = H (e jω ) X (e jω )
jω
jω
jω
Fase Y(ejϕ): ∠Y (e ) = ∠H (e ) + ∠X (e )
dove: H(e
M. Usai
jω
) =
H(e
jω
)e
∠ H (e jω )
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Risposta in frequenza
La trasformata della funzione di trasferimento H(z) rappresenta
la funzione chiave per l’analisi e la sintesi dei filtri digitali e
discreti.
•
Uno dei motivi è legato alla semplicità della relazione che
lega le trasformate Z dell’input e dell’output (4.1.2) con
l’operatore di moltiplicazione, rispetto all’operatore di
convoluzione che lega le sequenze (4.1.1).
• Un altro motivo è che dalla H(z) si può ottenere facilmente la
risposta in frequenza di un filtro
M. Usai
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Per esempio si assuma che l’input in regime stazionario (steadystate) di un filtro LTI (Lineare Tempo Invariante) sia la sinusoide
complessa:
x(n)
y(n)
Circuito LTI
-∞ < n < ∞
x(n)= ejωn,
( )
( )
y(n) = H e jω x(n) = H e jω e jω n
essendo H(z) =
M. Usai
∑
∞
n = −∞
h(n)z − n ⇒ H (e jω ) =
+∞
∑
h(k )e − jωk
k = −∞
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quindi, sostituendo nella espressione di y(n) si ha:
∞
⎡ +∞
⎤
y ( n) = ⎢
h(k )e − jωk ⎥ e jωn =
h ( k ) e jω ( n − k ) =
⎢⎣ k = −∞
⎥⎦
k = −∞
∑
= e jωn
∑
∞
∑
h(k )e − jωk = x(n) H ( z ) | z = e jω
k = −∞
ossia l’output risulta uguale all’input moltiplicato per la
quantità complessa H(z):
H(ejω) = H’(ω) =
y(n)
x(n)
(4.1.5)
La funzione H’(ω) è la risposta in frequenza del filtro
discreto.
M. Usai
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H(ejω)=H’(ω)
Si noti che la risposta in frequenza è data dalla trasformata z,
H(z) calcolata su un cerchio unitario nel piano z poiché
|z|=|ejω|=1.
In particolare,
la risposta alla frequenza zero o in d.c. è:
H’(0)=H(ej0 )=H(1),
la risposta alla frequenza di Nyquist ω = π è:
H’(π)= H(ejπ )= H(-1).
M. Usai
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come descritto in figura 4.1.
Fig.4.1 Valori di H(ejω) in dc (ω=0) e alla frequenza di Nyquist (ω=π)
Poiché ejω è una funzione periodica in ω con periodo 2π, si ha
immediatamente dalla (4.1.5) che H’(ω) è anch’essa periodica con
lo stesso periodo.
M. Usai
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Inoltre, per h(n) reale h(n)=h*(n) e ricordando che se:
y(n) = x*(n)
→ Y(z) = X*(z*)
si ha che:
H’(ω)=[H’(-ω)]*
(4.1.6)
quindi la risposta in ampiezza |H’(ω)| è una funzione pari di ω per
h(n) reale,
mentre la risposta di fase ∠H’(ω) è una funzione dispari di ω per
h(n) reale, queste proprietà sono illustrate in figura 4.2.
M. Usai
16
Fig. 4.2 La risposta in ampiezza |H’(ω)| è una funzione pari di ω, mentre
la risposta di fase ∠H’(ω) è una funzione dispari di ω,
M. Usai
17
I concetti importanti di stabilità e causalità definiti nel paragrafo
sono facilmente e convenientemente descritti in termini di
funzione di trasferimento come segue:
STABILITA’: un filtro lineare invariante è stabile se e solo se
∞
∑ h( n) < ∞
n =−∞
Ma ciò implica che H(z) deve convergere sul cerchio unitario
poiché:
∞
∞
H (e jω ) ≤
h(n)e − jωn =
h( n) < ∞
∑
n = −∞
∑
n = −∞
Quindi, per un sistema stabile, Rh deve contenere il cerchio
unitario.
