0.1 L`esempio della legge normale doppia

0.1. L’ESEMPIO DELLA LEGGE NORMALE DOPPIA
0.1
1
L’esempio della legge normale doppia
Si consideri la funzione fρ : R2 → R definita da
f (x1 , x2 ) :=
1
p
(1)
2π σ1 σ2 1 − ρ2
1
(x1 − m1 )2
(x1 − m1 ) (x2 − m2 ) (x2 − m2 )2
.
× exp −
−
ρ
+
1 − ρ2
σ1
σ2
2 σ12
2 σ22
In questa espressione compaiono 5 parametri, m1 ∈ R,, m2 ∈ R, σ1 > 0, σ2 > 0
e ρ ∈ ]−1, 1[. Occorre stabilire innanzi tutto che la (1) definisce una densità di
probabilità; appurato che sia cosı́, vogliamo calcolare le sue marginali e, infine,
desideriamo calcolare la covarianza e d il coefficiente di correlazione del vettore
aleatorio (X1 , X2 ) del quale la (1) è la densità. Nel fare ciò si stabilire anche il
significato dei parametri che compaiono nella sua espressione.
Alla luce della perfetta simmetria tra gli indici 1 e 2 della (1) basterà calcolare una sola delle due marginali, poiché l’altra si ottiene mediante una semplice
sostituzione dell’indice.
Supposto che la (1) sia una densità di probabilità la sua marginale è
Z
f1 (x1 ) =
f (x1 , x2 ) dx2 .
R
Per semplicità si ponga dapprima
xj − mj
uj :=
σj
(j = 1, 2) .
Allora
f1 (x1 ) =
2π σ1
1
p
1 − ρ2
1 u21
1 − ρ2 2
Z
1
u22
×
exp −
−ρ u1 u2 +
du2 .
1 − ρ2
2
R
exp −
Completando il quadrato nell’argomento dell’esponenziale sotto il segno d’integrale
si ha
u22
1
u22
1
2 2
exp −
−ρ u1 u2 +
= exp −
ρ u1 − ρ u1 u2 +
1 − ρ2
2
1 − ρ2
2
2
2
ρ u1
× exp
2 (1 − ρ2 )
(u2 − ρ u1 )2
ρ2 u21
= exp
exp −
.
2 (1 − ρ2 )
2 (1 − ρ2 )
Pertanto
1
1 u21
ρ2 u21
p
+
exp −
1 − ρ2 2
2 (1 − ρ2 )
2π σ1 1 − ρ2
Z
(u2 − ρ u1 )2
×
exp −
du2
2 (1 − ρ2 )
R
"
#
2
Z
1
1
(u2 − ρ u1 )2
u1
=√
exp −
exp −
du2 .
√ p
2
2 (1 − ρ2 )
2π σ1
2 π 1 − ρ2 R
f1 (x1 ) =
2
Nell’espressione tra parentesi quadre si riconosce facilmente la verifica che la densità
della legge N (ρ u1 , 1 − ρ2 ) ha come integrale 1. Perciò
f1 (x1 ) = √
(x1 − m1 )2
1
,
exp −
2 σ12
2π σ1
sicché la marginale di f è la legge N (m1 , σ12 ). Ciò dimostra che la (1) è una densità
di probabilità. L’altra marginale è N (m2 , σ22 ). Risulta cosı́ chiarito il significato dei
quattro dei cinque parametri di f .
Calcoliamo ora la covarianza di X1 e X2 .
Cov(X1 , X2 ) = E [(X1 − m1 ) (X2 − m2 )]
Z
1
1 (x1 − m1 )2
p
=
dx1
(x1 − m1 ) exp −
1 − ρ2
2 σ12
2π σ1 σ2 1 − ρ2 R
Z
1
(x1 − m1 ) (x2 − m2 ) (x2 − m2 )2
(x2 − m2 ) exp −
−ρ
+
dx2
1 − ρ2
σ1
σ2
2 σ22
R
Z
σ σ
u21
p1 2
=
du1
u1 exp −
2 (1 − ρ2 )
2π 1 − ρ2 R
Z
1
2
u2 exp −
−2
ρ
u
u
+
u
du2 .
