Sempre dritto: l`equazione della retta

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Sempre dritto: l’equazione della retta PLAYLIST 2
Sempre dritto:
l’equazione della retta
PLAYLIST 2
Prerequisiti
Conoscere il sistema di coordinate cartesiane.
Conoscere le proprietà dei triangoli simili.
Obiettivi
Conoscenze e abilità
Rappresentare il grafico di una retta nel piano cartesiano.
Comprendere e approfondire la relazione tra l’equazione della retta e la
sua rappresentazione grafica nel piano.
Competenze
Consolidare i concetti di proporzionalità diretta e dipendenza lineare.
Saper ricavare le soluzioni di un modello matematico in un contesto di
ricerca operativa, avvalendosi dell’equazione della retta.
Saper individuare, costruire e analizzare contesti reali di modellizzazione
lineare.
Lo studio analitico delle rette nel piano cartesiano è un argomento di fondamentale importanza nel percorso didattico non solo della matematica, ma
delle materie scientifiche in genere. Oltre a essere il punto di partenza per
affrontare lo studio analitico delle coniche nel piano cartesiano (che occupa
gran parte del terzo anno del liceo scientifico), infatti, permette di consolidare
alcuni concetti fondamentali nello studio di altre materie come la fisica, la
biologia o la chimica, in particolare relativamente alla rappresentazione grafica delle relazioni tra grandezze e ai concetti di proporzionalità diretta e di
dipendenza lineare.
La seguente proposta didattica può essere utilizzata in classe a conclusione
delle lezioni introduttive sui concetti di equazione e rappresentazione nel piano
cartesiano della retta, per consolidare e verificare le nuove nozioni introdotte.
LA STRUTTURA DELLA LEZIONE
Il percorso didattico che proponiamo, dal titolo Sempre dritto: l’equazione della
retta, è disponibile sul portale sotto forma di playlist pubblica. Potete quindi copiarlo liberamente, modificarlo e salvarlo nel vostro spazio personale.
Nella tabella seguente sono riportati, nell’ordine, i contenuti di cui la playlist si
compone, la loro tipologia e gli ambiti o obiettivi didattici in cui s’inseriscono.
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PLAYLIST 2 Sempre dritto: l’equazione della retta
Contenuti della playlist
Tipologia
Ambito/obiettivo didattico
Punti nel piano cartesiano
risorsa Apprendiscienza
applicazioni
Punti nel piano cartesiano (II)
applicazioni
Il grafico di una retta
applicazioni
Troviamo la pendenza di una retta
applicazioni
La pendenza di una retta
applicazioni
Misura della pendenza
applicazioni
Troviamo il coefficiente angolare di una retta
applicazioni
Il coefficiente angolare di una retta
applicazioni
Utilizziamo il coefficiente angolare di una retta
applicazioni
Il coefficiente angolare di rette parallele
o perpendicolari
applicazioni
La forma generale dell’equazione di una retta
applicazioni
The family of lines y = 2x + c
applicazioni, CLIL
The family of lines
applicazioni, CLIL
Rette in bolletta
risorsa personale
applicazioni,
matematica e realtà
Le risorse così aggregate saranno lo spunto, in classe, per un percorso di difficoltà crescente articolato in due parti. La prima, realizzata con le risorse di Apprendiscienza, è centrata sul consolidamento delle conoscenze e delle abilità
da poco acquisite nelle lezioni frontali classiche; l’altra eventualmente sul potenziamento di queste ultime e sulla valutazione delle competenze, in particolare
delle capacità di modellizzare e di applicare le tecniche apprese a contesti di
realtà o astratti.
PUNTI NEL PIANO CARTESIANO
Potete cominciare la lezione in classe richiamando le conoscenze relative al
piano cartesiano e alla rappresentazione di punti, prerequisiti fondamentali del
nostro percorso. Confrontatevi con i ragazzi e modificate la risorsa in modo
da fare il punto di quanto emerge dalla discussione: potete aggiungere commenti e annotazioni sia nella fase di preparazione della playlist, sia durante la
lezione.
