tutorial 4 - Dipartimento di Matematica

4. La teoria degli insiemi (intuitiva).
La semantica vista nel secondo capitolo non va oltre l’idea di verità come caratterizzazione della idea di
proposizione logica. Per andare oltre occorre riprendere quella idea di ‘semantica estensionale’ introdotta
all’inizio, nella quale il significato di un concetto è dato dalla totalità delle sue ‘istanze’, cioè degli individui
cui si può attribuire tale concetto: il significato del concetto ‘animale’ è dato dalla totalità degli animali, o,
come diremo nel seguito, dall’insieme degli animali.
L’insieme è inizialmente l’idea di una molteplicità di cose o ‘elencate’ ({Michele, Francesco, Anna}) o
caratterizzate da una proprietà {i numeri pari}. E’ ovvio che questa seconda caratterizzazione si connette
immediatamente alla logica, come rapporto tra intensione ed estensione. La proprietà (intensionale)
dell’”essere umano” corrisponde all’insieme (estensione) degli “umani”. E l’estensione di un concetto è
oggi accettata come sua semantica: il significato (o meglio il riferimento)dell’“essere umano” è proprio
l’insieme degli umani. La connessione è molto più profonda di quanto potrebbe sembrare a prima vista,
perché si estende a connettivi e operazioni/relazioni insiemistiche. E’ quello che in algebra si dice un
isomorfismo tra la teoria logica proposizionale e la teoria degli insiemi. Le operazioni insiemistiche saranno
caratterizzanti dei reticoli di Boole (o algebre di Boole) che studierete in algebra. Incidentalmente
sottolineiamo l’importanza in matematica del concetto di ‘isomorfismo’, che caratterizza l’uguaglianza
formale tra due strutture matematiche: i numeri arabi e quelli romani appaiono differenti, ma, da un punto
di vista formale, sono la stessa struttura.
Queste sono le basi della cosiddetta ‘teoria ingenua degli insiemi’, ingenua perché esposta a paradossi,
sostituita da una ’teoria assiomatica degli insiemi’ più rigorosa nella matematica moderna, ma sufficiente
per il nostro uso. In essa un insieme è caratterizzato in primo luogo estensionalmente dai suoi elementi,
cioè se due insiemi hanno gli stessi elementi allora coincidono. In questo capitolo diamo una prima
introduzione molto intuitiva che svilupperemo nei capitoli 6 e 7, e che verrà resa più rigorosa in algebra.
Faremo ‘dimostrazioni’ sugli insiemi di natura costruttiva e basate sulla evidenza visuale. Dimostrazioni più
rigorose le vedremo nei capitoli successivi.
La connessione tra logica e teoria degli insiemi è complessa, e diventerà più precisa nel la logica dei
predicati. Per ora, per definire precisamente l’isomorfismo tra linguaggio proposizionale e insiemistico,
dovremo tradurre ogni proposizione del tipo {  è p} con la proprietà di ‘essere p’ e con l’insieme degli
elementi per cui vale p (estensione di p) . Ed è una confusione utile perché ci introduce al problema del
trattamento degli individui e dei predicati nelle proposizioni. Quindi l’insieme dei pugliesi sarà il riferimento
della proprietà di essere pugliese che ‘confonderemo’ con la proposizione {…. è pugliese}.
Per rendere più chiara questa corrispondenza indicheremo con A l’insieme corrispondente alla
proposizione A, e se un individuo a appartiene all’insieme A, scriveremo a A.
Il calcolo logico coi connettivi si rivelerà quindi sostanzialmente una immagine fedele rispetto al calcolo
insiemistico. Si possono quindi analizzare in parallelo le proprietà dei due calcoli, usando una
rappresentazione ‘a palle’ degli insiemi intesi come estensioni dei corrispondenti predicati: sono i cosiddetti
diagrammi di Venn. Su di essi possiamo fare dimostrazioni intuitive, basate sul disegno stesso, che ci
permettono anche di comprendere meglio il senso delle nostre definizioni e dimostrazioni nel calcolo delle
proposizioni. Anche più spesso faremo uso di una rappresentazione che prende la retta come ‘universo del
discorso’ e considera gli insiemi come intervalli su di essa, caratterizzate logicamente come disuguaglianze
x<a, x>b, a<x<b, etc.
