Sistemi e segnali a tempo discreto - Ingegneria elettrica ed elettronica

Sistemi e segnali a tempo discreto
Segnali
Per segnale si intende una grandezza fisica qualsiasi a cui è associata
informazione.
L’informazione che trasporta il segnale, lo caratterizza.
I segnali possono essere grandezze fisiche di natura diversa, ossia di
tipo: acustico, elettrico, luminoso, elettromagnetico, ecc.
Di solito, si è interessati all'andamento temporale di tale grandezza:
SEGNALE
M. Usai
⇔
FUNZIONE DEL TEMPO
Circuiti digitali 2
1
La trasmissione dei segnali può avvenire lungo percorsi
prestabiliti: circuiti e guide d’onda o nell’aria.
Durante la trasmissione, il segnale può subire interferenze,
rumore, diafonie, distorsioni che possono alterare la forma e
l’informazione.
Per contrastare e ridurre tali fenomeni, i segnali possono essere
amplificati, attenuati , elaborati attraverso dei dispositivi detti
filtri.
L’analisi e la caratterizzazione di un filtro si effettua analizzando
la risposta del filtro ad un ingresso test composto da segnali
campione, come l’impulso, il gradino ecc.
Principalmente lo studio dei segnali si effettua esaminando :
•l’andamento nel dominio del tempo e
•lo spettro nel domino della frequenza.
M. Usai
Circuiti digitali 2
2
Più in generale si esamina l'andamento di una grandezza in
funzione di un numero qualsiasi di grandezze
SEGNALE ⇔
FUNZIONE DI PIÙ VARIABILI
INDIPENDENTI.
Per esempio:
il segnale voce è una funzione continua e limitata del tempo
e
le immagini sono funzioni continue e limitate dello spazio
bidimensionale (2 variabili x, y) o tridimensionale (3
variabili x, y e z).
M. Usai
Circuiti digitali 2
3
I segnali possono essere:
s. analogici, esprimibili con funzioni continue. L’ampiezza di
questi segnali può assumere qualunque valore, nel suo
intervallo di definizione.
s. discreti, esprimibili con funzioni discrete. L’ampiezza può
assumere solo un insieme finito di valori nel campo di
definizione della variabile indipendente. Essi sono esprimibili
con funzioni discrete i cui valori sono calcolati per un insieme
definito di punti (non necessariamente equispaziati) della
variabile indipendente.
s. digitali, esprimibili con funzioni discrete ed a precisione
limitata. Essi sono rappresentabili con un codice contenente un
numero finito di cifre (tipicamente binarie)
M. Usai
Circuiti digitali 2
4
Si deve tenere sempre presente che :
I concetti di base e le relazioni della teoria dei segnali
e dei sistemi discreti nel tempo sono analoghi a quelli
dei segnali e sistemi continui nel tempo.
M. Usai
Circuiti digitali 2
5
Segnali analogici
I segnali analogici sono segnali che riproducono l'andamento
di grandezze del mondo fisico e con esse sono in stretta
analogia.
Come esempio si possono considerare le tensioni e le correnti in
un circuito elettrico ed elettronico.
Per la loro natura sono esprimibili con funzioni limitate, reali e
ovunque continue:
t∈ℜ
e
x(t) ∈ℜ
M. Usai
Circuiti digitali 2
6
2. Sistemi e segnali a tempo discreto
2.1 Segnali discreti
I segnali discreti sono definiti come funzioni di variabili
indipendenti che possono assumere solo un insieme finito di
valori discreti.
Un segnale discreto nel tempo x, consiste in una sequenza di
numeri indicata con xn , x(n) o x(nT), essendo n un indice
intero.
L'espressione x(nT) indica che la sequenza è derivata o legata a
un segnale continuo nel tempo
(es: campionamento di x(t) negli istanti t=nT).
