Progetto – Il Divino Pallone

Quest’anno scolastico 2008/2009 al nostro CFP, durante le lezioni di DISEGNO TECNICO ci
siamo dedicati alle sezioni auree e alle tavole per la costruzione di un pallone da calcio, in
versione puff di forma sferica, da realizzare in laboratorio TAPPEZZERIA.
Abbiamo scoperto che il pallone da calcio è formato da 12 pentagoni e 20 esagoni.
Quando è ben gonfiato e ci giochiamo sembra una sfera, un solido perfetto; se invece lo
osserviamo con + attenzione scopriamo che la sua superficie è formata da pentagoni ed
esagoni regolari cuciti assieme.
Abbiamo quindi voluto scoprire la sua struttura/origine geometrica e siamo giunti a capire
che il nostro gettonatissimo PALLONE DA CALCIO è un poliedro, chiamato per la precisione
ICOSAEDRO TRONCATO .
LIMANDO I 12 VERTICI di un ICOSAEDRO,che è costituito da 20 FACCE triangolari(il solido
platonico regolare e perfetto + vicino alla sfera, formato da 20 triangoli equilateri) si
ottengono le 12 facce in più rigorosamente pentagonali , mentre le rimanenti superfici danno
forma agli altri 20 esagoni( al posto dei 20 triangoli)
icosaedro
fase 3
fase 1
fase 2
All’origine degli assi i tre rettangoli aurei
icosaedro troncato
Perché DIVINO?
Questo particolare poliedro viene utilizzato per
fabbricare
palloni perché, una volta gonfiato, approssima la sfera fino al
95%, eliminando così ogni eventuale rimbalzo imprevisto. Si
potrebbe ritenere indubbiamente il gioco più antico del mondo,
almeno da quando la terra è detta sferica! L’ICOSAEDRO, lo
abbiamo visto, è il solido platonico più vicino alla perfezione
sferica, tuttavia, nonostante la sua complessità, nel 1509 il frate
francescano Luca Pacioli, nel suo libro D
Dee ddiivviinnaa pprrooppoorrzziioonnee,
rese
evidente
una
tecnica
per
costruirlo
e,
insieme,
l’inequivocabile condizione strutturale per la sua ORIGINE
“DIVINA”. Alla base del suo metodo infatti, sta l’utilizzo di TRE
RETTANGOLI AUREI disposti sui tre piani xy, xz e yz e intersecati
tra loro sull’incidenza delle rispettive mediane, all’origine dei tre
assi, centro del solido.
Il primo incontro con la Divina Proporzione
avviene in Geometria. La proposizione 11 del
libro II degli Elementi di Euclide recita così:
“dividere un segmento in modo che il
rettangolo che ha per lati l’intero segmento e la
parte minore sia equivalente al quadrato che ha
per lato la parte maggiore”, la Sezione Aurea
di un segmento, è la parte media proporzionale
tra l’ intero segmento e la parte rimanente.
Collegando alternativamente i vertici del
decagono si ottiene il pentagono regolare
inscritto nel cerchio; tracciatone due diagonali
dallo stesso vertice, essendo l’ angolo alla
circonferenza metà di quello al centro di 2π/5,
si ripropone con il lato opposto al vertice il
triangolo isoscele con angolo al vertice di π/5;
ne segue che in un pentagono regolare il lato
è la sezione aurea della diagonale.
Si può altresì dimostrare che le diagonali si
intersecano secondo le loro sezioni auree.
Per questi motivi alla stella a cinque punte
disegnata sulle diagonali di un pentagono
venivano riconosciuti poteri magici.
UdA- DISEGNO GEOMETRICO- TAPPEZZERIA - MATEMATICA
Durante la preparazione dell’UNITA’ di APPRENDIMENTO ci
siamo rivolti anche al professore di Matematica, con la
seguente domanda: in che modo, attraverso il ricorso ad
un’equazione
matematica,
possiamo
riconoscere
la
corrispondenza così sorprendente della divina proporzione
(sezione aurea), nella costruzione dell’icosaedro?
Era necessario CONFERMARE l’identica lunghezza dei lati dei
triangoli componenti l’icosaedro costruito sui 3 rettangoli aurei.