Se considero la proprietà di essere umani, in termini di proposizioni posso considerare la proposizione A
che dice :{Giovanni è un essere umano}, indico con A l’insieme degli umani (cui appartiene Giovanni) , allora
 A è la proprietà di ‘non essere umano’ e Ā l’insieme dei non umani. Se P è la proprietà di essere umani e
Q la proprietà di essere sapienti, allora P  Q è la proprietà di essere umani e sapienti e PQ è
l’intersezione dei due insiemi, cioè l’insieme degli umani sapienti,
P
P
PQ
Q
PQ
Q
se P  Q è la proprietà di essere umani o sapienti, PQ è l’insieme unione degli umani e dei sapienti.
PQ
P
PQ
P
Q
Q
Se tutti gli elementi di un insieme P sono contenuti in un altro insieme Q , si dice che P è un ‘sottoinsieme’
di Q , e si scrive PQ (la sbarretta sotto la  ci ricorda che P potrebbe anche coincidere con Q). Se tale
eventualità fosse esclusa scriveremmo PQ
P
Q
PQ
P
Q
In particolare Ø è l’”insieme vuoto”, cioè l’insieme privo di elementi, e per ogni Q si ha che Ø Q
Ad esempio in entrambe le teorie le operazioni/connettivi sono associative e commutative: ad esempio la
congiunzione P  Q è equivalente alla congiunzione Q  P e la disgiunzione P  Q coincide con la
disgiunzione Q  P (derivano dalle caratteristiche di simmetria nelle loro tavole di verità). Ma anche
l’intersezione degli insiemi PQ coincide con la intersezione QP. E analogamente PQ coincide con QP.
Vale cioè la proprietà commutativa sui connettivi proposizionali e sulle operazioni insiemistiche (verifica
sulle tavole di verità che la proprietà però non vale per il connettivo : P  Q non è equivalente a Q 
P).
Su congiunzione e disgiunzione, come su unione e intersezione vale anche la proprietà associativa: se
abbiamo una sequenza di operazioni uguali l’ordine con cui le eseguiamo non muta il risultato finale. Ad
esempio: (P  Q)  R = P  (Q  R) e quindi possiamo scriverlo = P  Q  R. E analoghe per , , .
Ricorda che devono però essere connettivi o operazioni uguali! Se sono diverse vale invece la proprietà
distributiva:
P  (Q  R) = (P  Q)  (P  R)
e P  (Q  R) = (P  Q)  (P  R) (verifica con le tavole di verità)
Esercizi:
1. Dimostra le proprietà distributive per  e .
2. Dimostra che PQ  PQ  P e viceversa PQ  P  PQ
E che PQ se e solo se PQ = P
Queste sono operazioni cui siamo abituati già nella aritmetica elementare, ma si possono anche dimostrare
proprietà non tradizionali, come ad esempio la legge di de Morgan. In logica essa ci dice che (A  E)
equivale a A  E. Nel calcolo delle proposizioni lo possiamo verificare con le tavole di verità
(analogamente (A  E) equivale a A  E ( verifica!)):
 (AE)
A
E
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
A
E
AE
A
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
E
 A  E
Insiemisticamente AE corrisponde all’insieme (A  E),il cui complemento è (A  E)
(A  E)
(A  E)
A
(A  E)
(A  E),
E
D’altra parte  A e  E
corrispondono agli insiemi
A
E
Ā
Ē
la cui unione ci dà lo stesso risultato:
Ā
A
Ā
ĀĒ
Ē
ĀĒ
ĀĒ
E
Ē
Sappiamo che P  Q è equivalente a P  Q, e quindi insiemisticamente corrisponde all’insieme in
figura. Sono cioè esclusi gli elementi di P che non appartengono a Q. E quindi PQ .
Ma noi daremo piuttosto dell’ una interpretazione insiemistica in termini di proprietà, come ‘inclusione’
tra insiemi.
Ad esempio {… è brindisino}  {…. è pugliese}
P
Q
equivale a {i brindisini}  {i pugliesi}: questa credo sia
la migliore via per comprendere la tavola di verità dell’ .
Infatti, perchè sia vera P  Q l’insieme P deve essere contenuto nell’insieme Q. Sono quindi possibili
elementi appartenenti sia a P che a Q, appartenenti a Q ma non a P, o non appartenenti né a P nè a Q, il
che corrisponde alle interpretazioni che rendevano vera P  Q. E’ facile osservare che sia il connettivo
logico  che l’inclusione insiemistica , godono della proprietà transitiva: cioè
se P  Q e Q  R, allora P  R; e se PQ e QR,
allora
PR
(verifica)
Altra equivalenza facile da verificare è quella tra P  Q e  Q   P (conversione). Ad esempio {se un
numero è multiplo di 4 allora è pari} equivale a {se un numero non è pari allora non è multiplo di 4}. In
termini insiemistici: A E equivale a Ē  Ā , e cioè dire che l’insieme dei multipli di 4 è un sottoinsieme
dell’insieme dei numeri pari, ({0, 4, 8, 12,…}  {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ….}) equivale a dire che l’insieme dei
numeri dispari è un sottoinsieme dei numeri che non sono multipli di 4 ({1, 3, 5, 7, 9, ….}  {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9,
10, …..}). Se P è la proprietà “essere maggiore di 2 e minore di 10” e Q la proprietà di “essere dispari minore
di 16”, allora l’insieme degli interi corrispondente a PQ è {3, 5, 7, 9}, quello corrispondente a  PQ è {1,
11, 13, 15} (a che cosa è uguale l’unione di questi due insiemi?), quello corrispondente a P Q è {4, 6, 8}.
