Nozioni introduttive e notazioni

Nozioni introduttive e notazioni
1.1 Insiemi
La teoria degli insiemi è alla base di tutta la matematica , in quanto ne fornisce il
linguaggio base e le notazioni .
Definiamo un insieme come una collezione di oggetti , in numero finito o infinito . Nel
primo caso parliamo di insieme finito di ordine pari al numero degli oggetti che lo
costituiscono , nel secondo caso di insieme infinito .
Così sono insiemi finiti di ordine 7 gli insiemi dei nani della favola di Biancaneve , dei
giorni della settimana , delle note musicali , dei numeri naturali compresi tra 0 e 6… ,
sono insiemi infiniti l’insieme di tutti i numeri naturali, l'insieme dei numeri interi,
quello dei razionali, degli irrazionali e dei reali .
Gli oggetti che costituiscono un insieme sono detti i suoi elementi .
Gli insiemi sono generalmente indicati con lettere maiuscole dell'alfabeto latino esteso
A, B, X, Y…, gli elementi con lettere minuscole a, b, x, y … .
Per indicare l'appartenenza o meno dell'elemento x all'insieme A , si scrive
x∈ A
e
x∉A
rispettivamente .
L'insieme privo di elementi è detto insieme vuoto e indicato universalmente con il
simbolo
∅ .
Sono esempi di ∅ l’insieme delle soluzioni reali dell’equazione x2 + 1 = 0 , l’insieme
dei numeri naturali minori di 0 , l’insieme delle soluzioni reali del sistema seguente
x − y = 0
 2
2
 x + y − 8 x + 15 = 0
-1-
Vediamo i modi più usati per indicare un insieme .
Alcuni insiemi hanno una notazione standard : così N, Z, Q, R, C indicano l'insieme dei
numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi , 2Z l'insieme dei numeri pari , Z[x]
l'insieme dei polinomi in una variabile x a coefficienti interi . Vedremo in seguito molte
altre notazioni di uso comune in matematica .
Uno specifico insieme viene indicato mediante l’indicazione diretta dei suoi elementi,
elencando gli stessi tra parentesi graffe, ciascuno una volta sola e senza dare importanza
all’ordine . Così ,
I=
{
}={
0,1,2
1,0,2
}={
1,2,0
}=…
indica l’insieme dei primi tre numeri naturali .
Un altro modo per assegnare un insieme X consiste nell’indicare una proprietà
caratteristica comune a tutti i suoi elementi e scrivere
X=
{
x / x ha la proprietà P
}
x : x ha la proprietà P
}.
o anche
X=
{
In tal caso si parla di rappresentazione caratteristica dell’insieme X .
L’insieme I =
caratteristica :
{
0,1,2
},
finito di ordine 3, ha la seguente rappresentazione
I=
{
x / x ∈ N e 0≤ x ≤ 2
}
o, equivalentemente ,
I=
{
x ∈ N / 0≤ x ≤ 2
}.
Osserviamo che è necessario indicare esplicitamente la natura degli elementi
dell’insieme e non solo la loro proprietà caratteristica : infatti la stessa proprietà degli
elementi di I dà luogo in R all’insieme infinito [0,2] , detto intervallo chiuso di estremi
0e2,
[0,2]= {
x ∈ R / 0≤ x ≤ 2
}.
Gli intervalli della retta reale possono anche essere aperti e semiaperti (o semichiusi ) e
sono caratterizzati e indicati nel modo che segue :
-2-
(a,b) =
{
x ∈R / a < x < b
}
[a,b) =
{
x ∈ R / a ≤ x <b
}
( a,b] =
{
x ∈ R / a< x ≤ b
}.
Ricordiamo infine i simboli che useremo più frequentemente nel seguito :
∀ significa “ per ogni “ , “ per tutti “ , “ qualunque sia “ , …
∃ significa “ esiste almeno un/o/a “
∃!significa “ esiste uno ed un solo “
⇒ si legge “implica” : se p e q sono due affermazioni , p⇒q significa che se p è
vera, allora è vera anche q
⇔ si legge “biimplica” o “ se e soltanto se “ : se p e q sono due affermazioni ,
p ⇔ q significa che p e q sono equivalenti, cioè che esse sono entrambe vere o
entrambe false .
∧ si legge “e” , ha il significato della congiunzione e
∨ si legge “o” , ha il significato della congiunzione o , oppure ( è il vel latino).
1.2 Sottoinsiemi
Un insieme A si dice sottoinsieme dell’insieme B se ogni elemento di A appartiene a B.
Si scrive
A⊆B
e si legge “ A contenuto in B “ o “ A incluso in B” . In simboli :
A ⊆ B ⇔ ∀ x ∈A ⇒ x ∈ B .
Ad esempio ,
N⊆Z⊆Q⊆R⊆C,
2Z ⊆ Z ,
{
0,1,2
}⊆ {
0,1,2,3
}⊆N.
Dalla definizione segue che ogni insieme è sottoinsieme di se stesso e che l’insieme
vuoto è un sottoinsieme di qualunque insieme , cioè
∀A ,A⊆A e∅⊆A .
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Due insiemi A e B sono uguali se hanno gli stessi elementi . Si scrive A = B . In
simboli :
A=B ⇔ A⊆B ∧ B⊆A.
A è detto sottoinsieme proprio di B se è un sottoinsieme di B non coincidente con B ,
cioè A ⊆ B e A ≠ B . Si scrive talvolta A ⊂ B ( si noti l’analogia dei simboli ⊆ e ⊂ con
i simboli ≤ e < della relazione di ordinamento per grandezza dei numeri reali ) .