M. Usai
Circuiti digitali 2
7
Si usa la notazione x(n) quando:
• la variabile indipendente è diversa dal tempo;
• la sequenza é prodotta con un segnale campionato
in istanti non equispaziati e
• non é necessario legare la sequenza direttamente al
segnale continuo nel tempo.
In generale si indica con:
• x(n) un singolo numero della sequenza per un dato
indice di valore n e con;
{x(n)} un insieme infinito che comprende la
sequenza.
M. Usai
Circuiti digitali 2
8
Si può definire la somma di due sequenze:
{x ( n )} + {y ( n )} = {x ( n ) + y ( n )}
(2.1.1)
e il prodotto di una costante per una sequenza:
a ∗ {x(n)} = {a * x(n)}
M. Usai
(2.1.2)
Circuiti digitali 2
9
Esistono sequenze di particolare importanza alle quali
sono state date nomi specifici:
Impulso unitario ( unit-sample) o sequenza impulso
(impulse-sequence) definita per tutti i valori di n da:
⎧1,
δ ( n) = ⎨
⎩0,
n=0
(2.1.3)
n≠0
La sua notazione è simile a quella della funzione impulso o
funzione di Dirac, utilizzata nella teoria dei sistemi continui
nel tempo
M. Usai
Circuiti digitali 2
10
L’impulso unitario è una funzione molto utilizzata, infatti
una sequenza arbitraria può essere rappresentata come una
somma di impulsi ritardati e scalati (proprietà del
campionamento), ossia:
x[n] =
+∞
∑ x[k ]δ [n − k ]
k = −∞
Gradino unitario ( unit step): definita per tutti i valori di n
da:
n≥0
⎧1,
u ( n) = ⎨
(2.1.4)
n<0
⎩0,
M. Usai
Circuiti digitali 2
11
Il gradino unitario viene utilizzato per rappresentare altre
sequenze come la sequenza esponenziale:
n
⎧
,
a
n
a u ( n) = ⎨
⎩0,
n≥0
n<0
(2.1.5)
Una operazione importante sulla sequenza x(n) è quella
dell'operatore ritardo di nd campioni ( delay by nd ) che
genera un'altra sequenza:
y(n) = x(n - nd)
M. Usai
Circuiti digitali 2
12
Per esempio: p(n) = u(n-n1)-u(n-n2)
è una sequenza rettangolare di durata finita e di ampiezza unitaria:
• il cui primo campione diverso da zero si ha per n = n1 e
• gli elementi diversi da zero si hanno per n1 ≤ n ≤ n2,
assumendo che n2 > n1.
Il termine delay (ritardo ) è utilizzato per n corrispondente a valori
discreti nel tempo;
il termine shift (sfasamento) è un termine più appropriato in un
altri contesti.
Se il valore di nd è negativo, per descrivere l'operazione si usa il
termine anticipo (advance) e si pone na = -nd:
y(n) = x(n+ na)
M. Usai
Circuiti digitali 2
13
Fig. 2.1 Sequenze: impulso, gradino unitario, sequenza rettangolare, sequenza esponenziale
M. Usai
Circuiti digitali 2
14
Una sequenza è detta periodica se e solo se :
x(n) = x(n+ np)
per alcuni np interi per tutti i valori di n.
Per una sequenza periodica i segnali risultano equispaziati.
Si noti che il campionamento di segnali periodici continui nel
tempo per produrre x(n), non assicura che x(n) sia una
sequenza periodica, a meno che(np·T)sia un multiplo intero del
periodo del segnale continuo nel tempo, dove T è l'intervallo di
campionamento.
Per una sequenza x(n) generica i campioni non sono
necessariamente equispaziati.
M. Usai
Circuiti digitali 2
15
Segnali digitali (o quantizzati)
I segnali digitali sono definiti come funzioni discrete di
variabili indipendenti discrete e sono una sequenza di numeri
digitali.
La discretizzazione si ha sia nel dominio che nel codominio.
Ai numeri digitali si devono associare:
• la grandezza e
• la precisione .
