Gli insiemi - matematicaweb

Gli insiemi
In matematica usiamo la parola insieme
per indicare un raggruppamento, una
collezione, una raccolta di oggetti
(persone, simboli, numeri, lettere,
figure …) che sono detti elementi
dell’insieme e che sono ben definiti e
distinti tra di loro
1
Un insieme si dice ben definito quando si
può stabilire in modo inequivocabile se un
oggetto appartiene o non appartiene a tale
insieme
Esempio
L’insieme formato dalle città più belle d’Italia non è ben
definito perché non esiste nessun criterio oggettivo in
base al quale una città è più bella di un’ altra.
L’insieme delle province della Puglia che cominciano con
la lettera B è ben definito in quanto è sicuramente formato
in maniera inequivocabile dalle città Bari, Brindisi e
Barletta.
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Esempi di insiemi ben definiti:
1. l'
insieme delle lettere della parola parco
2. l'
insieme delle canzoni che ho ascoltato ieri
3. l’insieme delle città della Puglia con più di 80000 abitanti
4. l’insieme delle lettere dell’alfabeto italiano
5. l'
insieme dei numeri 1, 2, 3, 4, 5
6. l'
insieme delle montagne d’Italia più alte di 1000 metri
7. l'
insieme formato dal numero 3 del e dal monte bianco
Esempi di insiemi che non sono ben definiti
1. l'
insieme dei numeri più alti
2. l'
insieme dei libri più interessanti
3. l'
insieme delle città più belle del mondo
4. l'
insieme degli amici più simpatici di Marco
5 l'
insieme delle automobili più veloci
3
Gli oggetti che formano un insieme si chiamano
“elementi” dell’insieme
gli insiemi si indicano con lettere maiuscole
A, B, C, …;
gli elementi con lettere minuscole
a, b, c, …;
4
se un elemento x fa parte dell'
insieme A si dice che
esso appartiene all'
insieme A,
si scrive x∈A
e si legge “x appartiene ad A”;
Il simbolo ∈ si chiama simbolo di appartenenza.
se un elemento y non fa parte dell'
insieme A si dice
che esso non appartiene all'
insieme A,
si scrive y A
e si legge “y non appartiene ad A”.
Il simbolo
si chiama simbolo di non appartenenza.
5
La proprietà caratteristica
di un insieme
è il criterio in base al quale
si stabilisce se un elemento
appartiene a un insieme
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Esistono particolare lettere utilizzate
per indicare degli insiemi numerici:
• si utilizza per indicare l’insieme dei
numeri naturali: ={0,1, 2,3,...} ;
• si utilizza per indicare i numeri interi
relativi: ={... ,−3,−2,−1,0,+1,+2,+3,...}
• si utilizza per indicare i numeri
razionali:
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Rappresentazioni di un insieme
Esistono tre tipi di rappresentazione
di un insieme :
• TABULARE
• GRAFICA
• CARATTERISTICA
8
Rappresentazione
tabulare
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
Si elencano in una parentesi
graffa tutti gli elementi
appartenenti all’insieme separati
da una virgola
9
Rappresentazione Grafica
o di Eulero-Venn
A
.2
.
3
.1
.4 .5
Si disegna un ovale o cerchio in cui
inserire gli elementi appartenenti
all’insieme
10
Rappresentazione
per caratteristica
A = {x ∈ N | x < 6 }
Nell’esempio in questione l’insieme A
numeri naturali minori di 6
rappresenta tutti i
il simbolo ∈ significa appartiene, il simbolo N rappresenta i numeri naturali, e il
simbolo | significa tale che quindi
A = {x ∈ N | x < 6 } si legge A è uguale all’insieme dei numeri x appartenenti ai
numeri naturali tale che x siano minori di 6
La rappresentazione per caratteristica consiste quindi nel
descrivere sinteticamente la proprietà che caratterizza, gli
elementi dell’ insieme
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Tipi di insieme
• INSIEME VUOTO
• INSIEME FINITO
• INSIEME INFINITO
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Insieme vuoto
si dice insieme vuoto e si indica con il simbolo
un insieme che non contiene nessun elemento
o{}
ATTENZIONE { } è diverso da { }, perché { } rappresenta un insieme
che contiene l’insieme vuoto
ESEMPI:
•L'
insieme A dei numeri naturali minori di 0 è vuoto
oppure A= { }
e si rappresenta A =
•L’insieme B dei punti di intersezione di due rette parallele è vuoto
e si rappresenta
B=
•L’insieme C delle province con meno di 10 abitanti è vuoto
e si rappresenta C =
13
Insieme finito
Si dice insieme finito un insieme i cui elementi si
possono contare
ESEMPI:
•L'
insieme A dei numeri naturali compresi tra 2 e 9 è finito
e si rappresenta A = { 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
•L’insieme B delle lettere della parola mamma e finito
e si rappresenta B = { m, a } (nota che gli elementi uguali si scrivono solo una volta)
•L’insieme C degli studenti della 1 A seduti nell’ultima fila è finito
e si rappresenta C = { .., .., .., .., .., }
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Insieme infinito
Si dice insieme infinito un insieme i cui elementi non si
possono contare
ESEMPI:
•L’insieme A dei punti di una retta è infinito
e conviene rappresentarlo per caratteristica.