Dato un insieme I , la collezione di tutti i suoi sottoinsiemi costituisce l’insieme delle
parti o insieme potenza di I :
P(I) = { A / A ⊆ I } .
Per quanto osservato precedentemente ∅ e I appartengono a P(I), quindi P(I) non è mai
privo di elementi .
Come esempio , costruiamo P(I) nei casi I =
P( { 0,1
P( { 0,1,2
{
0,1
} e I ={
0,1,2
}.
} ) = { ∅,{0},{1}, {0,1}}
} ) = { ∅,{0},{1},{2}, {0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}}.
Se I ha ordine 2 , il suo insieme delle parti ha 4 elementi , se I ha ordine 3 , il suo
insieme delle parti ha 8 elementi , si dimostra che se I ha ordine n , il suo insieme delle
parti ha 2n elementi .
1.3 Operazioni tra insiemi .
Definizione . Dati due insiemi A e B , si dice insieme unione di A e di B l’insieme
A U B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad almeno uno tra A e B . in
simboli :
A U B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B }
Definizione . Dati due insiemi A e B , si dice insieme intersezione di A e di B
l’insieme A I B avente come elementi gli oggetti che appartengono sia ad A che a B .
In simboli :
A I B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B }.
Ad esempio :
NU Z = Z , NI Z = N
{0,1,2} U {1,2,3} = {0,1,2,3}, {0,1,2} I {1,2,3} = {1,2}
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{
x ∈ R / 0≤ x ≤ 2
}
U
{
x ∈ R / -1≤ x < 2
} = [0,2] U [− 1,2) = [− 1,2]
[0,2] I [− 1,2) = [0,2) ,
(0,2)
U [− 1,0 ) =
{
(0,2)
x ∈ R / -1≤ x < 2 ∧ x ≠ 0
},
I [− 1,0 ) = ∅ .
Due insiemi A e B si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune , cioè se A I B
= ∅ . Sono disgiunti gli intervalli della retta reale dell’ultimo esempio .
Osserviamo che i concetti di unione e intersezione insiemistica vengono usati, a volte
implicitamente , quando si risolvono equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni o
disequazioni : a titolo di esempio si discuta l’equazione (x2 – 1)(x +3) = 0 e il sistema
del paragrafo 1.1
x − y = 0
 2
2
 x + y − 8 x + 15 = 0
L’insieme S delle soluzioni di (x2 – 1)(x +3) = 0 è S = {-1,+1,-3} ed è l’unione
insiemistica dell’ insieme S1 = {-1,+1} delle soluzioni di x2 – 1 = 0 e dell’insieme S2 =
{-3} delle soluzioni di x + 3 = 0 .
L’ insieme delle soluzioni del sistema è ∅ ed è l’intersezione dei due insiemi infiniti di
coppie di numeri reali
{(x,y) / y = x }
{(x,y) / x2 +y2 –8x + 15 =0}
che nel piano cartesiano danno luogo rispettivamente alla bisettrice del primo e terzo
quadrante e alla circonferenza di centro C(4,0) e raggio 1 (si noti come la proprietà
caratteristica dei due insiemi ne diventa l’equazione cartesiana ) .
Definizione . Dati due insiemi A e B , si dice insieme differenza di A e di B l’insieme
A-B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad A e che non appartengono a
B In simboli :
A-B = {x / x ∈A ∧ x ∉B } .
Ad esempio :
{0,1,2,3 } - {-,1,0,2,-2 } = {1,3}
R - {x∈ R / x >0 } = {x∈ R / x ≤ 0 } = (− ∞,0]
Z – 2Z = {x ∈Z / ∃ y ∈Z ∧ x = 2y + 1 }
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Se la differenza viene effettuata tra un insieme e un suo sottoinsieme , si parla di
complementare del secondo insieme nel primo .
Così, riferendoci all’ultimo esempio, l’insieme dei numeri dispari è il complementare
dell’insieme dei numeri pari nell’insieme degli interi .
Definizione . Dati due insiemi A e B , si dice insieme differenza simmetrica di A e di
B l’insieme A ∆ B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad A e che non
appartengono a B e gli oggetti che appartengono a B e che non appartengono a A. In
simboli :
A ∆ B = {x / x ∈A ∧ x ∉B } U {x / x ∈B ∧ x ∉A } = (A-B) U (B-A) .
Ad esempio
{0,1,2,3 } ∆ {-1,0,2,-2 } = {1,3} U {-1,-2 }{-1,1,-2,3 } .
Quest’ultima operazione ha la seguente applicazione : date due specie biologiche e
denotati con A l’insieme dei caratteri morfologici della prima e con B quelli della
seconda , l’ordine di A ∆ B indica la distanza tra le due specie in esame .
Definizione . Dati due insiemi A e B non vuoti, si dice insieme prodotto cartesiano di
A e di B l’insieme AxB avente come elementi le coppie ordinate di elementi di A e di
B . In simboli :
AxB = {(a,b) / a ∈A ∧ b ∈B }
Ad esempio , se A = {0,1,2 } e B = {2,3 } , si ha
AxB = {(0,2), (0,3), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3)} .
Il prodotto cartesiano RxR , indicato anche con R2, è l’insieme di tutte le coppie
ordinate di numeri reali , che, come è noto, è in corrispondenza biunivoca con l’insieme
dei punti del piano cartesiano.
RxR = R2 = {(a,b) / a ∈R ∧ b ∈ R}
La coppia (a,b) è rappresentata nel piano cartesiano dal punto di ascissa a e di ordinata
b.
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