Esistono vari tipi di rappresentazione dei numeri digitali, per
esempio: intera (complemento a 2), reale (fixed-point, floatingpoint)
M. Usai
Circuiti digitali 2
16
La discrettizazione dei segnali comporta che per ciascun
intervallo della variabile indipendente si associ un solo
valore alla variabile indipendente.
Ciò introduce degli errori detto errori di quantizzazione,
dovuti alla differenza tra il valore quantizzato e il suo
valore reale.
Tali errori diminuiscono:
• al diminuire dell’intervallo di campionamento del segnale
e
•all’aumentare del numero di livelli della quantizzazione
(dimensione degli intervalli in cui si suddivide il campo dei
possibili valori).
M. Usai
Circuiti digitali 2
17
Sistemi per il trattamento dei segnali
Così come sono stati suddivisi i segnali, si possono suddividere i
sistemi per il loro trattamento:
SISTEMI ANALOGICI:
SEGNALE
ANALOGICO x(t)
⇒
CIRCUITO ANALOGICO ⇒ SEGNALE
ANALOGICO y(t)
dove x(t) e y(t) sono segnali analogici
(Per esempio il doppio bipolo).
M. Usai
Circuiti digitali 2
18
SISTEMI DISCRETO:
SEGNALE
DISCRETO x(t)
⇒
CIRCUITO NUMERICO ⇒
SEGNALE
DISCRETO y(t)
dove x(t) e y(t) sono sequenze
SISTEMI DIGITALE:
SEGNALE
DIGITALE x(t)
⇒
CIRCUITO NUMERICO ⇒
SEGNALE
DIGITALE y(t)
dove x(t) e y(t) sono sequenze e il circuito numerico è a precisione
finita.
M. Usai
Circuiti digitali 2
19
SISTEMI ANALOGICI
I s. a. sono usualmente realizzati con circuiti elettrici a
costanti concentrate o distribuite.
I vantaggi sono:
•
alta velocità;
•
basso costo potenziale;
• capacità di gestire anche grandi potenze.
Gli svantaggi sono:
•
sensibilità al rumore;
• mancanza di riproducibilità;
•
scarsa flessibilità:
M. Usai
Circuiti digitali 2
20
SISTEMI DIGITALI
I s.d. sono una buona approssimazione dei sistemi discreti che
spesso vengono realizzati con circuiti digitali programmabili.
I vantaggi sono:
•
riproducibilità;
•
insensibilità al rumore;
• alta flessibilità (capacità di adattamento, etc.);
•
basso costo rapportato alla complessità;
•
possibilità di integrazione a larga scala (VLSI, WSI);
•
facilità di interazione con gli operatori umani (buona
interfaccia uomo-macchina).
Gli svantaggi sono:
•
bassa velocità;
• allo stato attuale scarsamente capaci di gestire potenze;
•
hanno problemi di precisione (rumore interno).
M. Usai
Circuiti digitali 2
21
2.2 Sistemi e filtri discreti nel tempo
Se una sequenza x(n) viene utilizzata per produrre un'altra
sequenza y(n), si può pensare a queste sequenze come input e
output rispettivamente di un sistema o filtro discreto nel
tempo come illustrato in figura 2.2(a):
x(n)
y(n)
Filtro LTI
δ(n)
h(n)
Filtro LTI
Fig. 2.2 Filtro LTI Lineare Tempo Invariante con a) generico input e output o b) input
impulso δ(n) e risposta impulsiva h(n)
M. Usai
Circuiti digitali 2
22
In generale per un filtro si ha che:
x(n) ⇒
input
x(n) ⇒
⇒
FILTRO
y(n)
output
⇒
y(n)
Il filtro è digitale quando x(n) e y(n) possono assumere solo
un numero finito di possibili valori di ampiezza.