1 2
2
2 (1 − ρ2 )
R
Completando il quadrato nell’ultimo integrale si ottiene
2
Z
Z
σ1 σ2
(u2 − ρ u1 )2
u1
p
Cov(X1 , X2 ) =
du1
u2 exp −
du2
u1 exp −
2
2 (1 − ρ2 )
2π 1 − ρ2 R
R
#
"
Z
Z
2
σ1 σ2
(u
−
ρ
u
)
1
2
2
1
= √
u2 exp −
du2 .
u1 e−u1 /2 du1 √ p
2 (1 − ρ2 )
2π R
2π 1 − ρ2 R
L’espressione che compare tra parentesi quadre è l’integrale che dà la media della
legge N (ρ u1 , 1 − ρ2 ) e vale quindi ρ u1 . Dunque
Z
ρ σ1 σ2
2
Cov(X1 , X2 ) = √
u21 e−u1 /2 du1 = ρ σ1 σ2 .
2π R
Di qui si calcola immediatemante il coefficiente di correlazione di X1 e X2
ρ(X1 , X2 ) = ρ .
Rimane cosı́ chiarato anche il significato dell’utlimo parametro della (1).
Si osservi che se ρ = 0, vale a dire quando le variabili X1 e X2 sono incorrelate,
la densità del vettore aleatorio (X1 , X2 ) diviene
1
(x1 − m1 )2 (x2 − m2 )2
f0 (x1 , x2 ) =
exp −
−
,
2π σ1 σ2
2 σ12
2 σ22
sicché f0 si fattorizza nel prodotto delle marginali; perciò X1 e X2 , oltreché essere
incorrelate, sono anche indipendenti.
0.2. ESEMPÎ DI SOMME DI VARIABILI ALEATORIE
0.2
3
Esempı̂ di somme di variabili aleatorie
Siano X1 e X2 variabili aleatorie indipendenti ed entrambe di legge gamma con lo
stesso parametro di forma θ > 0:
Xj ∼ Γ(αj , θ)
(j = 1, 2) .
La convoluzione delle due densità di X1 e X2 dà la densità della somma X1 + X2 :
Z
θα1 +α2
(t−x)α1 −1 e−θ (t−x) 1(0,+∞) (t−x) xα2 −1 e−θx 1(0,+∞) (x) dx .
fX1 +X2 (t) =
Γ(α1 ) Γ(α2 ) R
Si noti che la presenza delle due funzioni indicatrici dice che
• x>0
• t è necessariamente positiva, perchè, essendo x positiva, la differenza t − x può
essere positiva solo se è positiva anche t.
• x < t.
Perciò, per t > 0, si ha, mediante la sostituzione x = ut,
Z t
θα1 +α2
−θt
fX1 +X2 (t) =
e
(t − x)α1 −1 xα2 −1 dx
Γ(α1 ) Γ(α2 )
0
Z t
θα1 +α2
x α1 −1 α2 −1
=
e−θt tα1 −1
1−
x
dx
Γ(α1 ) Γ(α2 )
t
0
Z 1
θα1 +α2
−θt α1 +α2 −1
e t
(1 − u)α1 −1 uα2 −1 du
=
Γ(α1 ) Γ(α2 )
0
θα1 +α2
=
e−θt tα1 +α2 −1 B(α1 , α2 )
Γ(α1 ) Γ(α2 )
Γ(α1 ) Γ(α2 )
θα1 +α2
e−θt tα1 +α2 −1
=
Γ(α1 ) Γ(α2 )
Γ(α1 + α + 2)
α
+α
1
2
θ
=
tα1 +α2 −1 e−θt .
Γ(α1 + α + 2)
In definitiva
fX1 +X2 (t) =
θα1 +α2
tα1 +α2 −1 e−θt 1(0,+∞) (t) ,
Γ(α1 + α + 2)
sicché X1 + X2 ha ancora una legge gamma di parametri α1 + α2 e θ,
X1 + X2 ∼ Γ(α1 + α2 , θ) .
Per induzione finita si dimostra, che se X1 , . . . , Xn sono variabili indipendenti, tali
che Xj ∼ Γ(αj , θ) (j = 1, . . . , n), allora


n
n
X
X
Xj ∼ Γ 
αj , θ  .
j=1
j=1
4
Si è visto che se la variabile aleatoria X ha legge normale ridotta, X ∼ N (0, 1),
allora la variabile Y = X 2 ha legge
1 1
Γ
= χ2 (1) .