Il prodotto cartesiano PQ di due insiemi P e Q è l’insieme delle coppie ordinate formate da un elemento di
P ed un elemento di Q. Se P = Q, indicheremo il prodotto cartesiano con P2. Più in generale:
Dati gli insiemi M1, M2, …, Mn, si dice prodotto cartesiano M1 M2 …Mn, l’insieme delle n-uple, (a1, a2,….
an), in cui a1 M1, a2 M2 ….., an Mn, Gli Mi possono essere tutti uguali ad M, ed in tal caso il prodotto
cartesiano viene indicato con Mn
Con queste regole di corrispondenza tra linguaggio proposizionale e linguaggio insiemistico ogni
equivalenza proposizionale si traduce in una uguaglianza tra insiemi e viceversa. Questa corrispondenza è
particolarmente importante in matematica in quanto alle proprietà matematiche corrispondono gli enti
matematici: alla proprietà di ‘essere un numero intero’ corrisponde l’insieme  di tutti i numeri interi, e
analogamente per l’insieme dei numeri relativi ,dei razionali , dei reali ,dei complessi . E le proprietà
numeriche per cui ogni intero è un numero relativo, ogni relativo è un razionale, ogni razionale è un reale,
ed ogni reale è un numero complesso, diventano proprietà di inclusione insiemistica.
PARTIZIONI E TASSONOMIE
Dato un insieme S una sua partizione è una famiglia di insiemi M1 , M2 ,…. , Mn , tali che due qualsiasi di tali
insiemi sono disgiunti (sono ‘esclusivi’, hanno cioè intersezione vuota: se i ≠j allora Mi  Mj = Ø ), e tali che
la loro unione è uguale e tutto S (sono ‘esaustivi’).
A loro volta questi sottoinsiemi si possono partizionare (la partizione si ‘raffina’): il sottoinsieme Mi si
partiziona nella famiglia Mi1 , Mi2 ,…. , Min, e così via. E’ un concetto molto utile in matematica, ma anche
nelle altre scienze. Un esempio sono le cosiddette ‘tassonomie’ nelle scienze naturali. Ad esempio in
zoologia l’insieme degli animali si partiziona in {invertebrati, vertebrati}, a loro volta ad esempio i vertebrati
si partizionano in mammiferi, uccelli, pesci, etc. E’ una sorta di albero (albero di Porfirio) che si può
immaginare arrivare alla sua base ai singoli individui.
Felini
Cani
Pesci
uccelli
Tigri Bulldog tonni
giaguari Bassotti Orate
Gatti lupi
alici
passeri
aquile
corvi
Dato un simile albero tassonomico, lo si può leggere in termini di ‘caratteri’ (intensionale) invece che di
‘insiemi’ (estensionale): gli animali sono “organismi pluricellulari che ricavano energia ingerendo cibo, si
muovono e si riproducono”. I cani abbaiano. I Bulldogs abbaiano e hanno le gambe storte, i Bassotti
abbaiano e sono bassi. Una partizione si ‘raffina’ quindi aggiungendo qualche altro carattere (una differenza
specifica). Ad esempio i vertebrati sono “organismi pluricellulari che ricavano energia ingerendo cibo, si
muovono e si riproducono, e sono dotati di una struttura allungata di sostegno”, i mammiferi a loro volta
sono “organismi pluricellulari che ricavano energia ingerendo cibo, si muovono e si riproducono, e sono
dotati di una struttura allungata di sostegno, a sangue caldo, provvisti di pelo e che allattano la prole”, etc.
Ovviamente allora questa caratterizzazione intensionale di un sottoinsieme implica quella dell’insieme di
cui è il sottoinsieme: cioè
“essere un organismo pluricellulare che ricava energia ingerendo cibo, si muove e si riproduce, ed è dotato
di una struttura allungata di sostegno, a sangue caldo, provvisto di pelo e che allatta la prole”  “essere un
organismo pluricellulare che ricava energia ingerendo cibo, si muove e si riproduce, ed è dotato di una
struttura allungata di sostegno”, in quanto P  Q  P è una tautologia (verifica!)