M. Usai
18
CAUSALITA’ Se h(n) è causale, Rh deve includere
z = ∞ e quindi della forma |z|>r, dove r è il raggio più
grande dei poli di H(z). Quindi H(z) converge ovunque
al di fuori del cerchio di raggio unitario.
Se il filtro risulta sia stabile che causale, tutti i poli di
H(z) devono cadere all’interno del cerchio unitario,
poiché Rh contiene il cerchio unitario così come z=∞
M. Usai
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4.2 Sistemi LTI descritti da equazioni alle differenze
Premessa
Equazioni alle differenze finite
Il metodo alle differenze finite rappresenta il metodo più semplice
per la ricerca di una soluzione numerica di una equazione o di un
sistema di equazioni differenziali, ossia dei valori approssimati
della soluzione in un numero discreto di valori della variabile
indipendente.
x(t)
Esempio 1:
Soluzione della singola equazione del
primo ordine:
δ
x’(t) =F(t,x(t))
0 δ 2δ 3δ 4δ
M. Usai
5δ
t
20
Esempio di soluzione per una singola equazione del primo
ordine:
x’(t) =F(t,x(t))
(*)
• Si divide l’intervallo (0,T) in n intervallini parziali (iδ, (i+1) δ)
per i=0,1,…n di ampiezza δ=T/n
• Si approssima la derivata della funzione x(t), che figura a primo
membro della relazione (*), con il rapporto:
x' (t ) ≅
da cui
M. Usai
x(t + δ ) − x(t )
δ
x(t + δ ) ≅ x(t ) + δ x' (t )
x(t + δ ) ≅ x(t ) + δ F (t, x(t) )
21
Con la relazione definita:
x(t + δ) = x(t) + δ F(t, x(t) )
• Si valutano i valori di x negli n punti:
t = 1, 2 δ, 3 δ, 4 δ,…,n δ = T e si scrivono n equazioni
pervenendo al sistema:
⎧x (δ ) = x(0) + δ F(0, x(0) )
⎪x (2δ ) = x (δ ) + δ F(δ, x (δ ))
⎪⎪
⎨x (3δ ) = x (2δ ) + δ F(2δ , x (2δ ))
⎪......
⎪
⎪⎩x (nδ ) = x ((n − 1)δ ) + δ F((n − 1)δ), x(n − 1)δ) )
Questo sistema consente di determinare i valori di:
x(δ), x(2 δ)…, x(n δ),
M. Usai
purché sia noto il valore x(0).
22
• Interpolando i punti di ottiene la rappresentazione grafica
approssimata della soluzione richiesta.
Si può verificare che diminuendo il valore di δ e quindi
aumentando il numero dei punti calcolati,
↓
l’andamento della soluzione approssimata si avvicina
all’andamento della soluzione vera.
M. Usai
23
Esempio 2
Soluzione di un sistema di due equazioni differenziali
Determinazione della soluzione ( (x(t), y(t) ) del sistema di due
equazioni differenziali:
⎧x’ (t) = F(t, x(t), y(t))
⎨
⎩ y’ (t) = G(t, x(t), y(t))
che per t=0 assume i valori ( (x(0), y(0) ).
Si divide l’intervallo (0,T) in n intervallini parziali (iδ, (i+1) δ)
per i=0,1,…n di ampiezza δ=T/n e si approssimano le derivate
delle funzioni x(t) e y(t) con i rapporti incrementali:
x' (t ) ≅
M. Usai
x(t + δ ) − x(t )
δ
e
y ' (t ) ≅
y (t + δ ) − y (t )
δ
24
da cui si ottiene il sistema :
⎧x(t + δ) = x(t) + δ F(t, x(t), y(t))
⎨
⎩ y(t + δ) = y(t) + δ G (t, x(t), y(t))
Le due equazioni valutate nei n punti δ, 2 δ, 3 δ, 4 δ,…, n δ = T ,
forniscono le coppie di valori (x(n δ),y(n δ)) che consentono di
ottenere gli integrali soluzioni per punti.
