INSIEMI Supporremo la nozione di insieme nota a tutti
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INSIEMI Supporremo la nozione di insieme nota a tutti
INSIEMI Supporremo la nozione di insieme nota a tutti. Intuitivamente un insieme è una collezione di oggetti, che rappresentano gli elementi dell’insieme. Nel seguito useremo le lettere A, B, C, X, Y per denotare gli insiemi e le lettere a, b, c, x, y per denotare gli elementi di un insieme. Assegnare un insieme significa dare un criterio che permetta di stabilire quali elementi appartengono all’insieme e quali non vi appartengono. Le notazioni a ∈Α, b ∉Α si leggono rispettivamente “a è un elemento dell’insieme A”, “b non è un elemento dell’insieme A”. I simboli ∈, ∉ sono detti, rispettivamente, di appartenenza e non appartenenza. Useremo le lettere IN, Z, Q, IR per denotare rispettivamente l’insieme dei numeri naturali, interi, razionali, reali. Spesso per assegnare un insieme si elencano i suoi elementi e si utilizza la notazione A={elementi}. Ad esempio A={1, 2, a, b} è l’insieme i cui elementi sono i numeri 1 e 2 e le lettere a e b. Un altro modo di assegnare un insieme consiste nel caratterizzarne gli elementi mediante una proprietà. Si considera un insieme U detto insieme universo o ambiente e un’affermazione P(x) relativa agli elementi di U che si suppone vera oppure falsa per ogni x ∈ U. Gli elementi x per i quali P(x) è vera individuano un insieme A che si denota con A={ x ∈U: P(x) è vera } o più semplicemente con A={ x ∈U: P(x)}. Esempio 1. A ={x ∈IN: x2 – 3x +2 = 0} ={1, 2 }. Esempio 2. Siano U l’insieme delle lettere dell’alfabeto e P(x) la proprietà x è una vocale, allora A = { x ∈U: P(x)} = { a, e, i, o, u}. Se si considera su un insieme U un’ affermazione falsa per ogni x ∈U, l’insieme {x∈U: P(x)} risulta privo di elementi ed è detto insieme vuoto, Per indicare l’insieme vuoto usiamo il simbolo ∅. Esempio 3. Siano U = IN e P(x) l’affermazione x è soluzione dell’equazione x 2 − 2 2 x + 2 = 0 , allora {x ∈U: P(x)} = ∅ dato che l’equazione x 2 − 2 2 x + 2 = (x − 2 ) 2 = 0 ammette come radice doppia x = 2 ∉ IN. Siano A e B due insiemi. Se per ogni x ∈ A risulta x ∈ B diciamo che A è un sottoinsieme di B, in simboli A⊂B (si veda la Fig. 1). Da questa definizione discende che A non è un sottoinsieme di B se esiste x ∈ A tale che x ∉ B ( si veda la Fig.2). Da tale osservazione segue che ∅⊂A quale che sia l’insieme A e di conseguenza l’insieme vuoto è unico. Per indicare che A non è un sottoinsieme di B usiamo la notazione A⊄B. I simboli ⊂, ⊄ sono rispettivamente quello di inclusione e quello di non inclusione. La notazione di contenuto permette di definire l’eguaglianza tra insiemi. Due insiemi A e B sono uguali, in simboli A = B, se A⊂B e B⊂A. Da questa definizione discende che due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi. Esempio 4. Gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {3, 1, 2} sono uguali. Definizione 1. Un sottoinsieme B di A è un sottoinsieme proprio di A se B A. Definizione 2. Sia A un insieme. L’insieme P(A) avente come elementi i sottoinsiemi di A è l’ insieme delle parti di A, in simboli P(A) = B: B A . Dalla definizione precedente segue che ∅, A∈P(A) quale che sia l’insieme A. Esempio 5. P(∅) = {∅}. Esempio 6. Se A = {1, 2, 3}, allora P(A) = {∅, A, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}}. Definizione 3. Siano A e B due insiemi, con le notazioni A B e A B si indicano rispettivamente l’unione e l’intersezione degli insiemi A e B. Per definizione A∪B = {x: x ∈ A o x ∈ B}, A∩B = {x: x ∈ A e x ∈ B}. Definizione 4. Se A B = diremo che gli insiemi A e B sono disgiunti. Per l’unione e l’intersezione valgano le seguenti proprietà: i) A∪B = B∪A, ii) A∩B = B∩A, iii) (A∪B)∪C = A∪(B∪C), iv) (A∩B) ∩C = A∩(B∩C), v) A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C), vi) A∩ (B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C). Tali proprietà si verificano mostrando che l’insieme a primo membro è un sottoinsieme di quello a secondo membro e viceversa. Nella figura 5 si ha una verifica grafica della proprietà vi). La notazione A \ B indica l’insieme differenza tra A e B, cioè l’insieme avente come elementi quelli di A che non appartengono a B (si veda la Fig.6). Se B ⊂ A l’insieme A \ B si denota con BAc , o semplicemente con Bc , e rappresenta l’insieme complementare dell’insieme B rispetto all’insieme A (si veda la Fig. 7). Osservazione 1. Dati due insiemi A e B con B ⊂ A risulta (B c )c =B. Ricordiamo le relazioni di De Morgan: ( A ∩ B) c = A c ∪ Bc , ( A ∪ B) c = A c ∩ Bc . A titolo di esempio verifichiamo che ( A ∩ B) c = A c ∪ Bc . Fissato x ∈ (A∩B)c, allora x ∉ A∩B e ciò implica che x ∉ A oppure x ∉ B. Di conseguenza x ∈ Ac oppure x ∈ Bc e quindi x ∈ Ac∪Bc. Quanto provato assicura che (A∩B)c ⊂ Ac∪Bc. Procedendo in modo analogo si prova l’inclusione inversa e quindi l’eguaglianza. La seconda relazione si ottiene procedendo allo stesso modo o dalla prima relazione sostituendo A e B rispettivamente con Ac e Bc. Una verifica grafica di tale proprietà è in Fig. 8.