M. Usai
Circuiti digitali 2
23
Un filtro discreto nel tempo è lineare se, essendo assegnate le
sequenze di input x1(n) e x2(n), che danno in uscita al sistema
rispettivamente le sequenze di output y1(n) e y2(n), una
combinazione lineare qualsiasi di x1(n) e x2(n) in ingresso
x(n) = a x1(n) + b x2(n), da in uscita y(n) = a y1(n) + b y2(n)
ossia se:
x1(n) ⇒ y1(n)
e
x2(n) ⇒ y2(n)
x(n) = a x1(n) + b x2(n)
allora:
⇒
y(n) = a y1(n) + b y2(n)
per tutti i valori di a e di b.
M. Usai
Circuiti digitali 2
24
Un filtro tempo-invariante o ritardo-invariante
(time-invariant or shift-invariant filter) implica che se:
{x(n)⇒y(n)}
⇒
{x(n-nd)⇒y(n-nd)}
per tutti i valori di n e di nd.
A un ritardo in ingresso nd corrisponde un uguale ritardo
in uscita o in qualunque istante applichi la sequenza di
ingresso l’uscita non varia il suo andamento
M. Usai
Circuiti digitali 2
25
Convoluzione (Convolution)
Se l'input è la sequenza impulso δ(n), l'output risultante è la
risposta all'impulso del filtro (impulse response of the
filter) o risposta impulsiva o risposta al campione
unitario del filtro (unit-sample response of the filter) e si
indica con h(n), vedi fig 2.2(b):
δ(n)
M. Usai
⇒
Circuiti digitali 2
h(n).
26
L'input e l'output di un filtro a tempo discreto lineare
tempo-invariante (LTI) possono essere facilmente espressi
attraverso la risposta di impulso del filtro come segue:
x(n) =
∞
∑ x ( k )δ ( n − k )
(2.2.1)
k = −∞
ossia :
l’input x(n) può essere pensato come la somma di un
numero infinito di sequenze di impulsi ritardati e pesati, con
impulso K-esimo δ(n-k) pesato con x(k), come in fig. 2.3.
M. Usai
Circuiti digitali 2
27
Fig. 2.3 Singoli impulsi ritardati e pesati costituenti la sequenza x(n) espressa in (2.2.1)
M. Usai
Circuiti digitali 2
28
Ma per l'invarianza temporale all’input δ(n-k) corrisponde
l’output h(n-k) e per la linearità, l'output relativo alla sommatoria
pesata in (2.2.1) è:
y (n) =
∞
∑ x(k )h(n − k )
(2.2.2)
k = −∞
Questa è la somma di convoluzione che lega l'input e l'output di un
filtro discreto nel tempo, con l'output che si può scrivere :
y (n) =
∞
∑ x(n − k )h(k )
(2.2.3)
k = −∞
Si userà il simbolo * per indicare l'operazione di convoluzione di
due sequenze:
y(n)=x(n) * h(n)
M. Usai
(2.2.4)
Circuiti digitali 2
29
Proprietà della operazione di convoluzione
L'operazione di convoluzione presenta le seguenti proprietà:
p. commutativa:
x(n) * h(n) = h(n) * x(n).
p. associativa:
[w(n) * x(n)] * h(n) = w(n) * [x(n) * h(n)] e
p. distributiva:
[w(n) + x(n)] * h(n) = [w(n) * h(n)] + [x(n) * h(n)]
Un'altra proprietà utile è che se y(n) = x(n) * h(n):
x(n-n1) * h(n- n2) = y(n-n1-n2)
(2.2.5)
cioè i due ritardi n1 e n2 si sommano per produrre il ritardo di
output (n1+n2).
M. Usai
Circuiti digitali 2
30
Due filtri si dicono in cascata quando l’output del primo filtro è
l’input del secondo filtro, come illustrato in figura 2.8.
Per filtri lineari tempo invarianti, si se:
y1(n)= x(n)*h1(n),
per il collegamento dei filtri in cascata deve essere:
y(n)=y1(n)*h2(n)=[x(n)*h1(n)]*h2(n)=x(n)*[h1(n)*h2(n)].
