essere limx→-∞f(x) = A(-π/2)+B=-2 inoltre limx→+∞f(x) = A(π/2)+B

MATEMATICA CORSO A VI APPELLO SCRITTO 05-04-2013
Es1(4 punti) Due sperimentatori hanno rilevato rispettivamente 25 e 45 misure di una
certa grandezza lineare e calcolato le medie che sono risultate rispettivamente 15.6 e
16.4 cm. Mettendo insieme i due campioni quale sarà la media? Dalle informazioni
del testo è possibile dedurre che la deviazione standard totale è più piccola di 1?
SOLUZIONE: Mettendo insieme i due campioni la media sarà
(25x15.6 + 45x16.4)/70 = 16.1
La media è un indice di posizione centrale che non fornisce informazioni sulla
dispersione dei dati, quindi non possiamo concludere niente sulla deviazione
standard dei dati.
Es2(4punti)Conduci una ricerca su due triplette consecutive di DNA e ti domandi
a) quante possono essere;
b) quante sono quelle identiche fra loro;
c) qual è la probabilità (pensandole tutte equiprobabili) che tu possa trovare le
due triplette consecutive identiche fra loro.
SOLUZIONE:
a) ci sono 4 basi per ognuno dei sei posti della sequenza formata dalle due
triplette, dunque le due triplette consecutive sono in tutto 46;
b) per la prima tripletta ci sono 43 possibilità, mentre, una volta fissata la prima,
c’è una sola seconda tripletta identica alla prima;
c) la probabilità richiesta è data dal rapporto 43/46= (1/4)(1/4)(1/4), in poche
parole per il primo posto, il secondo e il terzo della sequenza di sei posti delle
due triplette consecutive va bene qualunque simbolo, mentre il quarto posto ha
probabilità ¼ di essere uguale al primo e il quinto ha probabilità ¼ di essere
uguale al secondo ed infine ¼ è la probabilità che anche il sesto posto sia
uguale al terzo.
Es3 (vale 4 punti) Trova l'espressione analitica di una funzione f(x), definita su tutto
R, e avente i seguenti limiti:
limx→-∞f(x)
= -2
limx→+∞f(x) = 4
SOLUZIONE: Si può cercare una funzione del tipo f(x)=Aarctanx + B, dovendo
essere limx→-∞f(x) = A(-π/2)+B=-2 inoltre limx→+∞f(x) = A(π/2)+B=4
Da cui A=6/π e B=1, dunque f(x), quindi f(x)=(6/π)arctanx+1. Altra
possibilità una funzione f(x)= (Aexp(x)+B)/(exp(x)+1), imponendo i
limiti richiesti si ha A=4 B=-2.
Altra possibilità, non essendo stata richiesta la continuità della funzione, è
definire f(x)=-2 ad esempio per x<0 e f(x)=4 per x≥0.
Es4 (vale 6 punti) Una certa caratteristica è dovuta ad un allele dominante, sia p=0.2
la frequenza di questo allele. La popolazione è in equilibrio di H-W. Calcola:
a) la probabilità che due genitori, entrambi con la caratteristica, abbiano un figlio
che non ha tale caratteristica
b) sapendo che il figlio non ha la caratteristica, la probabilità che entrambi i
genitori la possiedano.
SOLUZIONE:
a)P(F C| GC) =(2pq)2(1/4)/(1-q2)2=(q/(1+q))2 = 16/81;
b) P(GC| F C) =(2pq)2(1/4)/q2 = p2 = 0.04
¬
¬
Es5 (6 punti) Una variabile aleatoria continua X ha la seguente funzione di densità:
f(x)=exp(-2|x|) per ogni x reale. Determina:
a) La funzione di ripartizione di X
b) P(-1≤X≤1)
c) Il valor medio di X
SOLUZIONE:a)
a)
exp(2x)/2 per x≤0
F(x)=
1 – exp(-2x)/2 per x>0
b) P(-1≤X≤1) =F(1)-F(-1) = 1 – exp(-2)/2 – exp(-2)/2 = 1 - exp(-2) = 1- 1/e2
c)E(X)= ∫R xexp(-2|x|) dx = ∫-∞0 xexp(2x)dx +
∫0+∞ xexp(-2x)dx = -1/4 + 1/4=0
Es6 (8 punti) Studia (dominio, zeri, segno, limiti, asintoti, derivata prima, massimi e
minimi relativi, grafico) la seguente funzione:
f(x) = (x/2) – ln(x2 – 5 x + 6)
SOLUZIONE: Dominio: si deve avere x2 – 5 x + 6 > 0, per cui x<2 oppure x>3;
limite per x→-∞ f(x) tende a -∞, per x che tende a 2 da sinistra f(x) tende a +∞, così
per x che tende a 3 da destra, essendo in entrambi i casi l’argomento del logaritmo
tendente a zero, infine limite per x→+∞ è uguale a + ∞, in quanto x/2 ha un ordine di
infinito superiore a quello del logaritmo;
f’(x)=(1/2) – (2x-5)/( x2 – 5 x + 6) = (x2 – 9 x + 16)/ (x2 – 5 x + 6), dallo studio del
segno si ottiene che f è crescente per x<2, decrescente per 3<x< (9+√17)/2, crescente
per x>(9+√17)/2, dunque in x=(9+√17)/2, f(x) ha un punto di minimo.
Il grafico di f(x) è nella pagina seguente