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Per farlo, inserite una casella di testo 1 cliccando sull’apposito pulsante
e annotate che cosa si intende con i termini “coppia ordinata”, “asse delle
ascisse” e “asse delle ordinate”. A questo punto tracciate sul piano cartesiano la prima coppia di punti indicata cliccando sullo strumento Matita 2 .
Quindi con lo strumento Linea 3 collegateli ai rispettivi assi cartesiani.
1
2
3
La risorsa introduttiva proposta serve anche a prendere confidenza con l’utilizzo del piano cartesiano, coinvolgendo attivamente la classe: l’esercizio, infatti,
come indica la consegna visibile cliccando sul pulsante “i” in alto a sinistra,
richiede di rappresentare graficamente i dieci punti indicati. Chiamate quindi
i ragazzi a turno alla LIM per esercitarsi, sulla base del primo esempio da voi
svolto.
IL GRAFICO DI UNA RETTA
Introducete le due attività (a e b) della risorsa “Punti nel piano cartesiano (II)”,
dove si richiede, come nell’esercizio precedente, di rappresentare sul piano cartesiano i punti indicati. La principale differenza rispetto alla risorsa introduttiva,
fate notare agli studenti, è che i punti non sono disposti casualmente sul piano
ma, come vedremo, si dispongono su una retta.
In entrambi i casi, inoltre, le rette passano per l’origine, come si può evincere
dalle coordinate dei punti. Nel primo, infatti, l’ordinata è sempre doppia rispetto all’ascissa. Esplicitando questo con un’apposita casella di testo, potete
stimolare la stessa osservazione da parte degli studenti, in modo autonomo,
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per la seconda attività. Dopo
aver completato il primo esercizio, invitate gli studenti a svolgere individualmente il secondo sul
quaderno. Chiamate quindi uno
di loro per replicarlo alla LIM.
A questo punto lanciate la risorsa “Il grafico di una retta” , chiedendo alla classe di associare
alla retta rappresentata a sinistra
la sua equazione. Potete inoltre
soffermarvi sulle opzioni errate
presenti, chiedendo agli studenti di trovare da soli gli esempi
numerici che verifichino queste
impossibilità. Saranno così coinvolti in un’utile analisi degli errori
e potenzieranno il proprio senso
critico.
LA PENDENZA DI UNA RETTA
Proiettate l’animazione della risorsa “Troviamo la pendenza di una retta” (v. figura)
per illustrare questo concetto: può essere lo spunto per riprendere la nozione di
variazione in forma visuale.
Inserendo una casella di testo, potrete soffermarvi sul procedimento per misurare la
pendenza di una retta e su cosa si
intenda per variazione o incremento
di una coordinata. Quindi chiedete
agli studenti di verificare che non importa con quale ordine si scelgano i
punti A e B, purché sia lo stesso sia
nel calcolo della variazione dell’ordinata sia in quello dell’ascissa.
È possibile a questo punto applicare i concetti appena visti con
qualche esempio. Lanciate l’attività “La pendenza di una retta” e
chiamate a turno i ragazzi alla LIM
per scegliere due punti nel piano
e verificare il calcolo della misura
della pendenza della retta che passa per A e B. Fate presente che i
numeri devono essere introdotti
in forma decimale, la variazione
deve essere calcolata utilizzando
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A come primo punto e B come
secondo, infine la frazione deve
essere già ridotta ai minimi termini. Potete scegliere se svolgere
le attività solo numericamente,
oppure anche graficamente.
Coinvolgete i ragazzi nella simulazione “Misura della pendenza”,
che consente di spostare liberamente i punti A e B lungo la retta
per verificare se la misura della
pendenza dipende dalla scelta
delle coordinate di riferimento.
Chiedete loro, quindi di osservare cosa accade: la risorsa dimostra che il rapporto tra la variazione delle coordinate x e quella
delle coordinate y in questo caso
non può che restare costante.
IL COEFFICIENTE ANGOLARE DI UNA RETTA
Lanciando l’animazione “Troviamo il coefficiente angolare di una retta” potete introdurre brevemente il nuovo termine, che identifica il concetto già illustrato della
misura della pendenza di una retta nel piano cartesiano.
A questo punto coinvolgete i ragazzi nell’esercizio della risorsa successiva,
“Il coefficiente angolare di una retta”, che permette di scegliere due punti nel
piano, uno sull’asse delle ordinate e uno sull’asse delle ascisse.