La risposta all’impulso della cascata di filtri equivale a quella di
un filtro singolo con risposta impulsiva :
h(n)=h1(n)*h2(n).
Per la proprietà commutativa della convoluzione scambiando
l’ordine dei filtri , l’output y(n) non cambia.
M. Usai
Circuiti digitali 2
31
x(n)
h1(n)
y1(n)
y(n)
h2(n)
x(n)
y(n)
h1(n)*h2(n)
x(n)
h2(n)
y2(n)
y(n)
h1(n)
Fig. 2.8 Interconnessione in cascata di due filtri con risposte impulsive h1(n) e h2(n)
M. Usai
Circuiti digitali 2
32
Due filtri si dicono in parallelo se sono collegati in modo che
l’input sia lo stesso per entrambi e l’output sia la somma degli
output come come in fig 2.9.
Quindi essendo:
y(n) = y1(n)+y2(n)
per il collegamento dei filtri in parallelo si ha
y(n) = [x(n)*h1(n)]+ [x(n)*h2(n)] = x(n)* [h1(n)]+ h2(n)]
e la risposta totale all’impulso di due filtri in parallelo equivale a
quella di un filtro singolo con risposta impulsiva:
h(n)= h1(n) + h2(n).
M. Usai
Circuiti digitali 2
33
h1(n)
y1(n)
x(n)
y(n)
+
y2(n)
h2(n)
x(n)
h1(n)+h2(n)
y(n)
Fig. 2.9 Rappresentazioni equivalenti della interconnessione di due filtri con risposte
impulsive h1(n) e h2(n)
M. Usai
Circuiti digitali 2
34
2.3 Stabilità e causalità
Stabilità
Un filtro a tempo discreto è definito stabile se una sequenza
finita di input limitati genera una sequenza finita di output cioè,
se:
|x(n)| ≤ M1<+∞ ⇒
|y(n)| ≤ M2<+∞
(2.3.1)
per certe costanti finite M1 e M2 e per tutti i valori di n.
Si dimostra che un filtro lineare tempo-invariante mantiene la
stabilità se e solo se la risposta all'impulso è assolutamente
sommabile.
M. Usai
Circuiti digitali 2
35
Causalità
Un filtro discreto nel tempo è causale se per ogni due sequenze
di input x1(n) e x2(n) uguali per tutti gli n ≤ n0, le corrispondenti
sequenze di output y1(n) e y2(n) sono anch'esse uguali per n ≤ n0.
Per un filtro lineare tempo-invariante, ciò equivale alla
condizione che:
h(n) = 0,
n<0.
(2.3.2)
Quindi causalità significa che il filtro non risponde a un input
prima che l'input sia effettivamente applicato.
M. Usai
Circuiti digitali 2
36
Sebbene ogni filtro implementato fisicamente sia sempre
causale, sarà conveniente alle volte assumere versioni non
causali del filtro per scopi analitici.
(Se il filtro è implementato con software in un computer con una
matrice di dati, potrebbe essere infatti non causale).
Ogni sequenza x(n) sarà detta causale se x(n) = 0, n<0, o in altre
parole, se la sequenza può essere la risposta impulsiva di un
filtro causale.
Quindi per esempio tutti i segnali mostrati in fig.2.1 sono
causali.
M. Usai
Circuiti digitali 2
37
Inoltre per un sistema causale, le espressioni della convoluzione
nella (2.2.2) e (2.2.3) diventano rispettivamente:
y(n) =
n
∑ x(k )h(n − k )
(2.3.3)
k =−∞
∞
y(n) = ∑ x(n − k )h(k )
(2.3.4)
k =0
Entrambe le relazioni mostrano chiaramente che l’output dipende
esclusivamente dai valori precedenti e dal valore attuale (relativo
all’ultimo termine) della serie di n input, mentre non compare
alcun termine successivo (con indice >n).
M. Usai
Circuiti digitali 2
38