Esempio A = { x tale che x sono numeri di una retta }
•L’insieme B dei numeri naturali maggiori di 40 è infinito
e conviene rappresentarlo per caratteristica.
•L'
insieme C dei numeri razionali compresi tra 2 e 9 è infinito
e conviene rappresentarlo per caratteristica.
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Cardinalità di un insieme finito
Si definisce cardinalità di un insieme A finito il numero
degli elementi dell'
insieme e viene indicata con il simbolo
card (A).
ESEMPI:
•Dato l’insieme A = { 3, 4, 5, 6, 7, 8 } la sua cardinalità è card (A) = 6
•Dato l’insieme B delle lettere della parola lampada
la sua cardinalità è card (B) = 5
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Insiemi uguali, insiemi diversi e insiemi disgiunti
Due insiemi A e B si dicono uguali se sono
formati dagli stessi elementi, anche se disposti
in ordine diverso e si scrive A=B
Due insiemi uguali hanno la stessa cardinalità.
Due insiemi A e B si dicono diversi se non
contengono gli stessi elementi e si scrive A B
Due insiemi diversi non hanno la stessa cardinalità
Due insiemi A e B si dicono disgiunti quando
non hanno elementi in comune
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Sottoinsiemi di un insieme
Si definisce sottoinsieme proprio di un insieme A un
insieme B che contiene gli stessi elementi di A ma in
numero minore e si indica A ⊂ B
Si definiscono sottoinsiemi impropri di un insieme A
l’insieme vuoto e lo stesso insieme
La scrittura A ⊂ B indica tutti i possibili
sottoinsiemi, sia quelli propri che quelli impropri
La scrittura A ⊂ B significa che
A non è sottoinsieme di B
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Insiemi delle parti di un insieme
Dato l’insieme A
rappresentato graficamente a
lato, tutti i suoi possibili
sottoinsiemi , sia quelli propri
che quelli impropri sono:
A
.1
.3
.2
{}, { 1, 2, 3 }, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 }.
Si chiama insieme delle parti di A e si indica con P(A)
l’insieme che contiene tutti i sottoinsiemi di A propri e
impropri; cioè:
P(A) ={ {}, { 1, 2, 3 }, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 } }
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Operazioni tra insiemi
• Unione
• intersezione
• differenza
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Operazione di unione tra insiemi
Dati due insiemi A e B, si dice insieme unione e si
indica A ∪ B l’insieme che contiene tutti gli elementi
di A e tutti gli elementi di B.
(Ovviamente se ci sono elementi in comune, si scrivono una sola volta)
ESEMPIO 1:
Dati gli insiemi A = { 3, 4, 5, 6} e B = { 1, 2, 3, 4}
L’insieme A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
B
A
.3
.5
Graficamente
.2
.4
.6
.1
.4
.1
.3
A∪B
3
.2
.4
.5
.6
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Operazione di unione tra insiemi
ESEMPIO 2:
Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6}
L’insieme A ∪ B = {1, 2, 3 , 4, 5, 6}
Osserviamo che gli insiemi A e B non hanno elementi in comune.
Due insiemi che non hanno elementi in comune si dicono DISGIUNTI
ESEMPIO 3:
Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {2, 3, 5}
L’insieme A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Osserviamo che gli insiemi B ⊂ A.
Possiamo affermare
A
che quando B ⊂ A
.4
.2 .5
allora A ∪ B = A
.1 .6 .3
B
Graficamente
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Operazione di intersezione tra insiemi
Dati due insiemi A e B, si dice insieme unione e si indica
A ∩ B l’insieme che contiene tutti gli elementi che
appartengono contemporaneamente ad A e a B.
ESEMPIO 1:
Dati gli insiemi A = { a, b, c, d} e B = { l, m, n, o}
L’insieme A ∩ B = { }
Graficamente
A
B
.a
.b
.c
.d
.l
.m
.n
.o
A e B sono disgiunti
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Operazione di intersezione tra insiemi
ESEMPIO 2:
Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e
L’insieme A ∩ B = { 3 , 4 }
Graficamente
A
.1
.2
A∩B
B = {3, 4, 5, 6}
B
.3
.3
.5
.4
.4
.6
=
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Operazione di intersezione tra insiemi
ESEMPIO 3:
Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e
L’insieme A ∩ B = { 2, 3, 5 }
Graficamente
B = {2, 3, 5}
A
.4
.1 .6
.2 .5
.3
B
Possiamo affermare
che quando B ⊂ A
allora A ∩ B = B
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Operazione di differenza tra insiemi
Dati due insiemi A e B, si dice insieme differenza tra A e B e
l’insieme C che contiene tutti gli elementi di A che non
appartengono a B.
In simboli: C = A - B che si legge "A differenza B".
Mediante proprietà caratteristica si scrive:
C = A−B = {x | x ∈ A e x B}
ESEMPIO :
Siano A = {4,5,6,7,8} e B = {5,7 ,1,9} allora
A − B = {4, 6, 8 }
e
B − A = {1, 9}
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