Possiamo ora comprendere la ragione della tavola di verità del “se…. allora…” alle origini della logica: nella
Grecia antica la logica si sviluppò in gran parte per la costruzione delle scienze naturali, spesso proprio sulle
tassonomie di generi e specie (non apparvero mai gli esempi ‘strani’ da noi usati con la luna di formaggio
mischiata ai numeri pari), così che fu quasi ovvio dargli la struttura corrispondente alla inclusione
insiemistica.
Come avevamo già visto, alla relazione di inclusione insiemistica corrisponde quindi la relazione di
implicazione logica e viceversa, nel senso che aggiungendo caratteri la definizione si allunga, ne aumentano
i dettagli, e quindi l’estensione si riduce, in quanto i maggiori dettagli sono maggiori informazioni e quindi
maggiori vincoli perché un individuo appartenga al sottoinsieme. Estensione ed intensione di comportano
in maniera opposta: quando aumenta l’una diminuisce l’altra e viceversa. E’ questo uno dei caratteri
essenziali del rapporto tra sintassi e semantica: aggiungere assiomi o proprietà logiche nel nostro universo
del discorso lo specializza e quindi lo riduce, in altri termini aumentando gli assiomi diminuiscono i modelli
e viceversa per specializzare i modelli occorre aggiungere assiomi. Se riusciamo a trovare un sistema di
assiomi con un solo modello, chiamiamo il nostro sistema di assiomi categorico, e possiamo dire che con
essi abbiamo ‘catturato la semantica’ e descritto in modo completamente sintattico il ‘modello’ che
avevamo in mente.
Tornando agli insiemi numerici, possiamo dare una rappresentazione

grafica tanto della relazione di inclusione insiemistica  che

di implicazione logica , rappresentandole come archi

+
dal basso verso l’alto. Introducendo anche i razionali

+
positivi + e i reali positivi + abbiamo il diagramma:

(non abbiamo disegnato gli archi di transitività, ad esempio da  a  e  ) .
In questo grafo degli insiemi numerici l’arco rappresenta l’inclusione e va dal basso in alto.
INSIEMI E LORO CARDINALITA’: LA COMBINATORIA
Il numero di elementi di un insieme M si chiama la sua cardinalità e si indica con |M|. E molti problemi
pratici di probabilità si fondano sul calcolo delle cardinalità degli insiemi, una disciplina nota come
combinatoria.
C’ è una relazione immediata tra la teoria degli insiemi e la aritmetica delle loro cardinalità, data da due
principi:
i)
Principio additivo. Se abbiamo due insiemi P e Q disgiunti (cioè tali che PQ = Ø) allora
|PQ| =| P|+ |Q|
E più in generale
|PQ| =| P|+ |Q|- |PQ|
Basta considerare un elemento generico nei diversi ‘pezzi’ della figura e contare quante volte esso appare
nella formula: un elemento non appartenente a nessuno dei due insiemi non appartiene all’unione e
neanche appare contato nella formula, un elemento che appartiene a entrambi gli insiemi appare una volta
nella unione, e poi due volte negli insiemi, e quindi una volta di troppo ma viene sottratto una volta nella
intersezione, ed infine un elemento che appartiene ad uno solo degli insiemi appare nella unione e in uno
dei due insiemi, ma non nell’altro e neanche nella intersezione.
Il risultato si può generalizzare: |PQR| =| P|+ |Q|+ |R| ‐|PQ|‐ |PR|‐ |RQ|+|PQR|
(verifica. Riesci a scrivere la relazione per 4 lettere proposizionali?).
ii)
Principio moltiplicativo. Dato il prodotto cartesiano PQ di due insiemi P e Q, la sua cardinalità
vale
|PQ| = |P|  |Q|
Lo stesso termine ‘prodotto cartesiano’ si comprende quando si nota la relazione che ci dà la sua
cardinalità: |M1 M2 …Mn| = |M1||M2| …|Mn|
ESERCIZI
1. Gli studenti maschi ma non alti sono uguali a
i)
gli studenti maschi meno quelli sia maschi che alti
ii)
gli studenti maschi o alti meno quelli alti
iii)
gli studenti maschi o alti meno quelli sia maschi che alti
2.
a) La suddivisione dell’insieme delle proposizioni con n lettere proposizionali in base alla loro
equivalenza (uguaglianza delle tavole di verità) vista nel secondo capitolo è una partizione?
b) Dai altri esempi di partizioni, tanto su insiemi di enti matematici che su insiemi di altro tipo.
c) Sia P: x>2 e Q: x<3. Disegna gli intervalli corrispondenti a P  Q, P  Q, P  Q, P  Q, e
quelli corrispondenti a P  Q, P  Q, P  Q, P  Q. E prova a negarli e verifica le leggi di de
Morgan.
