Equazioni parametriche di secondo grado
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Equazioni parametriche di secondo grado
m@th_corner di Enzo Zanghì Equazioni parametriche di secondo grado Diciamo che un'equazione di secondo grado è parametrica quando i suoi coefficienti dipendono da uno o più parametri (lettere variabili). Per risolvere i problemi riguardanti le equazioni parametriche di secondo grado è necessario ricordare le relazioni che esistono tra i coefficienti dell'equazione e le sue radici, cioè: b c x1 x2 = ; x1 + x2 = − . a a Analizziamo, qui di seguito, i casi più ricorrenti che contengono un solo parametro. 2 x 2 + (2k − 1) x + k − 1 = 0 Data l'equazione: determina il valore del parametro k affinché: (1) x1 = 2 Sostituiamo questo valore nella (1) e otteniamo: 8 + (2k − 1) ⋅ 2 + k − 1 = 0 ⇒ k = −1 Verifichiamo adesso che per k = −1 la (1) ha una 3±5 1 soluzione uguale a 2. Infatti 2 x 2 − 3x − 2 = 0; x = x1 = − ; x2 = 2 4 2 1 c k −1 b) x1 = − ⇔ x1 ⋅ x2 = −1 in questo caso poniamo: = −1 ovvero = −1 e a 2k − 1 x2 2 otteniamo k = ; 3 c) una soluzione sia nulla. Ricordando che un'equazione di secondo grado ha una soluzione nulla quando è spuria (c = 0) , poniamo k − 1 = 0 e ricaviamo k = 1 a) d) l'equazione abbia radici reali distinte. In tal caso ∆ > 0 ovvero (2k − 1)2 − 8(k − 1) > 0 da 3 cui ricaviamo: (2k − 3)2 > 0 ⇒ ∀k ∈ ¡ − 2 3 ∆ = 0 per k = e) l'equazione abbia radici reali coincidenti 2 f) l'equazione abbia radici opposte In tal caso l'equazione deve essere pura (b = 0) 1 per cui: 2k − 1 = 0 ⇒ k = 2 b − 1 1 x1 + x2 b 2k − 1 g) + =2 ⇔ − = 2 ⇒ k = 1. =2 ⇔ a =2⇔− =2 c k −1 x1 x2 c x1 x2 a 2 c b 2 − 2ac 1 b h) x12 + x2 2 = Poiché x12 + x2 2 = ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 = − − 2 = a a2 4 a scriviamo: i) (2k − 1)2 − 4(k − 1) 1 = 4 4 Poiché 3abc − b3 a3 poniamo: = 3 k =1 3 7 x + x2 = 8 3 1 e otteniamo c b b x + x2 = ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) = − − 3 − = a a a 6(2k − 1)( k − 1) − (2k − 1)3 7 −3 ± 21 = ⇒ k= . 8 8 2 3 1 3 3