I due punti identificano una retta di cui si chiede di calcolare il
coefficiente angolare. Fate osservare agli studenti che non è
necessario utilizzare i due punti
evidenziati e invitateli a turno al
computer o alla LIM a scegliere
una qualsiasi altra coppia di punti sulla retta.
In particolare potete soffermarvi
sul caso speciale in cui i punti siano entrambi sull’asse delle ascisse: chiedete agli studenti di calcolare individualmente il coefficiente
angolare. Può sorgere spontanea
la domanda di verificare che cosa
accada scegliendo i due punti entrambi sull’asse delle ordinate.
A
B
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Soffermatevi quindi sul caso speciale delle rette verticali: aggiungete una nuova
pagina alla risorsa (basta cliccare sul pulsante Aggiungi nota), e disegnate una
retta verticale sul piano cartesiano con lo strumento Linea, invitandoli a verificare
l’impossibilità di calcolare il coefficiente angolare.
COEFFICIENTE ANGOLARE: APPLICAZIONI E CASI
PARTICOLARI
Lanciate la risorsa “Utilizziamo il coefficiente angolare di una retta” con quattro
esercizi simili che richiedono di rappresentare una retta dati il suo coefficiente angolare e le coordinate di un punto
a essa appartenente. Introducendo una casella di testo, potete
completare la schermata relativa
alla prima attività con un possibile
svolgimento, che in questo caso
prevede il calcolo dell’equazione
della retta in questione.
Gli altri tre esercizi possono essere svolti individualmente dagli studenti.
Passando alla determinazione
del coefficiente angolare nei casi
particolari, l’esercizio per la LIM “Il
coefficiente angolare di rette parallele o perpendicolari” (v. figura)
richiede di trovare il coefficiente
angolare di diverse rette rappresentate sul piano cartesiano.
Una volta individuato il primo, potete lasciare i calcoli successivi a
un lavoro individuale.
A questo punto chiedete agli studenti di verificare le relazioni tra i coefficienti delle
rette parallele e delle rette perpendicolari che compaiono nel disegno.
L’esercizio prevede infine di esplicitarle scegliendo tra alcune possibili risposte.
L’EQUAZIONE DI UNA RETTA
Proponete l’esercizio “La forma generale dell’equazione di una retta”, che richiede di associare al grafico di una retta la sua equazione scegliendo tra sei possibili
risposte. Per facilitare la comprensione, completate la schermata relativa al primo
esercizio con un possibile svolgimento step by step. In questo caso sono stati
esplicitati tutti passaggi necessari per trovare l’equazione della retta.
Sulla base del modello fornito, assegnate gli altri quattro esercizi agli studenti
individualmente, chiamandoli poi a turno alla LIM per esplicitare il procedimento.
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La risorsa “L’equazione di una retta” (v. figura) permette di percorrere il procedimento inverso rispetto a quello della precedente attività.
Se preferite potete esplicitare lo svolgimento dell’esercizio accanto al grafico.
Poiché, però, è l’unico esercizio di questo tipo, questo “suggerimento” può essere in un primo momento nascosto.
Per farlo, basta cliccare sullo strumento Mostra area 1 , circoscrivendo
l’area da visualizzare. Potete quindi chiedere agli studenti di svolgere l’attività autonomamente, ed eventualmente mostrare lo svolgimento alla fine,
utilizzando la funzione Nascondi il contenuto 2 .
1
2
THE FAMILY OF LINES
La risorsa in lingua inglese “The family of lines y = 2x + c” (v. figura) consente
di introdurre il concetto di fascio di rette. Se la classe ha buone competenze
nell’ascolto e nella comprensione in lingua potete lanciare l’animazione, fermandola di volta in volta per sottolineare le espressioni di più difficile comprensione.
Chiedete quindi ai ragazzi di estrapolare una definizione di fascio di rette, eventualmente lasciando la traduzione a un’attività di ricerca in lingua inglese a piccoli
gruppi attraverso il web.
