Foglio Esercizi Settimanali n. 8 (in pdf).

Corsi di laurea in Fisica, Fisica ed Astrofisica,
Tecnologie Fisiche e dell’Informazione
DERIVATE E INTEGRALI, A.A. 2006/07
C. CASSISA, C. PINZARI, A. PISANTE E M.A. POZIO
8. I NTEGRALI
Esercizio 66. Data la funzione
DEFINITI ED INDEFINITI .
Z x
1
F (x) =
1
t
dt;
(i) usando solo le proprietà degli integrali, senza calcolare esplicitamente F , dimostrare che F (xy ) = F (x) + F (y ), per ogni x; y > 0.
(ii) usando il teorema fondamentale del calcolo integrale verificare che F (x) =
log(x).
Esercizio 67. Calcolare i seguenti integrali definiti
Z
1
(x
x )dx;
3
Z =2
sin(x)dx;
0
0
Z
Z
dx
;
2
1 1 + x
1
x
1
0
1+x
Z
dx;
2
1
p dx
1 + x2
0
:
Esercizio 68. Utilizzando la formula di integrazione per parti, determinare
Z
(1 + x)e
Z
(x
1
(x
2
(2x
Z
x
+ 1)e dx;
2
Z
Z
x dx;
1) sin(x)dx;
Z
x artan(x)dx;
p
Z
sin (x)dx;
3
x
+ 1)e dx;
0
Z
1
Z
sin (x)dx;
1
3
1
p
1
0
Z
x os(2x)dx;
Z
x dx;
sin(2x)e
2
x dx;
Z
2
2
0
p
x2
x dx;
1dx:
1
Esercizio 69. Utilizzando la formula di integrazione per sostituzione, determinare
Z
Z
Z
Z
dx
;
x ln(1 + x2 )dx;
x os(x )dx;
x ln(x)
Z artan(x)
Z
Z
Z
e
sin(x)
x
x
dx;
dx;
e tan(e )dx;
1 + x2
2 + os2 (x)
2
p
1
x2 dx;
sin (x) os(x)
3
2 + sin (x)
4
dx:
R1
2
Esercizio 70. i) Dare una maggiorazione ed una minorazione per l’integrale 1 e x dx
usando il Teorema della media integrale.
2
ii) Mostrare che per ogni x 2 R si ha: 1 x2 e x 1+1x2 , utilizzare tali
disuguaglianze per ottenere una stima migliore dell’integrale definito in i).
1
Esercizio 71. Trovare la primitiva della funzione f (x) = (x 1)2 ex che assume
il valore y0 = 3 nel punto x0 = 0. Ripetere l’esercizio per la funzione g (x) =
x os(x) con y0 = 0 e x0 = 1.
Esercizio 72. Calcolare i seguenti integrali indefiniti di funzioni razionali
Z
(x
x
3)(x + 1)
dx;
Z
x
dx
2
+3
;
Z
x
2
dx
x
2
Esercizio 73. Calcolare i seguenti integrali definiti di funzioni razionali
Z
0
1
2
x2 + 2x
dx;
4x2 + 1
Z
0
4x + 3
1
x
2
+ 4x + 4
dx;
Z
0
1
2x2
x
2
x 4
dx:
3x + 2