M. Usai
25
⎧x (δ ) = x(0) + δ F(0, x(0), y(0))
⎪ y(δ ) = y(0) + δ G (0, x(0), y(0))
per t = 1δ
⎪
⎪
⎪x (2δ ) = x (δ ) + δ F(δ, x (δ ), y(δ ))
⎪
per t = 2δ
⎪ y(2δ ) = y(δ ) + δ G (δ, x (δ ), y(δ ))
⎪
⎨
⎪x (3δ ) = x (2δ ) + δ F(2δ , x (2δ ), y(2δ ))
⎪
per t = 3δ
⎪ y(3δ ) = y(2δ ) + δ G (2δ , x (2δ ), y(2δ ))
⎪......
⎪
⎪x (nδ ) = x ((n − 1)δ ) + δ F((n − 1)δ), x(n − 1)δ)δy(n − 1)δ) )
⎪ y(nδ ) = y((n − 1)δ ) + δ G ((n − 1)δ), x(n − 1)δ)δy(n − 1)δ) ) per t = nδ
⎩
M. Usai
26
Quindi se si conoscono i valori iniziali (x(0),y(0)) si
determinano ricorsivamente le coppie di valori :
((x(δ), y(δ) ), ((x(2δ), y(2δ) ), ((x(3δ), y(3δ) ), … ((x(nδ), y(nδ)).
Con i punti ottenuti si possono disegnare
• i relativi grafici di x(t) e y(t) e
• la curva y=f(t) che prende il nome di orbita, che passa per il
punto iniziale noto (x(0),y(0)).
M. Usai
27
In un sistema continuo a parametri concentrati si hanno
elementi rappresentabili con modelli matematici mediante
integrali o derivate, Infatti le equazioni costitutive per un
condensatore e un induttore sono:
L
i(t)
C
i(t)
v(t)
v(t ) = L ⋅
di(t )
dt
v(t)
i(t ) = C ⋅
dv(t )
dt
1
1
i (t ) =
v(t )dt + i (0)
v(t ) =
i(t )dt + v(0)
L
C
e altri dispositivi come la resistenza, amplificatore e
trasformatore con i rispettivi modelli matematici lineari :
∫
v(t ) = Ri (t )
M. Usai
∫
v2 (t ) = A v1 (t )
v2 (t ) = N v1 (t )
28
Confronto di risoluzione di un sistema continuo e del relativo
sistema discreto, di primo ordine.
a) Risoluzione di un sistema continuo del I° ordine:
Per e(t)=E e i(0)=i0:
⎧ di (t )
+ Ri (t ) = e(t ) = E
⎪L
⎨ dt
⎪⎩i(0) = i 0
vL(t)
+
L
e(t)
R
i(t)
v2(t)
⎧ L i ' (t ) + Ri (t ) = e(t ) = E
⎨
⎩i(0) = i 0
La soluzione di questa equazione è nota dalla analisi matematica.
M. Usai
29
b) Risoluzione di un sistema discreto del I° ordine:
Quindi il modello matematico per un sistema del I° ordine è così
strutturato:
⎧ A y ' (t ) + By (t ) = x(t )
⎨
⎩ y(0) = y 0
t>0
La precedente equazione differenziale può essere risolta
numericamente approssimando la derivata come:
y (t ) − y (t − T )
y ' (t ) ≅
T
essendo T l’intervallo di campionamento: T=1/fc, e sostituendo
nella equazione generale si ottiene la relazione approssimata:
A[y(t) − y(t − T) ] + B T y(t) ≅ T x(t)
M. Usai
30
Esprimendo t in funzione dell’intervallo di campionamento T, t=nT:
(A + B T )y(nT) − Ay(nT − T) ≅ T x(nT)
e considerando la sequenza del circuito a tempo discreto, ossia
sostituendo a nT → n:
(A + B T )y(n) − Ay(n − 1) ≅ T x(n)
dividendo tutto per A+BT:
T
A
x(n)