DIMOSTRIAMO che il lato minore di ciascuno dei 3 rettangoli
aurei è = a ciascuna delle diagonali che, a partire dai 2 vertici
adiacenti si uniscono al vertice del rettangolo perpendicolare al
primo. DATO IL LATO =1
CM=√
(
√
)
(
√
√
LA PROPORZIONE AUREA SI ESPRIME CON L’EQUAZIONE
√
)
√
√
applichiamo il teorema di Pitagora per trovare AC
x /1=1/(x−1) OVVERO:
AC=CB =√( )
= x+1
1
AB=1; CO= x /2; MO= (x−1)/2 = (x /2)-(1/2)
x
applichiamo il teorema di Pitagora per trovare CM
√
( )
√
=1=AB
ABBIAMO DIMOSTRATO CHE AB è
LUNGHEZZA UNITARIA UGUALE PER GLI
ALTRI LATI DEL TRIANGOLO EQUILATERO
- MODULO DELL’ICOSAEDRO COSTRUITO
SUI TRE RETTANGOLI AUREI
LE FASI DI REALIZZAZIONE
L’idea di trasformare il pallone da calcio in un puff speciale per il nostro spazio studio, o per il
soggiorno di casa, costruito con le nostre mani ci è piaciuta da subito e abbiamo scelto le
misure definitive rapportandole in scala una volta realizzato il modellino cartaceo. Prima con
le tavole di disegno tecnico e poi in laboratorio TAPPEZZERIA abbiamo anche imparato come
ridurre in scala il disegno del nostro pallone e poi come preparare lo SVILUPPO
BIDIMENSIONALE DEI PEZZI, stesi uno vicino all’altro, affiancandoli ”aperti” su una superficie
piana (vedi disegno). L’importante era mantenere il criterio giusto per l’accostamento. In
partenza sembrava un’impresa impossibile, per le nostre competenze iniziali: 32 pezzi tutti
cuciti insieme, mentre si accostavano, davano forma ad una superficie che andava mano a
mano curvando … Come dimostrano le foto, dal taglio al cucito e infine la definitiva chiusura
tramite lampo, le operazioni di confezionamento del pezzo ci hanno insegnato che solo con
l’applicazione di un criterio e l’esercizio costante
soddisfazione !
è possibile
ottenere i risultati con
SVILUPPO BIDIMENSIONALE PER LA
REALIZZAZIONE DI UN PALLONE DI CALCIO
ALIAS ICOSAEDRO TRONCATO
Si distribuiscono secondo una corrispondenza stellare a
partire dal centro del pentagono, che scegliamo come punto
di partenza, 20 esagoni + 12 pentagoni.
NB = IL CRITERIO PER ESEGUIRE CORRETTAMENTE
l’accostamento è sempre lo stesso: ad ogni esagono si fanno
corrispondere alternati sui lati 3 pentagoni e 3 esagoni
MENTRE OGNI PENTAGONO PORTA SUI 5 LATI 5 ESAGONI
Esiste una molecola sferica formata
da anelli esagonali e pentagonali
insieme (come un pallone da calcio)
di atomi di carbonio?
Quella più nota con le
tipiche facce esagonali e
pentagonali si chiama
fullerene C60 (la formula
rappresenta una molecola
costituita da 60 atomi di
carbonio legati tra loro). La
molecola C60 è la più
simmetrica possibile (la più
rotonda) nello spazio
tridimensionale.
La gabbia delle molecole di
fullerene ha un diametro tra
0,7 ed i 1,5 nanometri.
Il C60 ha un diametro di circa
0,7 nanometri, cioè circa 10
volte più grande di un atomo.
Vale anche la pena di
ricordare che il nome
fullerene viene da quello di
Buckmister Fuller,
l’architetto che ha progettato
abitazioni a forma di cupole
geodetiche basate su
pentagoni ed esagoni
D
Dee ddiivviinnaa pprrooppoorrzziioonnee … dalla matematica alle scienze
Anche nel corpo umano troviamo rapporti aurei: l’ ombelico è posto ad una quota che è in
rapporto aureo con l’altezza max dell’individuo … Famosa è la rappresentazione di Leonardo
dell’UOMO di VITRUVIO, nel quale il corpo è inscritto in un quadro e in un cerchio . Nel
quadrato l’h dell’uomo è pari alla distanza tra le estremità delle mani con le braccia distese. La
retta xy passante per l’ombelico divide i lati AB e BC esattamente in rapporto aureo tra loro.
Siccome è aureo il rapporto tra falangi, tra braccio e avambraccio etc.
Ma la sezione aurea si insinua anche nei regni della Natura :Φ è uno di quei misteriosi numeri
naturali che sembrano essere alla base della struttura del cosmo.
Ma è nei fiori, più che altrove, che la natura ha voluto ricordarci la sua sapienza matematica.
Le varie specie di margherite e girasoli hanno petali in numero della successione di Fibonacci
che abbiamo visto legata al rapporto aureo. Le curve che si osservano in pigne ed ananas sono
spirali logaritmiche, legate anch’ esse alla sezione aurea. Così si succedono gli stami nelle
corolle di margherite e girasoli. La ddiivviinnaa pprrooppoorrzziioonnee è dunque riscontrabile sotto molteplici
forme, dalla GALASSIA all’accrescimento spiraliforme del NAUTILUS, nella spaziatura delle
foglie lungo lo stelo e nella girandola dei semi di un GIRASOLE, come davvero contasse i cicli di
rivoluzione del suo sole. Analogamente, osservando attentamente il firmamento, le spirali delle
galassie sono logaritmiche ed è presumibile che tali siano le traiettorie delle stelle attratte al
centro della galassia. L’elemento comune nell’evolversi delle forme nel nostro universo, dal
DNA alle origini del cosmo, è rappresentato dalla spirale logaritmica, detta anche “spirale
aurea”; attraverso la quale lo sviluppo armonico di ogni essere è disegnato in una relazione
infinita e continua, dall’infinitamente piccolo all’infinitamente grande!!