Se preferite un approccio più intuitivo al concetto di fascio di rette, potete
eliminare la risorsa precedente (v. Come modificare una playlist, p. 124) e
passare direttamente all’attività interattiva in lingua “The family of lines”. A
partire da un insieme di rette con un parametro in comune si chiede di ricavare
l’equazione generale.
CLIL
inglese
webquest
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PER CONCLUDERE: RETTE E BOLLETTE
matematica
e realtà
competenze
modellizzazione
Al termine della lezione, è possibile integrare la playlist con materiali propri, da
assegnare alla classe come verifiche in classe o compiti a casa, pensati per
potenziare conoscenze e abilità e introdurre gli studenti alla modellizzazione matematica. In questo caso è stata aggiunta una scheda che propone attività legate
a un problema concreto, la cui risoluzione è riconducibile all’equazione e alla
rappresentazione di una retta nel piano cartesiano.
L’attività Rette in bolletta (Scheda 1,, p. 31) propone agli studenti un contesto
ambientato della vita quotidiana, articolato in domande che mettono alla prova
diverse competenze, focalizzandosi in particolare sulla comprensione del testo e
sulla sua traduzione in modello matematico.
La scheda consente di valutare alcune competenze fondamentali, come le capacità di: comprendere un problema matematico, formalizzarlo in un modello e
risolverlo applicando le tecniche apprese e le conoscenze trasversali acquisite.
La playlist che proponiamo contiene una griglia conclusiva in excel costruita secondo lo schema in basso, per valutare le diverse competenze dimostrate da
ogni studente nel corso dello svolgimento dell’attività.
Griglia di valutazione - Scheda 1
Competenze
Domande
Voto
Comprensione del testo
1
........................................
Matematica e modelli
2, 3
........................................
Conoscenze e abilità
4, 5, 6
........................................
Rappresentazione grafica
2
........................................
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SCHEDA 1
Rette in bolletta
State valutando di cambiare il gestore
telefonico della vostra linea mobile. Ciò
che vi interessa di più sono le tariffe della
connessione a internet tramite cellulare.
Dopo un’attenta ricerca avete selezionato
quattro offerte:
a. Un abbonamento fisso a 10 euro al
mese e nessun altro costo aggiuntivo
b. Un abbonamento fisso a 5 euro al
mese, con un costo aggiuntivo di
0,30 euro per ogni ora di connessione
c. Un abbonamento fisso di 2 euro al
mese, con nessun costo aggiuntivo
per le prime 3 ore di connessione e di
0,50 per le successive
d. Nessun abbonamento fisso, ma un
costo di 1 euro all’ora per le prime due
ore di connessione e di 0,50 per ogni
ora successiva.
Quale abbonamento risulta più conveniente sapendo che in media utilizzate la connessione a Internet
tramite cellulare per circa 12 ore al mese?
1. Ogni offerta può essere rappresentata in un piano cartesiano dove sull’asse delle ascisse si
indica il tempo (in ore) di connessione, e sull’asse delle ordinate il costo. Per fare ciò, completate
innanzitutto la seguente tabella (le prime due righe sono già state riempite):
Costo dell’offerta (€)
Tempo di
connessione (h)
a
b
c
d
0
10
5
2
0
1
10
5,50
2
1
2
3
4
5
2. Rappresentate i punti relativi a ogni offerta sul piano cartesiano con quattro diversi colori.
I punti si dispongono lungo curve particolari: di che tipo sono? .........................................................................
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3. Le rappresentazioni di tutte le offerte corrispondono a tratti di retta.
Indicate per ogni offerta l’equazione della retta (o delle rette) che le rappresentano.
Offerta a
y=
Offerta b
y=
Offerta c
{
y=
Offerta d
{
y=
y=
y=
se x <
se x <
se x <
se x <
4. A questo punto provate a rispondere alla domanda del problema iniziale, quindi passate alle
successive, motivando sempre la risposta.
.......................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................
5. Per quante ore di connessione mensili l’offerta a risulta la più conveniente tra tutte? E l’offerta
d?
.......................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................
6. Dopo quante ore di connessione l’offerta d risulta più conveniente dell’offerta c? A che cosa
corrisponde ciò nella rappresentazione grafica e nell’equazione delle rette?
.......................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................
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Sempre dritto: l`equazione della retta

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