y(n − 1) ≅
y(n) −
(A + B T )
(A + B T )
A
T
;
ponendo :
a o = 1; a 1 =
; bo =
(A + B T )
(A + B T )
a o y(n) − a 1 y(n − 1) ≅ b o x(n) ⇒ y(n) ≅ b o x(n) + a 1 y(n − 1)
M. Usai
31
Esplicitando per y(t) : y(n) ≅ b o x(n) + a 1 y(n − 1)
L’ approssimazione nel calcolo dei valori y(n) dipende :
• dalla forma del segnale di ingresso e
• dal periodo di campionamento
Questa relazione suggerisce la struttura del seguente circuito discreto:
x(n)
b0 x(n)
b0
b0 x(n)+ a1y(n-1)
y(n)
+
a1y(n-1)
y(n-1)
D
a1
M. Usai
32
a) Per il sistema continuo la soluzione della equazione differenziale
R ⎞
per i(0)=0 e e(T)=E è:
⎛
t
E
i (t ) =
⎜1 − e L ⎟
⎟
R⎜
⎝
⎠
b) Per il sistema digitale la soluzione della equazione alle
differenze finite: y(n) ≅ b o x(n) + a 1 y(n − 1)
n=0 →
n = 2→
T
E
essendo i[0] = 0
L + RT
T
L
T
L ⎞ T
⎛
⋅
i[2] ≅
E+
E = ⎜1 +
E
⎟
L + RT
L + RT L + RT
⎝ L + RT ⎠ L + RT
i[1] ≅ b o E =
n = 3→
i[3] ≅
T
L
L ⎞ T
⎛
⋅ ⎜1 +
E+
E=
⎟
L + RT
L + RT ⎝ L + RT ⎠ L + RT
2
⎡
L
⎛ L ⎞ ⎤ T
+⎜
E
⎟ ⎥
⎢1 +
+
+
L
RT
L
RT
L
RT
+
⎝
⎠ ⎥⎦
⎢⎣
...
M. Usai
⎧a o = 1;
⎪
A
⎪a1 =
;
⎪
(A + B T )
⎨
T
⎪b =
;
⎪ o (A + B T )
⎪
⎩
33
Il termine generico sarà quindi calcolabile con la relazione :
n
n
⎛ L ⎞
⎛ L ⎞
1− ⎜
1− ⎜
⎟
⎟
T
L + RT ⎠
L + RT ⎠
⎝
⎝
E=
i[n] =
L
L
L
RT
+
1−
1−
L + RT
L + RT
n⎤
⎡ ⎛
⎞
⎢ ⎜ 1 ⎟ ⎥ L + RT
E
T
⎟ ⎥
E=
= ⎢1 − ⎜
R
⎢ ⎜⎜ 1 + RT ⎟⎟ ⎥ L + RT - L L + RT
⎢⎣ ⎝
L ⎠ ⎥⎦
M. Usai
T
E=
L + RT
⎡ ⎛
⎢ ⎜ 1
⎢1 − ⎜
⎢ ⎜⎜ 1 + RT
L
⎣⎢ ⎝
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
n⎤
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
34
Inoltre se RT << L
L
⇒ T <<
R
⇒
e
RT
L
≅ 1+
RT
L
n
⎡ ⎛
⎞ ⎤
R
⎢ ⎜ 1 ⎟ ⎥
− nT ⎞
E
E ⎛⎜
⎟ ⎥ ≅ i(n)
i(nT) = ⎜1 - e L ⎟⎟ ≅ i(nT) ≅ ⎢1 - ⎜
R ⎢ ⎜1+ R T ⎟ ⎥
R⎝
⎠
⎟ ⎥
⎢ ⎜⎝
L
⎠ ⎦
⎣
L
:
quindi per T <<
R
i valori di i(t) calcolati in un intervallo discretizzato con
costante di campionamento T, con la soluzione della equazione
differenziale per un sistema continuo, coincidono con i valori
calcolati con la formula approssimata ottenuta per il sistema
discreto.
M. Usai
35
Esempio: Andamento della soluzione nel dominio del continuo e nel dominio del discreto
per R=5Ω, L=10 H, e E=10V per un intervallo di campionamento T=0.2 s (N=10)
M. Usai
36
Esempio: Andamento della soluzione nel dominio del continuo e nel dominio del discreto
per R=5Ω, L=10 H, e E=10V per un intervallo di campionamento T=0.05 s (N=40)
M. Usai
37
4.2 Sistemi LTI descritti da equazioni alle differenze.
Una sottoclasse di grande importanza pratica dei circuiti LTI
quella dei filtri discreti lineari tempo-invarianti.
