distribuzione di weibull

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DISTRIBUZIONE DI WEIBULL
La funzione di densità di probabilità della legge di distribuzione di Weibull, f(H) risulta
completamente definita da tre parametri:
- il fattore di scala b;
- il fattore di posizione x0 ;
- il fattore di forma k.
k  H  x0 
f (H )   

b  b 
k 1
  H  x0  k 
 exp  
 
  b  
con
k > 0, b > 0 e H ≥ x0 ≥ 0
Secondo questa legge, la probabilità di eccedenza P(H) risulta essere:
  H  x0  k 
P( H )  exp  
 
  b  
Ponendo x0 = 0 si definisce la distribuzione di Weibull a 2 parametri.
  H k 
P( H )  exp    
  b  
La distribuzione di Weibull è legata ad una serie di distribuzione di probabilità, in particolare
interpola la distribuzione esponenziale (se k = 1) e la distribuzione di Rayleigh (se k = 2).
Si riportano degli esempi che servono a confronto dell’andamento della P(H) al variare dei
parametri.
In Figura 1 si mantiene costante il fattore di scala facendo variare il fattore di forma, contrario
avviene invece in Figura 2.
1.0E+000
b = cost
Probability of Exceedance , Pex(H)
k=1
k=1.5
k=2
k=2.5
1.0E-001
1.0E-002
1.0E-003
0
5
10
15
H
Fig. 1: Probabilità di eccedenza secondo distribuzione Weibull al variare del fattore di forma
1.0E+000
k = cost
Probability of Exceedance , Pex(H)
b=1
b=2
b=3
b=4
1.0E-001
1.0E-002
1.0E-003
0
5
10
15
H
Fig. 2: Probabilità di eccedenza secondo distribuzione Weibull al variare del fattore di scala
STIMA DEI PARAMETRI
Esistono diversi modi per stimare i parametri caratteristici della distribuzione, essi sono divisibili in
2 categorie: metodi grafici e metodi analitici.
Metodi grafici:
essendo F(H) la probabilità cumulata di non superamento:
  H k 
F ( H ) 1  P( H )  1  exp    
  b  
risulta essere:
  H k 
1  F ( H )  exp     
  b  
 H  k 
1
 exp   
1  F (H )
 b  

 H
1
ln 
 
1  F ( H )   b 
k
 

1
ln ln 
   k  ln H  k  ln b
 1  F ( H )  
L’ultima equazione è quella di una retta, per plottare F(H) rispetto H si usa la seguente procedura:
1) Si ordina il campione in ordine ascendente;
2) Si stima F(Hi) tramite uno dei metodi illustrati in Tabella 1 (n = popolazione del campione).
METHOD
Mean Rank
Median Rank
Symmetrical CDF
Tabella 1: Metodi per la stima di F(Hi)
F(Hi)
i
n 1
i  0. 3
n  0.4
i  0.5
n
Metodi analitici:
In questa categoria esistono diversi metodi:
-
metodo della massima verosimiglianza (MLE: Maximum Likelihood Estimator);
metodo dei momenti (MOM: Method of Moments);
metodo dei minimi quadrati (LSM: Least Squares Method).
Si illustra solamente l’ultimo metodo che risulta essere quello più semplice.
Ci si riferisce all’equazione lineare già vista nel metodo grafico:
 

1
ln ln 
   k  ln H  k  ln b
 1  F ( H )  
Si può inoltre scrivere:
 



1
1  

H   ln ln 

i  
n i 1  
1
  n  1  
n
Y
1 n
 ln ( H i )
n i 1
Ne segue:

  
 
   
 

   n



 
 n
n


1
1
 





 




n

ln(
H
)

ln
ln

ln(
H
)

ln
ln

 
 

i
i
i
i
    i 1
 
  1
i 1
  1 
 i 1
 

 



n  1    
n  1  
 
  
ˆk  
2
 n
n

2
n   ln( H i )    ln( H i )
 i 1
  i 1

Y  H
bˆ  exp
 kˆ