Tuttavia il linguaggio delle proposizioni e degli insiemi è un linguaggio non sufficientemente espressivo per
la matematica: un enunciato del tipo {esiste un numero u che moltiplicato per ogni altro numero a dà come
risultato lo stesso numero a} nella logica proposizionale è una singola proposizione inanalizzabile, e non è
possibile da {6 è un numero pari} e {i numeri pari sono divisibili per 2} dedurre che {6 è divisibile per 2}. La
matematica invece richiede la possibilità di analizzare la struttura interna delle proposizioni, distinguendo
in esse tra gli individui coinvolti e le relazioni o funzioni tra essi, e potendo ‘quantificare’, usare cioè
costrutti del tipo ‘per ogni’ o ‘esiste un’. A questo fine la logica delle proposizioni deve essere ‘arricchita’ e
diventare una logica dei predicati, nella quale la logica delle proposizioni sarà completamente inclusa .
ESERCIZI SVOLTI.
1. Siano dati gli insiemi A={rosso, verde}, B={2,3,5}, C={5,7}.
i)
Quali sono gli insiemi AB, AC, BC ?
ii)
Verifica che A( BC) = (AB)(AC)
iii)
Dimostralo per A, B, C qualsiasi.[suggerimento: quand’è che due insiemi sono
uguali?]
i)
AB = {(rosso,2), (rosso,3), (rosso,5), (verde,2), (verde,3), (verde,5)}
AC = {(rosso,5), (rosso,7), (verde,5), (verde,7)}
BC = {5}
ii)
A( BC) = { (rosso,5), (verde,5)} = (AB)(AC)
iii)
Due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi. Essendo prodotti
cartesiani di due insiemi gli elementi sono coppie (x,y).
(x,y)  A( BC) sse xA  y( BC) sse xA  y B  y C
(x,y)  (AB)(AC) sse (x,y)  (AB)  (x,y)  (AC)
(yC) sse xA  y B  y C.
sse (xA)  (yB)  (xA) 
2. Con la teoria degli insiemi verifica se:
{[(x<2)  (x>-1)]  [(x>0)  (x<3)]}  [(x<5)   (x>3)]
Tradotto in teoria degli insiemi, diventa:
{[(x<2) ∩ (x>-1)]  [(x>0) ∩ (x<3)]}  [(x<5) ∩ (x>3)]
[(-1<x<2)  (0<x<3)]  (x ≤3)
3. Dei 200 studenti e studentesse di informatica (divisi tra baresi, pugliesi ma non baresi e non
pugliesi), gli studenti in totale sono 130, le studentesse non baresi sono 40, e i baresi totali
(studenti e studentesse) sono 70. Quanti sono gli studenti baresi?
Basta considerare la partizione:
Baresi
Pugliesi non baresi
Non Pugliesi
Studenti
A
B
C
Studentesse
D
E
F
Dai dati:
A+B+C+D+E+F = 200
A+B+C= 130
E+F = 40
A+D = 70
Vogliamo calcolare A.
E’ un semplice sistema, il modo più semplice di risolverlo si realizza sommando le
ultime tre equazioni: 2A+B+C+E+F+D = 240, e sottraendo la prima equazione otteniamo
A = 40.
4. Risultati di un sondaggio sui gusti musicali. Sono stati interrogati 100 giovani sul
loro gradimento della musica jazz, rock e classica (potendo scegliere una, nessuna o
più categorie) , e risulta che:
- 34 amano la musica classica
- 17 le amano tutte e tre
- 15 amano solo il rock
- 36 amano il jazz
- 10 amano jazz e classica ma non il rock.
Quanti non amano nessuno di questi tipi di musica? (può essere utile usare i
diagrammi di Venn).
Classica
A
Jazz
B
C
A+B+D+E = 34
D = 17
D
G = 15
E
F
C+ B + D+ F = 36
G
Rock
B = 10
Quelli che non amano nessun tipo
di musica sono
100 – (A+B+C+D+E+F+G) . Ma B+D = 27, e quindi A + E = 7 e C + F = 9. Di
qui
(A+B+ D+E)+ (C+F)+G = 34 + 9 +15 = 58, e quindi quelli che non amano alcun tipo
di musica sono 42.