Le sequenze di input e output di questi filtri soddisfano equazioni
alle differenze della forma:
N
M
k =0
m=0
∑ ak y (n − k ) = ∑ bm x(n − m),
(4.2.1)
dove bm e ak sono coefficienti costanti.
Poiché per specificare completamente il filtro l’espressione
precedente non è sufficiente da sola; sono richieste informazioni
addizionali inerenti la causalità e le condizioni iniziali.
M. Usai
38
Assumendo che il filtro sia causale e riportando in scala i
coefficienti in maniera che a0 = 1, l’equazione (4.2.1) può essere
riscritta nella forma canonica:
N
∑a
M
k y(n − k)
k =0
=
∑b
m x(n − m)
m =0
N
a 0 y(n) +
∑a
M
k y(n − k)
=
k =1
∑b
m x(n − m)
m =0
ak
bm
= ak e
= bm
e aggiornando i parametri
a0
a0
M
y(n) =
∑b
m =0
M. Usai
N
m x(n − m) −
∑a
k y(n − k),
(4.2.2)
k =1
39
M
y(n) =
∑b
m =0
N
m x(n − m) −
∑a
k y(n − k),
(4.2.2)
k =1
La relazione precedente mostra come:
il valore attuale dell’output y(n) può essere calcolato in
funzione
- del valore attuale di input x(n);
- di M valori precedenti di input x(n-m);
- di N valori precedenti di output y(n-k).
M. Usai
40
Si sottolinea che:
• se nella valutazione dell’output attuale sono usati i valori
di output precedenti (intermedi o finali), cioè se
l’implementazione del filtro contiene feedback, allora
l’implementazione è chiamata ricorsiva (recursive).
M
y(n) =
∑b
N
m x(n − m) −
m =0
∑a
k y(n − k),
k =1
• altrimenti l’implementazione del filtro è non ricorsiva
(non recursive):
M
y(n) =
∑b
m x(n − m)
m =0
M. Usai
41
Funzione di trasferimento del filtro
La funzione di trasferimento del filtro è facilmente ricavabile
facendo la trasformata z di entrambi i membri della equazione
alle differenze che lo implementa:
N
M
k =0
m=0
∑ ak y ( n − k ) = ∑ bm x(n − m)
(4.2.1)
ottenendo:
N
M
∑ a Z[y(n − k)] = ∑ b Z[x(n − m)],
k =0
k
m=0
m
( 4.2.3 )
dove Z[ ] indica l’operatore della trasformata z.
M. Usai
42
La trasformata della relazione:
N
∑a
M
k Z[y(n −
k)] =
k =0
∑b
m Z[x(n
− m)],
(4.2.3)
m=0
essendo: Z [ y (n − k )] = z − k Y(z) e Z [x(n − k )] = z − m X(z)
può essere espressa come:
N
∑
a k z −k Y(z) =
k =0
M
∑
b m z −m X(z)
m =0
∑
∑
M
H(z) =
M. Usai
(4.2.4)
Y(z)
=
X(z)
m =0
N
k =0
b m z −m
a k z −k
(4.2.5)
43
Dalla relazione:
N
∑ a k z Y(z) =
k =0
−k
M
−m
b
z
∑ m X(z)
m=0
può essere ricavato un diagramma a blocchi di una
implementazione di un filtro come mostrato in figura 4.3.
Questa è una implementazione nella forma diretta, che
realizza prima gli zeri e poi i poli.
M. Usai
44
M
N
m =0
k =1
y(n) = ∑ b m x(n − m) − ∑ a k y(n − k)
↓
N
M
k =0
m =0
∑ a k Z[y(n − k)] = ∑ b m Z[x(n − m)]
↓
N
∑ a k z Y(z) =
-
k =0
−k
M
−m
b
z
∑ m X(z)
m=0
-
Fig. 4.3 Implementazione diretta della equazione alle differenze (4.2.2)
M. Usai
45
Nella implementazione della equazione (4.2.2):
• i ritardi unitari sono indicati attraverso i
corrispondenti operatori della trasformata z, z-1
•
i coefficienti moltiplicatori costanti bm e ak sono
indicati come fattori guadagno.