,
2 2
Segue da quanto appena visto che, se X1 , . . . , Xn sono varaiili aleatorie indipendenti
e tutte diPlegge normale ridotta, Xj ∼ N (0, 1) (j = 1, . . . , n), allora la variabile
aleatoria nj=1 Xj2 ha legge
n 1
Γ
,
=: χ2 (n) ,
2 2
detta legge del chi quadro a n gradi di libertà˙
Siano ora X1 e X2 variabili aleatorie indipendenti entrambe di legge normale;
specificamente, siano N (m1 , σ12 ) e N (m2 , σ22 ), rispettivamente, le leggi di X1 e X2 .
La densità della somma X1 + X2 è allora data dalla convoluzione delle due densità
di X1 e X2 ,
Z
1
(t − x − m1 )2 (x − m2 )2
fX1 +X2 (t) =
exp −
−
dx
(2)
2π σ1 σ2 R
2σ12
2σ22
Si consideri ora l’integrando che compare nella (2); esso è eguale a:
(t − m1 )2 + x2 − 2x (t − m1 ) (x − m2 )2
exp −
−
2σ12
2σ22
(t − m1 )2
x2
(t − m1 ) x
x2
m22
m2 x
= exp −
exp − 2 +
− 2− 2+ 2
2σ12
2σ1
σ12
2σ2
2σ2
σ2
2 2
2
2
2
2
m2
x σ1 + σ2
(t − m1 ) σ2 + m2 σ12
(t − m1 )
−
exp
−
+
x
.
= exp −
2 σ12 σ22
2σ12
2σ22
σ12 σ22
Si ponga ora
σ 2 :=
σ12 σ22
σ12 + σ22
e
m :=
(t − m1 ) σ22 + m2 σ12
,
σ12 + σ22
sicché l’integrando diviene
(t − m1 )2
m22
1
2
exp −
− 2 exp − 2 x − 2 m x
2σ
2σ12
2σ2
2
2
m2
m2
(t − m1 )
(x − m)2
= exp −
− 2+
exp −
.
2 σ2
2 σ2
2σ12
2σ2
Si sostituisca il risultato cosı́ trovato nella (2):
Z
m22
m2
1
(t − m1 )2
(x − m)2
fX1 +X2 (t) =
exp −
− 2+
exp −
dx
2π σ1 σ2
2 σ2
2 σ2
2σ12
2σ2
R
(t − m1 )2
m22
m2
1
−
+
=√ p 2
exp
−
2σ12
2σ22 2 σ 2
2π σ1 + σ22
Z
1
(x − m)2
×√
exp −
dx
2 σ2
2π σ R
1
(t − m1 )2
m22
m2
=√ p 2
exp
−
−
+
.
2σ12
2σ22 2 σ 2
2π σ1 + σ22
0.2. ESEMPÎ DI SOMME DI VARIABILI ALEATORIE
5
L’argomento dell’esponenziale è
2
(t − m1 ) σ22 + m2 σ12 σ12 + σ22
m22
(t − m1 )2
− 2+
−
2σ12
2σ2
2 (σ12 + σ22 )2
σ12 σ22
1
=−
(t − m1 )2 (σ12 + σ22 ) σ22 + m2 σ12 (σ12 + σ22 ) − (t − m1 )2 σ24
2
2
2
2
2 (σ1 + σ2 ) σ1 σ2
−m22 σ14 − 2 (t − m1 ) m2 σ12 σ22
1
2 2
2 2 2
2 2
=−
(t
−
m
)
σ
σ
+
m
si
σ
−
2
(t
−
m
)
m
si
σ
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2 (σ12 + σ22 ) σ12 σ22
(t − (m1 + m2 ))2
1
2
(t
−
m
)
+
m
−
2
(t
−
m
)
m
=
−
.
=−
1
1
2
2
2 (σ12 + σ22 )
2 (σ12 + σ22 )
In definitiva si è ottenuto
)
(
1
(t − (m1 + m2 ))2
,
fX1 +X2 (t) = √ p 2
exp −
2 (σ12 + σ22 )
2π σ1 + σ22
che vuol dire che X1 + X2 ha legge normale N (m1 + m2 , σ12 + σ22 ).
Per induzione finita si mostra immediatamente che se X1 , . . . , Xn sono variabili
aleatorie indipendenti che hanno leggi
Xj ∼ N (mj , σj2 )
allora la somma
Pn
j=1 Xj
(j = 1, . . . , n) ,
ha pure legge normale


n
n
X
X
N
mj ,
σj2  .
j=1
j=1