Ciascun ritardo è realizzato attraverso alcune
configurazioni di elementi con memoria (registratori
memorie locali, capacitori ad interruttore, etc.) il cui
output attuale è uguale all’input precedente.
M. Usai
46
In generale un filtro a tempo discreto o digitale è costituito con
questi tre componenti di base chiamati:
1. sommatori (adders) con il simbolo del cerchio (Ο);
2. moltiplicatori (multipliers) con il simbolo del triangolo (<); e
3. ritardi (delays) con il simbolo del quadrato( ).
L’implementazione può anche essere nella forma trasposta che
realizza prima i poli e poi gli zeri.
M. Usai
47
Esempio di applicazione:
Tecnica della media (Averaging)
Una comune tecnica non ricorsiva per eliminare o ridurre le
fluttuazioni di una sequenza di dati (smoothing) mediante un
filtro consiste nel fare una media pesata per M+1 valori
consecutivi per ottenere un solo valore di output.
Una versione causale di questa operazione di filtraggio e quindi
descritta dalle equazioni alle differenze:
M
y(n) =
∑
M
b m x(n − m)
⇔
Y(z) =
m =0
M. Usai
∑
b m z -m X(z)
m =0
48
Tale tecnica può essere implementata non ricorsivamente
(nonrecursively) come mostrato in figura 4.4.
Fig.4.4 Una implementazione non ricorsiva (transveral) di un filtro FIR
Talvolta questo filtro é chiamato filtro trasversale.
La funzione di trasferimento corrispondente è semplicemente:
M
H(z) =
∑
b m z −m ;
m =0
M. Usai
49
e la risposta impulsiva h(n) si ottiene direttamente da H(z) o dal
diagramma a blocchi come:
⎧b n
h(n) = ⎨
⎩0,
n = 0,1,2,....., M
altrimenti.
La risposta impulsiva di questo filtro ha valori non nulli soltanto per
una durata o numero di campioni finito M. Il filtro risulterà
caratterizzato da una risposta impulsiva finita FIR (Finite impulse
response ). Generalmente i filtri FIR saranno implementati non
ricorsivamente (nonrecusively), ma possono essere generate anche
implementazioni ricorsive. Quindi sarà fatta la distinzione utilizzando
rispettivamente i termini:
FIR per descrivere il tipo di filtro e
non ricorsivo per descrivere l’implementazione del filtro
M. Usai
50
Esempio di applicazione:
Tecnica della integrazione (Accumulation)
Una comune tecnica ricorsiva per eliminare o ridurre le fluttuazioni
di una sequenza di dati (smoothing) mediante un filtro consiste nel
sommare (integrare) la sequenza con un ritardo o farlo passare
(leak) nell’accumulatore (accumulator) riportato nel diagramma a
blocchi di figura 4.5.
y(n) = x(n) + ay(n-1)
Fig. 4.5 Un accumulatore “leaky” è un filtro ricorsivo IIR
M. Usai
51
La corrispondente equazione alle differenze finite è quindi:
y(n) = x(n) + ay(n-1) →
y(n) - ay(n-1) = x(n)
trasformando: [1 - az−1 ] Y(z) = X(z)
e la funzione di trasferimento dalla(4.2.5) è:
1
H(z) =
.
−1
1 − az
Il filtro è causale e c’è un polo per z = a, ciò significa che la
regione di convergenza Rh deve soddisfare alla condizione:
|z| > |a|.
La risposta impulsiva è quindi la sequenza esponenziale:
h(n)=anu(n).
M. Usai
52
Si è visto perché sia la stabile, deve essere |a|<1.
Si noti che a(n) per valori di n positivi è diverso da 0 per un tempo
di durata infinita e quindi questo è un filtro con risposta
all’impulso illimitata IIR (Infinite-impulse-response).
Al contrario del caso FIR, i filtri IIR generalmente sono
implementati ricorsivamente; ma poiché un filtro IIR può avere
una implementazione predominante non ricorsiva (che comporta
ricorsione soltanto all’inizio di ciascun blocco dei dati di output),
sarà fatta la distinzione rispettivamente tra i termini:
IIR per descrivere il tipo di filtro e
ricorsivo per descrivere l’implementazione del filtro.
M. Usai
53

Relazioni Input

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